孫志成

[摘? 要] 數(shù)學被人們稱為“思維的體操”，而“體操”的“口令”就是數(shù)學語言，數(shù)學語言體現(xiàn)了數(shù)學學科特有的簡潔美. 文章以“向量的坐標表示及運算”為例，嘗試進行積極教學實踐，以幫助學生形成數(shù)學語言，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學語言;核心素養(yǎng);向量;坐標

數(shù)學思維離不開數(shù)學語言，數(shù)學語言體現(xiàn)了數(shù)學學科特有的簡潔美. 一道沒有多少文字的數(shù)學題，往往可演繹出洋洋千言的答案. 數(shù)學語言本質(zhì)是科學的描述，從某種意義而言，是完全剝離所描述的物體具有的非本質(zhì)屬性，而聚焦內(nèi)隱邏輯關(guān)系的語言，它影響甚至決定掌握這類語言的人們的思維方法[1]. 基于此，數(shù)學教學首先要教會學生數(shù)學語言，向量的坐標表示及運算是基于幾何語言解析化的合理演繹. 以下是“向量的坐標表示及運算”教學實錄片段，旨在幫助學生形成數(shù)學語言，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，以期能引起同仁的大討論.

課堂實錄片段

1. 提出問題，引發(fā)思考

師：同學們，我們上節(jié)課學習了向量. 假設(shè)你現(xiàn)在畫了一個向量，該怎樣描述才能讓電話另一頭的伙伴準確地知道你畫了一個什么樣的向量？

生：畫出來，告訴他模長及方向. 因為一個向量的方向和模長確定了，這個向量就確定了.

師：模長好處理，那方向你該怎么和他說清楚呢？

生：用量角器量出來告訴他.

師：我們知道平面內(nèi)可以畫無數(shù)個向量. 假如你那天畫了一萬個向量呢？如果都通過這種方法操作，那么效率太低了，工作量太大了.

生：那怎么辦？老師，你還有其他辦法嗎？

2. 回顧舊知，解決問題

師：上節(jié)課，我們學習了平面向量基本定理. 哪位同學可以給大家復述一下，用自己的語言.

生：平面內(nèi)的任何一個向量均可以通過兩個不共線的向量唯一表示.

師：很好，通過定理發(fā)現(xiàn)，只要我們向?qū)Ψ矫枋銮宄藘蓚€不共線的向量，也就是基底向量，其余向量都可以由基底唯一表示，唯一體現(xiàn)在哪里？

生：只要基底確定，表示系數(shù)就唯一.

師：那這個表示系數(shù)是如何確定的？

（學生這時候回答不上來，也許心里有一些想法，只是不知道該如何描述？這時，筆者通過幾何畫板演示向量在基底向量方向上的分解，讓學生充分感知對應(yīng)基底向量前的系數(shù)不僅和相應(yīng)分解向量的模長有關(guān)，并且和基底向量的模長有關(guān). ）

師：現(xiàn)在若取兩基底向量的單位向量，這里有兩個問題請大家思考.

（1）這兩個單位向量能否作為一組新的基底？（2）這兩個單位向量如何??？

生：可以作為新的基底，只需把該基底向量乘上該向量模長的倒數(shù)即可.

師：那如果選這兩個單位向量作為新的一組基底，這時表示系數(shù)是多少呢？（幾何畫板演示）

生：系數(shù)為相應(yīng)分解向量的模長，符號看該分解向量和單位向量是同向還是反向，同向取正，反向取負.

師：表示系數(shù)唯一嗎？

生：唯一.

師：進行到這里，我們完成了一件工作量巨大的工作. 現(xiàn)在只需告訴我們的伙伴兩個單位基底向量，再告訴他們相對應(yīng)的表示系數(shù)（有序），這個向量就唯一確定了. 換句話而言，這對有序數(shù)對（表示系數(shù)）就可以看作是這個向量的ID，類似于我們的身份證號，專屬于向量自己.

這時，學生們紛紛點頭，表示贊同.

3. 師生再探，建構(gòu)新知

師：現(xiàn)在我們的工作就是向伙伴描述這一組單位向量的基本信息. 從某種意義上看，基底的選擇是任意的，何不選擇一組特殊的基底向量呢？現(xiàn)取x，y軸方向的單位向量作為一組基底向量，用它們來表示一個起點為原點O、終點為B的向量. 假設(shè)終點B的坐標為（x，y），此時向量的ID是多少？它們之間有什么關(guān)系？這個結(jié)論具有一般性嗎？

生：只要向量起點為原點O、終點為B，向量的ID就是終點B的坐標.

師：很好. 數(shù)學上把通過這樣取的基底向量得到的向量ID稱為向量的直角坐標，簡稱坐標. 到這里，我們的工作基本完成，現(xiàn)在只須告訴我們的伙伴這個向量的坐標，他就可以在電話另一頭準確地將其畫出來了.

生：老師，如果一個向量起點不在原點呢？那這個向量的坐標還會是該向量的終點坐標嗎？

師：很好. 這位同學發(fā)現(xiàn)了一個非常重要的問題. 確實，向量的起點不是固定的，若起點不在原點，那該向量的坐標還會是終點坐標嗎？先請同學們分組討論，再給大家匯報一下你們組的研究成果.

生：可以通過平移使得該向量的起點在原點上，就和我們之前研究的一樣了.

師：很好，那這時平移后的向量終點坐標是什么呢？

學生基本能夠發(fā)現(xiàn)這一事實，但是還無法很好地表述出來. 先通過具體實例說明，再得到一般結(jié)論.

師：假設(shè)原向量的起點A（x，y），終點是B（x，y），那這時向量的坐標是什么？

生：（x-x，y-y）

師：通過上式我們發(fā)現(xiàn)：向量的坐標是終點坐標減去起點坐標. 現(xiàn)在我們完全解決了剛才那個棘手的問題，簡單來說，若把一個向量在一個平面直角坐標系中標出來，知道向量起點、終點坐標，該向量便唯一確定. 反之，若知道一個向量，則這個向量的坐標也唯一確定. 上述內(nèi)容稱為平面向量的直角坐標表示，簡稱坐標表示.

師：我們之前學了平面向量的線性運算，那么可以把向量的坐標表示用在平面向量的線性運算上嗎？平面向量的線性運算包括加法、減法、數(shù)乘，請同學們分組研究平面向量的坐標運算.

通過之前的鋪墊，學生基本都能獨立發(fā)現(xiàn)平面向量的坐標運算規(guī)律.

一點教學感悟

數(shù)學家萊布尼茨曾經(jīng)設(shè)想創(chuàng)造一種方法：幾何證明可以像代數(shù)那樣通過計算來解決. 解析幾何的飛速發(fā)展表明：傳統(tǒng)幾何問題的向量化，向量的坐標化不失為利用數(shù)學語言推開一扇新文明之窗的有力佐證[2].

數(shù)學的理性往往體現(xiàn)在“大處著眼，小處著手”. 首先，利用抽象的方法讓該問題具有普遍性，為了不受思維慣性的影響，數(shù)學家一般有意將實際問題抽象得面目全非，再通過變換，對應(yīng)轉(zhuǎn)化到更大、更復雜的空間中去分析，在獲得了“可操作、結(jié)構(gòu)性”的普遍結(jié)論以后，最后應(yīng)用到具體的問題之中. 當然，在應(yīng)用時，需要注意個體特質(zhì)，即該問題的條件是否適用，不適用又該如何克服. 他們認為：單個現(xiàn)象或?qū)嶒瀻缀鯖]有什么價值，價值在于把它們聯(lián)系起來的結(jié)論. 數(shù)學家對解決數(shù)學難題過程中出現(xiàn)的新的數(shù)學方法及思想的興趣遠遠大于解決問題本身，而這一過程往往是理想化、標準化、簡單化及高度抽象化的[3].

中學數(shù)學教學，雖然無法與數(shù)學家的數(shù)學發(fā)現(xiàn)相提并論，但也應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程. 教師應(yīng)該引導學生從舊知出發(fā)，積極探究，用演繹方法研究抽象問題，思考抽象事物，從而形成數(shù)學語言，掌握數(shù)學的本質(zhì)[4].

數(shù)學被人們稱為“思維的體操”，而“體操”的“口令”就是數(shù)學語言，正如數(shù)學核心素養(yǎng)提到的，要讓學生學會用數(shù)學的語言去描述世界. 但僅僅認為數(shù)學是一種描述世界的工具還是遠遠不夠的，甚至可以說是膚淺的. 它只是數(shù)學的外延，其自身內(nèi)隱的前瞻性、創(chuàng)造性以及演繹功能才是數(shù)學的核心價值，它所追求的終極目的是引導人——用數(shù)學的思想去思考問題. 而這才是培養(yǎng)創(chuàng)新思維之根源所在.

參考文獻：

[1]? 徐德均. 基于類比的延伸——“空間向量的坐標表示”教學實錄與反思[J].中學數(shù)學月刊，2020（12）：1-4.

[2]? 徐偉東. 數(shù)學深度學習“深”在哪？——以“平面向量的坐標表示”一課為例[J]. 中學教研（數(shù)學），2020（06）：9-11.

[3]? 李國艷，吳定業(yè). “空間向量的坐標表示”教學設(shè)計與反思[J]. 上海中學數(shù)學，2018（Z1）：64-65+74.

[4]? 谷紅霞. 由問題引領(lǐng)思考 借活動積累經(jīng)驗——“平面向量基本定理及坐標表示（第1課時）”教學設(shè)計[J]. 中小學數(shù)學（高中版），2020（Z1）：76-80.

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