曹茂宏　從品

[摘? 要] 對數(shù)函數(shù)是高中要學(xué)習(xí)的第二個重要的基本初等函數(shù)，教與學(xué)的主要內(nèi)容是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這一新的基本初等函數(shù)，并類比指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，鞏固研究函數(shù)的一般方法.信息技術(shù)教學(xué)輔助具有高效、直觀等優(yōu)點(diǎn)，本節(jié)課在對數(shù)函數(shù)的教學(xué)設(shè)計中借助GGB的優(yōu)勢，突出對數(shù)函數(shù)概念的生成，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 對數(shù)函數(shù);GGB;類比

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版，2020年修訂》在教學(xué)建議中明確提到：“重視信息技術(shù)運(yùn)用，實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合.”[1]信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深刻影響.GeoGebra（下文簡稱“GGB”）是一款“長于展示教與學(xué)對象的動態(tài)的數(shù)學(xué)軟件”，其可以更直觀地展示數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，更有效地傳遞數(shù)學(xué)教學(xué)信息，從而提升學(xué)生的想象力，積累學(xué)生在探究過程中的活動經(jīng)驗，進(jìn)而輔助實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，解決教與學(xué)的重難點(diǎn).

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高中函數(shù)要求學(xué)生會用集合與對應(yīng)的數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)，對于新入學(xué)的高一學(xué)生而言，很難在短時間內(nèi)接受并理解函數(shù)知識（尤其是對數(shù)函數(shù)），學(xué)生缺乏一定的經(jīng)驗基礎(chǔ)和函數(shù)知識的高度抽象是其主要原因，同時也造成了教師教學(xué)困難.筆者在對數(shù)函數(shù)的教學(xué)實踐中，重視信息技術(shù)的教學(xué)輔助，嘗試引入GGB，形象直觀地展示函數(shù)圖像和幾何圖形運(yùn)動變化的過程，在提升學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的理解上頗有成效，期望為信息技術(shù)與函數(shù)教學(xué)的整合起到拋磚引玉的作用.

教學(xué)內(nèi)容解析

文章引用的教材是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（必修1）》（蘇教2020年版），教學(xué)內(nèi)容為“6.3 對數(shù)函數(shù)”. 對數(shù)函數(shù)是高中繼研究指數(shù)函數(shù)后要研究的第二個基本初等函數(shù).學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)，一方面可以加深對函數(shù)概念的理解，強(qiáng)化研究函數(shù)的一般方法;另一方面，基本初等函數(shù)是常見且重要的函數(shù)模型，是學(xué)習(xí)其他函數(shù)的基礎(chǔ)，與生活實踐、科學(xué)研究也有著密切的聯(lián)系. 在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等性質(zhì)，嘗試探究了指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，了解了研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，理解了對數(shù)概念以及對數(shù)運(yùn)算，這些都構(gòu)成了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ). 教學(xué)中，一方面利用研究指數(shù)函數(shù)所獲得的經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生按照研究函數(shù)的一般方法來類比研究對數(shù)函數(shù)，進(jìn)一步強(qiáng)化研究函數(shù)的一般方法;另一方面，加強(qiáng)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，在知識的聯(lián)系中學(xué)習(xí)新知識，幫助他們形成知識結(jié)構(gòu)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提高認(rèn)知能力.

對數(shù)函數(shù)概念的建立、圖像的繪畫以及基本性質(zhì)的了解，屬于較抽象的概念性知識，有較大的理解難度. 而GGB能夠準(zhǔn)確生動地將對數(shù)與指數(shù)的抽象聯(lián)系以直觀形象的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更深刻地理解學(xué)習(xí)內(nèi)容. GGB的動態(tài)變化，能使學(xué)生產(chǎn)生良好的圖感，促進(jìn)學(xué)生通過直觀感受更深刻地理解概念形成的動態(tài)過程.

學(xué)情分析

（1）知識儲備：①較扎實地掌握了函數(shù)概念、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等性質(zhì);②理解了指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì);③學(xué)習(xí)過對數(shù)概念、對數(shù)運(yùn)算.

（2）能力與方法儲備：經(jīng)歷過指數(shù)函數(shù)的研究，了解研究函數(shù)的一般方法與步驟，且有一定的直觀想象能力和數(shù)學(xué)抽象能力，能夠遷移到對數(shù)函數(shù)的研究上.學(xué)習(xí)過指數(shù)、對數(shù)的關(guān)系，會利用二者的聯(lián)系類比研究對數(shù)函數(shù).

教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

目標(biāo)1：①通過具體的實例了解對數(shù)函數(shù)概念;②能用描點(diǎn)法畫出具體的對數(shù)函數(shù)的圖像，通過觀察圖像歸納對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

目標(biāo)2：在對數(shù)函數(shù)概念構(gòu)建和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)歸納的過程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象以及邏輯推理等核心素養(yǎng).

目標(biāo)3：通過類比體會數(shù)學(xué)各個內(nèi)容之間的聯(lián)系，嘗試從已有知識出發(fā)探索新知識，感受探索并獲得新知識的成就.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：建立對數(shù)函數(shù)概念，畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，探究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

（2）教學(xué)難點(diǎn)：利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，類比指數(shù)函數(shù)的研究方法，研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)問題診斷

數(shù)學(xué)問題的設(shè)置和情境引入中，旨在讓學(xué)生根據(jù)指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)流程來研究對數(shù)函數(shù)，即“列表—描點(diǎn)—畫圖”，強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)的一般方法.但是學(xué)生可能會直接利用指數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x的對稱圖像來研究對數(shù)函數(shù). 教師需要反復(fù)詢問研究指數(shù)函數(shù)的方法，從而類比研究對數(shù)函數(shù)，最后需要引導(dǎo)學(xué)生體會研究函數(shù)的一般方法.

教學(xué)媒體設(shè)計

本節(jié)課的媒體設(shè)計：為了形象生動地闡述概念，教師使用的是GGB軟件;為了提高課堂教學(xué)效率，及時方便展示學(xué)生繪圖，教師使用的是希沃授課助手軟件.

教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，類比遷移

引例1：某細(xì)胞分裂過程中，1個細(xì)胞分裂成2個，2個細(xì)胞分裂成4個，4個細(xì)胞分裂成8個……則細(xì)胞的個數(shù)y與分裂次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y=2x（x∈N*）.

引例2：一種放射性物質(zhì)，經(jīng)過的時間x（年）與物質(zhì)殘留量的關(guān)系為y=0.84x（x∈N*）.

問題1：上面情境是我們學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時的例子. 反之，引例1中如果已知細(xì)胞個數(shù)y，如何確定分裂的次數(shù)x呢？引例2中如果給定物質(zhì)殘留量y，如何求時間x（年）？即如何用y表示x呢？

問題2：這兩個引例中，x是關(guān)于y的函數(shù)嗎？

預(yù)先設(shè)定：“知y求x”屬于逆問題，學(xué)生可以利用已經(jīng)學(xué)過的對數(shù)的概念和運(yùn)算從算式角度表示x，但從函數(shù)定義角度判斷“x是否是關(guān)于y的函數(shù)”有一定的難度.

設(shè)計意圖：借用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)原有且熟悉的情境，可以將學(xué)生迅速帶入新知課堂. 從具體到抽象，借助于具體的案例（算式）讓學(xué)生進(jìn)一步體會指數(shù)、對數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，“知y求x”與之前“知x求y”產(chǎn)生了認(rèn)知沖突. 二者既有關(guān)聯(lián)又有沖突，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的好奇心與興趣.

高一學(xué)生缺乏一定的經(jīng)驗基礎(chǔ)和抽象概括能力，若讓學(xué)生直接從函數(shù)的代數(shù)定義上辨析問題，會存在一定的難度，故而筆者嘗試借助于GGB軟件，從形的角度展示并辨析函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，再回到嚴(yán)格的代數(shù)定義上，期望能幫助學(xué)生從數(shù)、形兩個角度理解對數(shù)函數(shù)概念，兼顧直觀與嚴(yán)謹(jǐn).

2.動態(tài)演示，生成概念

問題3：一般地，若y=ax（a>0，且a≠1），那么能用y表示x嗎？能否說x是關(guān)于y的函數(shù)呢？

預(yù)先設(shè)定：問題3較抽象，學(xué)生從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系及函數(shù)定義的角度來辨析該問題有較大難度，所以嘗試引導(dǎo)學(xué)生借助于指數(shù)函數(shù)的圖像來分析問題.

通過GGB軟件作出指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖像，在y軸正半軸上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作y軸的垂線，與指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖像相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作垂線交x軸于點(diǎn)C（如圖1所示）. 由作圖過程可以看到，對y軸正半軸上的任意一點(diǎn)D（任意的y），在x軸上都有唯一的點(diǎn)C（唯一的x）與之對應(yīng)，符合函數(shù)的代數(shù)定義. 此步引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，嘗試從形上點(diǎn)的對應(yīng)過渡到數(shù)上點(diǎn)的對應(yīng)，加深對函數(shù)概念的理解，生成對數(shù)函數(shù)概念.

設(shè)計意圖：傳統(tǒng)教學(xué)一般從代數(shù)的角度直接闡述“對任意的y，都有唯一的x與之對應(yīng)”，較抽象、晦澀，造成學(xué)生理解困難.而站在已有的指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，借助于GGB軟件進(jìn)行圖像展示，使得學(xué)生能更直觀地理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生從數(shù)、形兩個角度理解函數(shù)的定義. 更重要的是，利用GGB軟件中圖形的動態(tài)演示功能，可以讓學(xué)生認(rèn)識到，當(dāng)a變化時，圖像上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系依然滿足函數(shù)的定義，推動學(xué)生認(rèn)知從感性走向理性，從表面、模糊的認(rèn)識走向事物本質(zhì)聯(lián)系的理解，從特殊的認(rèn)識走向一般的歸納.

設(shè)計意圖：傳統(tǒng)教學(xué)中，通常通過繪畫的幾幅靜態(tài)圖像感受底數(shù)的變化對對數(shù)函數(shù)圖像的影響，有較大的難度，且很難體會變化的趨勢. 借助于GGB軟件的動態(tài)圖像優(yōu)勢，特別是跟蹤功能，能讓學(xué)生直觀地感受到對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是如何影響對數(shù)函數(shù)圖像的，加深對對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解. 以GGB軟件為平臺創(chuàng)設(shè)靈動的數(shù)學(xué)活動情境，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)構(gòu)建條件，由數(shù)據(jù)可視化啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生走向數(shù)學(xué)深處和思維高處.

4. 鞏固與運(yùn)用

例：試比較下列各題中兩個值的大小.

（1）log23.4與log28.5;

（2）log0.31.8與log0.32.7;

（3）loga5與loga6.

5. 回顧總結(jié)，體會感悟

（1）這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識？

（2）學(xué)習(xí)和研究新函數(shù)的內(nèi)容和一般方法是什么？

教學(xué)反思

1. 數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視概念教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視提出概念的必要性和概念發(fā)生、發(fā)展的過程，要讓學(xué)生參與其中，嘗試探索并發(fā)現(xiàn)概念，概括概念的定義，讓學(xué)生體會概念的生成過程，有利于深化學(xué)生對概念的理解.利用問題“若y=ax（a>0，且a≠1），那么能用y表示x嗎？能否說x是關(guān)于y的函數(shù)呢？”讓學(xué)生借助于指數(shù)函數(shù)理解對數(shù)函數(shù)，這是指數(shù)函數(shù)概念的應(yīng)用過程. 既然x=logay（a>0，a≠1）滿足x是關(guān)于y的函數(shù)，那么新的函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）就生成了. 由舊知到新知，應(yīng)從簡單到綜合地組織內(nèi)容，更應(yīng)循序漸進(jìn)地滲透和引入概念[2].

2. 設(shè)計恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境、問題和活動利于數(shù)學(xué)教學(xué)

筆者充分挖掘教材，結(jié)合以往學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的困難，直接利用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的情境，設(shè)計恰當(dāng)、準(zhǔn)確的問題，讓學(xué)生結(jié)合GGB軟件參與數(shù)學(xué)活動，從而達(dá)到學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的目的. 數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)情境是教師為了使學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力借助于教學(xué)內(nèi)容的背景材料及知識本身的可塑性而創(chuàng)設(shè). 它對調(diào)動學(xué)生的求知欲望，引發(fā)探究動機(jī)，促進(jìn)知識的保持和遷移都有好的作用[3].

3. GGB軟件的可視化、動態(tài)優(yōu)勢有利于數(shù)學(xué)概念教學(xué)

對數(shù)函數(shù)的教學(xué)過程是比較適合使用信息技術(shù)的，因為對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）的圖像會隨著a的變化而變化，如果僅僅依靠學(xué)生畫圖、憑借若干特殊例子，不利于歸納出一般的結(jié)論，所以此時如果加入信息技術(shù)，可以幫助學(xué)生清晰明了地看到對數(shù)函數(shù)不同的圖像. 教學(xué)過程中筆者使用的是GGB軟件，其強(qiáng)大的動畫功能可以加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)圖像的認(rèn)識和理解. GGB軟件借助于概念的直觀背景，對抽象概念進(jìn)行可視化表征，用豐富的樣例使概念獲得“原型”支持，形成概念的“模式直觀”，從而加深數(shù)學(xué)概念的深刻理解[4].

4. 技術(shù)融合是開展深度教學(xué)的必然選擇

深度教學(xué)首先體現(xiàn)的是知識內(nèi)容的呈現(xiàn)要觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，同時注重知識之間橫向或縱向的聯(lián)系;深度教學(xué)其次要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲得樸素而廣泛、深厚而靈動的數(shù)學(xué)思想，其中有4個環(huán)節(jié)，包括聯(lián)系的觀點(diǎn)，問題引領(lǐng)，交流和互動，努力幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)[5]. 這樣的深度教學(xué)很難被傳統(tǒng)的“一支筆一塊黑板一張嘴”的教學(xué)手段承載，于是運(yùn)用現(xiàn)代化技術(shù)手段，把現(xiàn)代化技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題的強(qiáng)有力的工具便成了數(shù)學(xué)深度教學(xué)的必然選擇.

5. 數(shù)、形靈活結(jié)合，兼顧直觀與準(zhǔn)確，兼顧技術(shù)與思考

華羅庚曾對數(shù)形結(jié)合有過精辟的論述：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”數(shù)抽象而形式化，形具體而形象化，數(shù)與形對應(yīng)的思維是分析思維與視覺化思維，這兩種思維在數(shù)學(xué)中都是必需的. 在教學(xué)中，筆者注重信息技術(shù)的使用，讓直觀的形幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，但不能讓圖形代替學(xué)生數(shù)學(xué)思考，更多還是要讓學(xué)生回歸形式化的數(shù). 在發(fā)達(dá)的信息時代，更不能讓信息技術(shù)完全取代學(xué)生的思維，比如學(xué)生的繪圖能力不可偏廢，必要時需要學(xué)生自己去繪圖.

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