陸萬順　陶閨秀

[摘? 要] 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，而數(shù)列概念作為學(xué)習(xí)數(shù)列的基礎(chǔ)，在教學(xué)中起著舉足輕重的作用. 學(xué)生只有充分掌握了數(shù)列概念，才能為學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列等知識奠定牢固的基礎(chǔ). 因此，文章以“數(shù)列的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從“對基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的理解”“教學(xué)設(shè)計(jì)與分析”“小結(jié)”三方面，初步探索基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)，力求可以在高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中更好地滲透核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);概念課;高中數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

對基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的理解

中學(xué)數(shù)學(xué)是由概念、命題經(jīng)推理組成的邏輯體系，概念、命題和推理是邏輯思維的三大基本形式，其中，概念是邏輯思維的細(xì)胞，是反映事物本質(zhì)屬性和特征的思維形式[1]. 數(shù)列概念的教學(xué)蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識和重要的思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的良好素材. 基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)際上對教師提出了更高的期望，要求教師在教學(xué)中除了具有培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的意識外，還要具備挖掘?qū)W生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的機(jī)會和載體的能力，從而將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)很好地融入教學(xué). 那么，“如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入數(shù)列概念的教學(xué)”是值得教師思索的. 下面以“數(shù)列的概念”為例，文章給出了基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)與分析.

基于核心素養(yǎng)的“數(shù)列的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)與分析

1. 教材分析

“數(shù)列的概念”是人教版高中數(shù)學(xué)必修5第二章第一節(jié)“數(shù)列的概念與簡單表示法”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容包括數(shù)列的定義、數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列的一般形式、數(shù)列的分類、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式這六部分. 作為基本概念，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)的重要研究對象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具[2]. 作為單元起始課，數(shù)列概念的教學(xué)有助于學(xué)生了解數(shù)列的應(yīng)用、數(shù)列的本質(zhì)，為后期學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列奠定牢固的基礎(chǔ).

2. 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)等相關(guān)知識，對集合及函數(shù)的研究方法也有一定的了解，基本可以按照“概念—表示—性質(zhì)—應(yīng)用”這一順序開展數(shù)列教學(xué);并且高二學(xué)生的心理基本趨于成熟，已經(jīng)具有了抽象思維的能力及獨(dú)立思考的意識，這為本節(jié)課的順利開展提供了基礎(chǔ)經(jīng)驗(yàn)和能力.

3. 教學(xué)目標(biāo)

將《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》同教材分析、學(xué)情分析相結(jié)合，制定了如下教學(xué)目標(biāo).

（1）理解數(shù)列的相關(guān)概念并能對數(shù)列準(zhǔn)確分類. （直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理）

（2）通過探究數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)并能體會到數(shù)列的項(xiàng)與序號之間的函數(shù)關(guān)系. （直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模）

（3）能夠根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式列出數(shù)列的項(xiàng)，能夠根據(jù)列出的數(shù)列的項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式. （數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）

（4）通過引入大自然、現(xiàn)實(shí)生活等方面的實(shí)例，經(jīng)歷數(shù)列概念概括這一過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的抽象美. （邏輯推理、數(shù)學(xué)建模）

4. 教學(xué)的重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)列的相關(guān)概念;知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù).

教學(xué)難點(diǎn)：在函數(shù)的觀點(diǎn)下理解數(shù)列概念，能夠根據(jù)列出的數(shù)列的項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

5. 教學(xué)方法

為了幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)列，讓核心素養(yǎng)滲透到數(shù)列概念的教學(xué)中，筆者將問題驅(qū)動(dòng)、自主探究等教學(xué)方法有機(jī)地貫穿于教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上加以抽象概括，充分遵循“（從）感知→（經(jīng)）表象→（到）概念”這一認(rèn)知規(guī)律. 在教學(xué)過程中充分發(fā)揮多媒體課件的作用，通過設(shè)計(jì)“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生建立新知與舊知的聯(lián)系，從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

6. 教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引出新知.

師：（例1）觀察單元主題圖，每朵花的花瓣數(shù)依次是——

生：3，5，8，12.

師：（例2）觀察下列圖形，正方形的個(gè)數(shù)依次是——

生：1，3，6，10.

師：（例3）觀察下列圖形，正方形的個(gè)數(shù)依次是——

生：1，4，9，16.

師：（例4）請寫出本班坐在第一排學(xué)生的學(xué)號組成的一組數(shù).

生：29，13，45，2，14，8，51，34.

師：（例5）請寫出無窮多個(gè)3構(gòu)成的一組數(shù).

生：3，3，3，3，….

師：（例6）按照從大到小的順序?qū)懗瞿壳巴ㄓ玫娜嗣駧诺拿骖~（單位：元）.

生：100，50，20，10，5，1，0.5，0.1.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)作為本節(jié)課的課堂導(dǎo)入，筆者列舉了有關(guān)大自然、現(xiàn)實(shí)生活等方面的實(shí)例，讓學(xué)生在直觀感知中抽象出數(shù)列的定義，將抽象的概念具體化，激發(fā)學(xué)生對新知的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而引出本節(jié)課的課題——數(shù)列的概念.

（2）引導(dǎo)探索，生成概念.

問題1：觀察以上6組數(shù)，它們有哪些共同特征？

生：他們都是一組數(shù).

問題2：能隨意調(diào)換以上5個(gè)例子（除例5外）的數(shù)的順序嗎？

生：不能.

問題3：我們把具有這樣特征的一列數(shù)稱為數(shù)列. 你能總結(jié)出數(shù)列的定義嗎？（小組討論）

注意：在這個(gè)過程中學(xué)生基本上能用自己的語言總結(jié)出數(shù)列的定義，但會存在一些問題，這時(shí)需要教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)與規(guī)范.

概念1：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)計(jì)的“問題串”引導(dǎo)學(xué)生觀察后分析出數(shù)列的特點(diǎn)，進(jìn)而抽象出數(shù)列的定義，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

問題4：在這個(gè)概念中，你認(rèn)為哪些字眼需要強(qiáng)調(diào)？

生：數(shù)、順序.

問題5：回憶以前學(xué)過的知識，想一想：除了數(shù)列外還有什么知識點(diǎn)也涉及“順序”？

生：集合.

問題6：數(shù)列和集合有什么關(guān)系呢？

生：集合講究無序性、互異性、確定性，數(shù)列講究有序性、可重復(fù)性、確定性.

總結(jié)：數(shù)列與集合既有聯(lián)系又有區(qū)別.

問題7：在集合中，“數(shù)”稱為什么？

生：元素.

問題8：在數(shù)列中，“數(shù)”稱為什么？

生：項(xiàng).

概念2：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

師：排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，以此類推，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).

問題9：觀察數(shù)列的項(xiàng)的概念，說一說你有什么發(fā)現(xiàn).

生：數(shù)列的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān).

一般形式：數(shù)列的一般形式可以寫成a，a，a，…，a，…，簡記為{a}.

師：其中，a稱為數(shù)列{a}的第1項(xiàng)，a稱為數(shù)列{a}的第n項(xiàng). （此處教師要引導(dǎo)學(xué)生注意區(qū)分a與{a}）

問題10：根據(jù)集合的分類，思考如何對數(shù)列進(jìn)行分類.

生：根據(jù)元素的個(gè)數(shù)，集合可以分為有限集、無限集. （推導(dǎo)出數(shù)列可以按項(xiàng)數(shù)分類）

分類1：按數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以把數(shù)列分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)滲透了類比遷移的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生察覺數(shù)列與集合的聯(lián)系，通過類比集合得到數(shù)列的項(xiàng)的概念、數(shù)列的第一種分類（分類1），發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

（3）聚焦函數(shù)，深化概念.

問題11：在一個(gè)數(shù)列中，知道了項(xiàng)數(shù)就能確定對應(yīng)的項(xiàng)，如果用下面的形式（如圖1所示）來表達(dá)這一關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)與數(shù)列的項(xiàng)是一一對應(yīng)的關(guān)系（項(xiàng)數(shù)“1”對應(yīng)著a，項(xiàng)數(shù)“2”對應(yīng)著a，項(xiàng)數(shù)“3”對應(yīng)著a……項(xiàng)數(shù)“n”對應(yīng)著a），可以想到函數(shù).

問題12：思考數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系.（小組討論）

生：數(shù)列是一種特殊的函數(shù).

問題13：既然數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，你能說出數(shù)列的定義域、值域嗎？

生：數(shù)列的定義域是正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}），值域就是數(shù)列所有的項(xiàng)組成的集合.

注意：在這一過程中，可能一部分學(xué)生只說出了數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集但忽略了有限子集{1，2，…，n}，此時(shí)教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生完善認(rèn)知，并同前文給出的5個(gè)例子相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)對于有窮數(shù)列來說，它的定義域應(yīng)該是有限的.

結(jié)論：數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)a=f（n）當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值. 反過來，對于函數(shù)y=f（x），如果f（i）（i=1，2，3，…，n）有意義，那么我們就得到了一個(gè)數(shù)列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

問題14：函數(shù)具有單調(diào)性，既然數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，那么類比函數(shù)的單調(diào)性，你認(rèn)為數(shù)列除了按項(xiàng)數(shù)分類外還可以如何分類？（分析前文5個(gè)例子）

生：可以根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)的大小進(jìn)行分類，分成遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、既不是遞增也不是遞減數(shù)列.

分類2：按照數(shù)列的項(xiàng)的大小進(jìn)行分類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列. （可以引導(dǎo)學(xué)生觀察前文的例4、例5，直觀感知擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列）

問題15：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)與數(shù)列的項(xiàng)是一一對應(yīng)的關(guān)系，能否用一個(gè)式子來表示出它們的對應(yīng)關(guān)系？

概念3：如果數(shù)列{a}的第n項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)聚焦函數(shù)，主要探討數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列通項(xiàng)公式的概念、數(shù)列的第二種分類（分類2），通過自主探究、合作交流等方式使數(shù)列的概念得到進(jìn)一步深化，使學(xué)生了解到數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

（4）運(yùn)用提升，理解感悟.

題1：分別寫出下面的數(shù)列.

①0～20之間的質(zhì)數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成的數(shù)列.

②0～20之間的合數(shù)的正平方根按從小到大的順序構(gòu)成的數(shù)列.

題2：根據(jù)下列數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式，寫出它的前5項(xiàng).

①a=;②a=（-1）n+1（n2+1）.

題3：觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用合適的數(shù)填空，并寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

①（ ），-4，9，（ ），25，（ ），49;

②1，，（ ），2，，（ ），.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)，筆者遵循從簡到難、循序漸進(jìn)的原則，設(shè)置了3道練習(xí)題，讓學(xué)生從最簡單的按要求寫出數(shù)列，到根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的項(xiàng)，再到補(bǔ)充缺少的項(xiàng)后寫出通項(xiàng)公式.這一環(huán)節(jié)充分考慮了每個(gè)學(xué)生，使學(xué)生在練習(xí)中發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

（5）歸納總結(jié).

問題16：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你都有哪些收獲？（引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識、思想方法、數(shù)學(xué)應(yīng)用三方面進(jìn)行總結(jié)）

設(shè)計(jì)意圖：筆者采用問題驅(qū)動(dòng)的方式，讓學(xué)生自己進(jìn)行歸納總結(jié)，從而幫助學(xué)生梳理課堂學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生歸納概括的能力.

（6）作業(yè)布置.

①閱讀32頁的“閱讀與思考”，思考斐波那契數(shù)列的特點(diǎn).

②根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容自主進(jìn)行查漏補(bǔ)缺練習(xí).

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了多元化的數(shù)學(xué)作業(yè)，主要分為閱讀、練習(xí)兩種，讓學(xué)生在掌握課堂知識的基礎(chǔ)上滲透一些數(shù)學(xué)文化，使其體會數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，發(fā)展多種核心素養(yǎng).

總結(jié)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是在教學(xué)中向?qū)W生講授數(shù)學(xué)概念的名稱、定義、屬性、本質(zhì)內(nèi)涵等相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)活動(dòng)，是引領(lǐng)學(xué)生打開數(shù)學(xué)知識大門的第一步，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)、培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀品質(zhì)[3]. 因此，教師在概念教學(xué)中應(yīng)始終堅(jiān)持發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，無論是在問題情境的創(chuàng)設(shè)上還是在處理新舊知識的聯(lián)系上都應(yīng)該處處滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 通過對“數(shù)列的概念”教學(xué)的實(shí)踐分析，為了更好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，總結(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)在教學(xué)過程中充分挖掘發(fā)展核心素養(yǎng)的機(jī)會和載體. 例如，在探究數(shù)列定義的過程中，筆者通過設(shè)置“問題串”讓學(xué)生觀察給出的數(shù)列實(shí)例，進(jìn)而歸納出數(shù)列的定義，發(fā)展了學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng);在數(shù)列的一般形式、數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列的通項(xiàng)公式的教學(xué)中滲透了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng);在數(shù)列的分類的教學(xué)中發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).

基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)以數(shù)學(xué)教學(xué)的基本規(guī)律為基礎(chǔ)防止知識的建構(gòu)過程與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)本末倒置. 數(shù)學(xué)教學(xué)要以建構(gòu)數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，如果忽視了這個(gè)基礎(chǔ)，任何三維目標(biāo)、任何核心素養(yǎng)的培育都是空話[4].

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)要堅(jiān)持“以學(xué)生為主”的教學(xué)原則. 新課改強(qiáng)調(diào)“以人為本”的學(xué)生觀，主張將課堂還給學(xué)生，教師在課堂上要給予學(xué)生足夠自主探究、獨(dú)立思考的機(jī)會和時(shí)間，讓學(xué)生在自主探究、合作交流的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)要加強(qiáng)滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生對概念的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程有一定的了解，體會數(shù)學(xué)概念的形成過程并不是一蹴而就的，并且在了解數(shù)學(xué)歷史過程中體會數(shù)學(xué)家運(yùn)用的思維方式，有助于提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

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