王 茜，林 磊

(華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241)

隨著課程標(biāo)準(zhǔn)改革的深入，數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容方面更加重視內(nèi)容間的整體性和互相聯(lián)系，其內(nèi)容設(shè)計由“部分—部分—整體”轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢w—部分—整體”，即以每一章的章引言、章頭圖等開始，接著展開每一節(jié)、每一課時的教學(xué)，最后以回顧與思考、復(fù)習(xí)題結(jié)束。每章的章頭圖、章引言、章頭語等引言部分內(nèi)容大部分都以趣味性的生活化圖片、數(shù)學(xué)文化等形式呈現(xiàn)，具有統(tǒng)領(lǐng)全章的作用，對整個章節(jié)知識框架的形成、知識間聯(lián)系的建立、基本思想方法的掌握都有重要作用。與之相應(yīng)的，一種新型課程“章起始課”出現(xiàn)了，越來越多的學(xué)者開始章起始課的實踐與相關(guān)理論研究。

陳勝彥[1]早在1998年通過對新舊教材的對比，指出了章頭圖的作用：明確學(xué)習(xí)目的；激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；學(xué)習(xí)的過程中融入思想教育；培養(yǎng)學(xué)生觀察力、抽象思維能力。余建國[2]認(rèn)為章起始課起著先行組織者的作用，章起始課教學(xué)中，可將章引言、章頭圖部分作為豐富的素材，為整章知識構(gòu)建了宏偉的藍(lán)圖；章起始課可以激發(fā)學(xué)生興趣、調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。章建躍博士[3]也對章起始課的先行組織者作用進(jìn)行了闡述。

在實際教學(xué)過程中，一方面，教師對于章起始課的重視程度不夠，認(rèn)為章起始課可有可無，為了節(jié)約時間，對于章起始課的內(nèi)容要不一筆帶過，要不直接忽略進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)，忽略了章起始課中數(shù)學(xué)基本思想方法以及情感價值的滲透[4]，更忽略了章節(jié)之間的聯(lián)系，最終導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)目的不明確，對這一章的知識框架、數(shù)學(xué)思想方法不清楚，失去了章起始課應(yīng)有的價值。另一方面，部分教師缺乏系統(tǒng)性的、科學(xué)性的理論指導(dǎo)，不知道章起始課應(yīng)該怎么上？本研究以北師大版初中數(shù)學(xué)教材《二次函數(shù)》這一章的教學(xué)設(shè)計為例，提出了初中數(shù)學(xué)章起始課的教學(xué)策略，有利于進(jìn)一步完善相應(yīng)的教學(xué)理論體系，為北師大版初中數(shù)學(xué)的章起始課的開展提供一定的借鑒。

1《二次函數(shù)》章起始課教學(xué)設(shè)計案例

1.1不同版本教材章引言

筆者針對《二次函數(shù)》這一章節(jié)章引言、章頭圖以及章內(nèi)容的設(shè)置，對北師大版[5]、人教版[6]、華師大版[7]的教材進(jìn)行了比較。在《二次函數(shù)》這一章中以上三個版本的教材都設(shè)置了相應(yīng)引言部分，北師大版和人教版均以現(xiàn)實生活中人們熟悉的曲線，如噴泉的水流、投籃入籃的路線等為背景，引出本章所學(xué)內(nèi)容；華師大版以生活中的花圃面積最大問題引出本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容。二次函數(shù)對于學(xué)生來說理解起來較為抽象，因此，在二次函數(shù)的章起始課教學(xué)中，可以從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，幫助學(xué)生理解變量之間的關(guān)系。筆者將章頭圖的籃球入籃線路放在平面直角坐標(biāo)系中,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，讓學(xué)生在知識的自然生長過程中接受新的知識。

在章節(jié)內(nèi)容的設(shè)置上，三個版本的教材內(nèi)容相同，只是在學(xué)習(xí)順序上有稍許差異。在學(xué)習(xí)二次函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)中常見的一次函數(shù)和反比例函數(shù)，因而可類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法幫助學(xué)生來認(rèn)識二次函數(shù)，幫助學(xué)生形成研究函數(shù)的一般思路。

1.2教材分析

《二次函數(shù)》是北師大版九年級下冊第二章的內(nèi)容。在知識關(guān)聯(lián)上，二次函數(shù)是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上展開的，而二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，又為以后指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；在能力關(guān)聯(lián)上，學(xué)生在一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷了研究函數(shù)的一般思路，也在相應(yīng)的教學(xué)活動中，體會了將實際問題轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)來解決的函數(shù)模型思想，為本節(jié)課研究二次函數(shù)奠定基礎(chǔ)。

本章通過類比一次函數(shù)，學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)以及應(yīng)用等，使學(xué)生進(jìn)一步體會函數(shù)的模型思想、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展幾何直觀。同時也將有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，加強學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

1.3教學(xué)目標(biāo)

(1)探索變量間的二次函數(shù)關(guān)系，體會其中的模型思想。

(2)對本章的知識有初步的認(rèn)識，并能形成一定的知識脈絡(luò)，提升學(xué)生自主建構(gòu)知識的能力。

(3)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力，體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展幾何直觀。

1.4教學(xué)重難點

教學(xué)重點：理解二次函數(shù)的定義及一般形式；能用二次函數(shù)表示簡單變量之間的關(guān)系。

教學(xué)難點：通過章首課的學(xué)習(xí)建立學(xué)習(xí)二次函數(shù)的一般思路，初步構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系。

1.5教學(xué)過程

1.5.1 情境導(dǎo)入提出問題

問題1 把籃球在空中經(jīng)過的路線圖放在平面直角坐標(biāo)系中，回答下面兩個問題。

①當(dāng)時間確定，籃球的高度是否確定？籃球的高度是時間的函數(shù)嗎？

②若這條路線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，y=-0.4x2+1.05x+1.8，它是一次函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？你認(rèn)為這是一個什么函數(shù)呢？

問題2 一個長方形的周長為100cm,若長是xcm,其面積y與x有何關(guān)系？

問題3 有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是x，且這兩個數(shù)的和為20，請寫出兩數(shù)之積y與x的表達(dá)式。

設(shè)計意圖：把章頭圖中籃球在空中經(jīng)過的路線圖放在平面直角坐標(biāo)系中，引出一種新的函數(shù)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)二次函數(shù)的必要性。通過多個問題情境得出數(shù)量關(guān)系，為之后二次函數(shù)的概念做鋪墊。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決的過程中，體會建模思想。

1.5.2 合作引導(dǎo)新知探究

(1)仔細(xì)觀察以上函數(shù)關(guān)系式，它們有何共同點？

①y=-0.4x2+1.05x+1.8；

②y=(50+x)(500-5x)=-5x2+250x+25000；

④s=x(10-x)=-x2+10x。

生1：都有兩個變量，一個自變量，一個因變量。

生2：未知數(shù)的最高次是2次。

師：這兩個變量之間滿足二次函數(shù)的關(guān)系，類比一次函數(shù)的概念，你認(rèn)為什么是二次函數(shù)？

二次函數(shù)的定義：一般地，若兩個自變量x，y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)的形式，則稱y是x的二次函數(shù)。

ax2叫做二次項，a為二次項系數(shù)；bc叫做一次項，b為一次項系數(shù)；c為常數(shù)項。

(2)上述問題中的四個函數(shù)的自變量的取值范圍是什么？

①x≥0；

②0≤x≤100；

③x>0；

④x為全體實數(shù)。

設(shè)計意圖：根據(jù)多個函數(shù)表達(dá)式，類比一次函數(shù)的概念，歸納得出二次函數(shù)的概念，并對自變量的取值范圍有所了解。

1.5.3. 適時檢測 鞏固新知

(1)你能舉出二次函數(shù)的例子嗎？

生1：正方形的面積S與邊長a的關(guān)系：S=a2。

生2：圓的面積S與半徑r的關(guān)系：S=πr2。

生3：若y=2x2+3x。則y是x的二次函數(shù)。

(2)下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?

③s=t(1-t)；④y=(x-1)2-x2；

生：①③是二次函數(shù)。

(3)請寫出一個二次函數(shù)的表達(dá)式，并指出各個項的系數(shù)。

設(shè)計意圖：通過辨識練習(xí)及舉例，加強二次函數(shù)概念的理解。

1.5.4. 類比遷移 統(tǒng)攝全章

師：對于一次函數(shù)、反比例函數(shù)，我們是從哪些方面展開研究的？

生：函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用。

師：類比學(xué)習(xí)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的方法，我們可以來研究二次函數(shù)，目前已經(jīng)知道了二次函數(shù)的定義以及表達(dá)式，接下來我們可以研究二次函數(shù)的圖象。

師：籃球投入籃筐的路線圖我們知道了二次函數(shù)y=-0.4x2+1.05x+1.8對應(yīng)的圖像，它的圖象是直線還是曲線？是不是所有二次函數(shù)的圖像都與這個圖像類似呢？

生：曲線，可以再畫幾個二次函數(shù)的圖象來驗證。

師：你能通過籃球在空中經(jīng)過的路線圖y=-0.4x2+1.05x+1.8看出籃球何時達(dá)到最大高度？最大高度有多少？籃球高度隨著時間的變化如何變化？

生：在圖象的最高點處籃球達(dá)到最高，最高約2.5米，y隨著x的增加先增加后減少。

師：若已知籃球高度為2米，你能知道此時所對應(yīng)的時間嗎？

生：可以，令y=2,則-0.4x2+1.05x+1.8=2,解這個方程得到x的值就是所對應(yīng)的時間。

師：也就是說二次函數(shù)的問題，可以通過轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解決。

設(shè)計意圖：由一系列的問題串，通過類比學(xué)習(xí)，得到二次函數(shù)的研究思路，引出本章需要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，為之后學(xué)生自主構(gòu)建本章知識框架奠定基礎(chǔ)。利用章頭圖中的問題情境，進(jìn)一步體會二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系。

1.5.5. 小結(jié)提升 統(tǒng)攝全章

設(shè)計意圖:學(xué)生回顧本節(jié)課內(nèi)容，建立本章知識網(wǎng)絡(luò)(見圖1)，體會知識間的聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識體系。

圖1

1.6教學(xué)反思

就本節(jié)課的教學(xué)實踐，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)情況，對本節(jié)課的教學(xué)作出以下幾點反思：

(1)二次函數(shù)對于學(xué)生來說較為抽象，因此對二次函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)充分挖掘生活中的問題情境以及章頭圖的內(nèi)容，從豐富的現(xiàn)實背景和學(xué)生感興趣的問題出發(fā)，幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，體會函數(shù)思想，滲透建模意識。通過學(xué)生之間的合作與交流的探究性活動，培養(yǎng)學(xué)生合作交流能力。

(2)之前學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)對于學(xué)生來說是非常寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，因此本節(jié)課多次利用“類比學(xué)習(xí)”，幫助學(xué)生理解二次函數(shù)，借助研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)的基本思路進(jìn)一步研究二次函數(shù)，形成對二次函數(shù)整體的認(rèn)識，最后，在教師引導(dǎo)下構(gòu)建本章知識框架，形成系統(tǒng)的知識體系，建立學(xué)習(xí)自信。

2初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)設(shè)計的主線

通過初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)設(shè)計，提出了初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)設(shè)計的主線：

“為什么學(xué)”：教師應(yīng)該明確章起始課教學(xué)的價值，讓學(xué)生全面認(rèn)識到本章內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段中的地位、意義和價值，樹立有意義的學(xué)習(xí)心向，促進(jìn)學(xué)生有興趣地高效學(xué)習(xí)。

“學(xué)什么”：圍繞每章開頭的“章引言”、“章頭圖”、“章單元目標(biāo)”，充分研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，把握本章核心概念與重難點，理清知識間的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建本章核心知識的基本框架，建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

“怎么學(xué)”：在合理安排本章學(xué)習(xí)內(nèi)容的同時，滲透數(shù)學(xué)思想方法，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般思路，比如在研究函數(shù)的過程中，可采用“類比”的學(xué)習(xí)方法，幫助學(xué)生形成研究函數(shù)的基本思路，形成數(shù)學(xué)的思維方式，發(fā)展學(xué)生能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3章起始課的教學(xué)策略及建議

3.1取材生活化

數(shù)學(xué)來源于生活又高于生活，并應(yīng)用于生活。在課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生認(rèn)為所學(xué)知識太難，希望教師能夠用更加淺顯易懂的方式幫助學(xué)生理解。這就要求教學(xué)素材生活化，從生活現(xiàn)象、生活經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)知識，最終應(yīng)用于生活，解決實際問題。一方面將抽象的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生熟悉的生活場景、生活經(jīng)驗相結(jié)合，降低了學(xué)生的認(rèn)知難度；另一方面將枯燥的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生熟悉的生活場景、生活經(jīng)驗相結(jié)合，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。二次函數(shù)對于學(xué)生來說較為抽象，因此，這就要求我們盡量加強數(shù)學(xué)知識與實際生活的聯(lián)系，貼近生活，用函數(shù)知識幫助學(xué)生解決生活中得數(shù)學(xué)問題，用生活經(jīng)驗幫助學(xué)生理解函數(shù)知識。

3.2元素多元化

信息技術(shù)在教學(xué)中的運用改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，合理運用信息技術(shù)既能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，也能提高課堂效率。比如利用課件制作知識脈絡(luò)圖，加深學(xué)生對上位概念和下位概念的理解；在二次函數(shù)的教學(xué)中，可以利用幾何畫板，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，直觀感受圖形的變化等。將現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，有效的改進(jìn)了教與學(xué)的方式，使學(xué)生更樂于參與到課堂學(xué)習(xí)中去。

在不同章起始課的教學(xué)過程中，也可以融入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的知識，幫助學(xué)生了解相關(guān)的背景知識，包括數(shù)學(xué)的產(chǎn)生及其在人類歷史發(fā)展中的作用。比如無理數(shù)的產(chǎn)生以及第一次數(shù)學(xué)危機的爆發(fā)；方程的產(chǎn)生和發(fā)展以及古代著名方程問題；平面直角坐標(biāo)系的創(chuàng)立及其創(chuàng)立者笛卡爾的“浪漫心臟線”愛情傳說；圓周率π的計算方式以及祖沖之父子的卓越成就；勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明等。把這些數(shù)學(xué)史知識放在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，可以幫助學(xué)生建立有意義學(xué)習(xí)的心向，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也有益于培養(yǎng)學(xué)生追本溯源的科學(xué)態(tài)度。

3.3活動豐富化

杜威認(rèn)為，教學(xué)中不能“以教師為中心”，學(xué)生不是學(xué)習(xí)的機器，教學(xué)中應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓他們在學(xué)中做，在做中學(xué)。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是積極的、主動的去探索的過程，認(rèn)真聽講、獨立思考、實踐操作、小組合作等都是課堂中重要的學(xué)習(xí)活動。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該給學(xué)生充分的時間去經(jīng)歷觀察、猜測、驗證、總結(jié)歸納的學(xué)習(xí)過程[8]。數(shù)學(xué)活動的基本特點是“動”和“活”，因而，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點，選擇能夠激發(fā)學(xué)生興趣的方式，組織相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，調(diào)動學(xué)生獨立思考、積極探索，重視學(xué)生的活動經(jīng)驗與情感體驗，使學(xué)生在愉快的教學(xué)活動中認(rèn)識知識本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)思想方法。

3.4方法靈活化

初中數(shù)學(xué)教材很多知識點的學(xué)習(xí)，其思維方式相似，學(xué)習(xí)這些知識點時經(jīng)常 要用到類比的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)中可以巧妙的用類比的方法處理章首課，在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，對于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，類比之前學(xué)過的一次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，把這些零散的知識串聯(lián)起來，讓學(xué)生從不同中找到相同，從變化中找到不變，以揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。學(xué)生能從中感受到從已知到未知、從特殊到一般的知識之間的相互轉(zhuǎn)化和遷移的過程，這才是數(shù)學(xué)教育的本真。

3.5知識鏈條化

布魯納說：“獲得的知識，如果沒有完整的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起，那是一種 多半會遺忘的知識”。知識鏈條化有利于學(xué)生掌握知識間的關(guān)聯(lián)，形成完備的知識體系。為幫助學(xué)生實現(xiàn)知識碎片化向鏈條化的轉(zhuǎn)變，教師可以在章末引導(dǎo)學(xué)生形成本章內(nèi)容的思維導(dǎo)圖。在二次函數(shù)的章起始課的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課內(nèi)容，建立本章知識網(wǎng)絡(luò)，體會知識間的聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識體系。

4結(jié)束語

對教師而言，章起始課的教學(xué)可以鞭策教師更深入、更系統(tǒng)的研究數(shù)學(xué)教材及數(shù)學(xué)知識本身,提高教師的綜合能力。對學(xué)生而言，一方面，優(yōu)質(zhì)的章起始課可以幫助學(xué)生構(gòu)造知識框架、理解知識間的聯(lián)系、形成完整的知識體系，體會這一章節(jié)在初中數(shù)學(xué)知識中的作用和地位，從更廣闊、更高遠(yuǎn)的視角來理解所學(xué)知識，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。另一方面，探究性的章起始課更有利于調(diào)動學(xué)生多思考、深入全面的思考，從而有助于全方面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。