李玲　李紅梅

[摘? 要] 數(shù)學性質(zhì)的教學是培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的重要載體，本質(zhì)屬性的抽取，數(shù)學性質(zhì)的抽象概括、數(shù)學表達、數(shù)學應用等環(huán)節(jié)都是培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的良好契機. 在數(shù)學性質(zhì)的課堂教學中，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的策略有：利用直觀想象，將抽象過程可視化;歸納整理知識，將抽象結(jié)果結(jié)構(gòu)化;多維變式例題，將抽象結(jié)果理解深化.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學抽象;直觀想象;變式;數(shù)學性質(zhì)

問題提出

目前，數(shù)學教育仍存在短板，一定程度上導致教育發(fā)展不均衡，從而無法切實將“立德樹人”這一根本任務落到實處，為解決這一現(xiàn)狀，引入數(shù)學核心素養(yǎng)，促使課堂教學從應試教育向素質(zhì)教育過渡，打破僵硬、陳舊的教學[1]. 數(shù)學抽象素養(yǎng)是基本素養(yǎng)，也是核心素養(yǎng)，抽象作為基本思想，貫穿于數(shù)學概念和法則的教學[2]，而性質(zhì)教學是數(shù)學抽象內(nèi)容的一部分. 在義務教育階段，教授者應指導學習者在性質(zhì)教學中學會抽象，能夠拓展數(shù)學抽象思維，為數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成做鋪墊. 本文依據(jù)圖像探究，在性質(zhì)形成過程中對相關(guān)數(shù)學對象進行抽象，進一步提出對數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)建議.

性質(zhì)教學中數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學性質(zhì)的學習屬于抽象性學習，學生對于這一塊的學習往往理解含糊，沒有敏捷的思維能力進行分析，無法進一步探究復雜多變的問題. 初中階段，由于學生還未形成正確的抽象意識，缺乏數(shù)學抽象思維，從而無法從基本圖像中抽象性質(zhì)屬性.

1. 知識結(jié)構(gòu)分析

“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是人教版初中數(shù)學實驗教科書九年級下冊第二十六章第一節(jié)“反比例函數(shù)”的內(nèi)容. 以該節(jié)課本主體內(nèi)容為例，通過性質(zhì)構(gòu)建過程的逐次遞進，探析在教學中怎么培養(yǎng)學習者的數(shù)學抽象素養(yǎng).

平面直角坐標系、一次函數(shù)和二次函數(shù)的學習在反比例函數(shù)之前，學生接續(xù)已學知識，向前邁向新的一步，“接納”新函數(shù)，聯(lián)系一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)的學習方法，通過類比慢慢轉(zhuǎn)接到對反比例函數(shù)性質(zhì)的學習，認真體會新函數(shù)的內(nèi)涵，充分感受由“靜”到“動”的過程[3];再者，函數(shù)性質(zhì)的學習，包含了數(shù)形結(jié)合思想、建模思想，具有實踐性、探索性，為后續(xù)內(nèi)容聯(lián)系、應用打下基礎.

2. 性質(zhì)構(gòu)建過程

數(shù)學性質(zhì)形成過程中，學生應在教師的引導下不斷分析問題，逐級抽象數(shù)學性質(zhì)，揭開數(shù)學知識的神秘面紗. 正比例函數(shù)是學生剛開始接觸的函數(shù)，也是突破函數(shù)性質(zhì)的第一關(guān)卡，為后續(xù)函數(shù)性質(zhì)的學習提供了有效的學習途徑. 正比例函數(shù)性質(zhì)的學習大致通過這樣的性質(zhì)構(gòu)建過程：實際問題引入具體函數(shù)解析式→利用“描點”的方法作出圖像→觀察圖像并抽取函數(shù)本質(zhì)特征→采用文字語言歸納和總結(jié)性質(zhì)→講解例題促進學生理解性質(zhì)[4]. 學生又先后學習一次函數(shù)、二次函數(shù)，具有一定的知識儲備，一是知道如何由數(shù)想形，以解析式為基礎，觀察、探析所畫函數(shù)圖像;二是探究函數(shù)性質(zhì)時，需要數(shù)形結(jié)合[5]，進而抽象表達出性質(zhì);三是通過觀察不同函數(shù)的圖像，知道不同函數(shù)所生成圖像的特點.

學習反比例函數(shù)性質(zhì)，學生可根據(jù)先前所獲經(jīng)驗，在其性質(zhì)形成過程中對相關(guān)數(shù)學對象進行抽象，以利于性質(zhì)的獲得. 在此以正比例函數(shù)性質(zhì)構(gòu)建過程為基礎，提出反比例函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建過程：

以下將聯(lián)系反比例函數(shù)性質(zhì)構(gòu)建過程，分析教材內(nèi)容，基于教材展示數(shù)學探究活動，讓學生經(jīng)歷完整的抽象過程[6].

（1）直觀感知，抽取本質(zhì)特征

例題1 畫出反比例函數(shù)y=與y=的圖像[7].

問題1：用什么方法能畫出上述函數(shù)的圖像？

對于課本中的例題2，先讓學生回顧正比例函數(shù)的學習方法，有利于學生進行類比遷移. 根據(jù)學生的認知水平，他們已知能由描點法進行刻畫，也已知前幾類函數(shù)圖像的特征. 畫出反比例函數(shù)圖像后，學生可進一步觀察、分析圖像特點，以達到利用圖像的可視化進行外部刺激的效果，順利完成“辨別圖像刺激”;學生通過觀察兩個具體圖像，感知函數(shù)的性質(zhì)，確定圖像形狀與所分布象限，同時發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y仍隨著自變量x的變化而變化，這是學生能從正比例函數(shù)圖像和二次函數(shù)圖像中遷移過來的特征，即滿足“分化函數(shù)圖像屬性”這一步.

（2）抽象概括，獲得數(shù)學性質(zhì)

問題2：觀察上述圖像，回答：

①每個函數(shù)的圖像所在象限？

②在每一個象限內(nèi)，y如何由x的變化而變化？根據(jù)解析式，你能說明理由嗎？

③對于反比例函數(shù)y=（k>0），考慮①和②，得出的結(jié)論是一樣的嗎？[7]

第一，類化與抽象. ①和②的設置，可以完成數(shù)學抽象過程中的“類化”與“抽象”. 觀察兩個函數(shù)圖像，函數(shù)y=與y=的圖像均分布于兩個象限，即第一象限和第三象限，分別分析兩個象限內(nèi)的函數(shù)值變化，圖像從左至右看，函數(shù)值從上到下逐漸減小. 此時利用圖形直觀的方式表現(xiàn)了k>0時反比例函數(shù)圖像的特點，得到他們的共同屬性：處于第一象限、第三象限與“減小”. 在類化函數(shù)圖像共同屬性的基礎上，進一步采取特殊到一般的方法，引導學生從具體例子中抽象出反比例函數(shù)y=（k>0）的基本性質(zhì).

第二，概括與表達. 對于③，是為完成數(shù)學抽象過程中的“概括”與“符號表達”，通過比較、歸納具體實例，用文字語言將關(guān)鍵詞進行串聯(lián)，概括表述性質(zhì)：引導學生將圖形語言轉(zhuǎn)換為自然語言，討論自變量x與其函數(shù)值y之間的關(guān)系. 對于例題2中反比例函數(shù)y=，學生學會用自然語言描述圖像，即“函數(shù)y=的圖像在這兩個象限內(nèi)，隨著x的增大，y減小”. 全體學生獲得了用文字語言描述數(shù)學性質(zhì)的能力，以此為基礎，教師需要教會部分學優(yōu)生用符號語言進行表述. 利用數(shù)學符號，學優(yōu)生能夠描述反比例函數(shù)y=（k>0）性質(zhì)中“減小”這一特點. 對于特殊函數(shù)y=，用符號語言表述“在每一個象限內(nèi)，任取兩數(shù)x，x，令x0時，反比例函數(shù)y=的圖像位于第一象限和第三象限，每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小”，對于全體初三學生而言，僅需掌握這一描述;而對于學優(yōu)生，教師還可以進一步教會他們用符號語言表述這一定義“當k>0時，反比例函數(shù)y=的圖像位于第一象限和第三象限，那么在每一個象限內(nèi)任取x，x，得y=，y=，當xy”.

第三，類比與定義. 類比正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=（k>0）的性質(zhì)探究，采用同樣的方法，對于k<0的情況，教師可以同學生一起定義其性質(zhì)：“當k<0時，反比例函數(shù)y=的圖像位于第二象限和第四象限，每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大”. 轉(zhuǎn)換為符號語言“當k<0時，反比例函數(shù)y=的圖像分別位于第二象限和第四象限，那么在每一個象限內(nèi)任取x，x，得y=，y=，當x0時的構(gòu)建過程去探究，也體會了類比方法的簡便性.

（3）歸納整理，表達數(shù)學性質(zhì)

一般地，反比例函數(shù)y=的圖像是雙曲線，它具有以下性質(zhì)：

①k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一象限與第三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;

②k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二象限與第四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. [7]

教材歸納，是為達到數(shù)學抽象階段的“理論形成”，首先，將反比例函數(shù)圖像與雙曲線相結(jié)合，有益學習者聯(lián)系新知與舊知，并促進其對知識的再認知. 再者，通過上述階段的逐級抽象，最后得到一般性結(jié)論，闡述了反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及如何表達數(shù)學性質(zhì)，形成了完整的理論.

（4）例題變式，理解抽象結(jié)果

例題2 已知反比例函數(shù)y=圖像的一支（如圖5）. 問：①圖像的另一支在哪個象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？②在圖像的一支上隨意取點A（x，y）和點B（x，y），若x>x，那么y和y有怎樣的大小關(guān)系？[7]

這個題目是為了了解學生對數(shù)學性質(zhì)的理解與運用程度. 對于問題①，學生通過討論圖像分布象限，探究m的取值范圍，實質(zhì)是對反比例函數(shù)中k的討論;對于問題②，學生已知圖像的分布，可直接根據(jù)性質(zhì)定義判斷得到在每一個象限任取x，x，當x>x，都有y

變式1：已知反比例函數(shù)y=過點A（-2，-1），m的值是多少？圖像位于哪些象限？

變式2：點A（2，y），（5，y）在反比例函數(shù)y=上，比較y和y的大小.

變式3：已知反比例函數(shù)y=，問：①探究常數(shù)m的取值范圍，觀察此時函數(shù)圖像的分布情況. ②在圖像某一支上任取兩點M（x，y），N（x，y），若x

變式1簡單改變函數(shù)解析式，將例題中給出圖像變化變?yōu)榻o出點坐標，引導學生通過點的坐標求解問題;變式2通過判斷m2+3的值與0的關(guān)系確定圖像所在象限，再根據(jù)給出的不同x值對相應y值進行比較，需要注意此題無關(guān)具體關(guān)系式的求解;變式3需要學生綜合考慮，分類討論m-5的符號，進而解答疑問.

例題及變式的設置，是為了“理解”與“應用”. 學生學習新知，教師需要綜合教材內(nèi)容與學生學情，通過逐次遞進的變式，引導學生探究知識的“來龍去脈”[8]. 兩個例題的設置均以反比例函數(shù)圖像性質(zhì)為中心，突出其本質(zhì)，利用性質(zhì)定義解題，學生能對學習內(nèi)容有更清晰的理解，實現(xiàn)學習目標. 再者，上述變式通過例2進行衍生，促使學生更好地理解本節(jié)知識，更好地掌握抽象結(jié)果. 通過變式，學生在反比例函數(shù)性質(zhì)的學習構(gòu)建過程中，多角度思考問題，知道在問題解決過程中從圖像出發(fā)，但不局限于用圖像解決問題，從而理解從圖像中所抽象出來的性質(zhì)，學會運用性質(zhì)定義，同時，掌握相關(guān)數(shù)學方法，積累數(shù)學經(jīng)驗.

教學建議

基于對性質(zhì)教學中具體數(shù)學內(nèi)容的探析，筆者給出三個教學建議.

1. 利用直觀想象，將數(shù)學抽象過程可視化

直觀想象是數(shù)學抽象的基礎，采用直觀手段，學生進一步借助直觀進行想象，有利于學生進行數(shù)學抽象，從感性認識上升到理性認識. 通過數(shù)學抽象的過程，學生直觀感知，察看、分解問題，領(lǐng)會所學知識，解決問題：首先，積極思考，主動參與學習探究，分析所提供的直觀材料，從圖像中抽取事物的本質(zhì)特征;其次，結(jié)合信息技術(shù)教學，學生體會圖形的動態(tài)變化過程，簡化題設中的問題;最后，從數(shù)學抽象中明白將實質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，形成正確認識. 教師應充分調(diào)動學生的直觀認知，引導學生有意識地利用直觀想象探究知識的產(chǎn)生與發(fā)展，使學生有效掌握抽象事物的形成過程，逐漸形成數(shù)學抽象素養(yǎng).

2. 歸納整理知識，將數(shù)學抽象結(jié)果結(jié)構(gòu)化

知識結(jié)構(gòu)展示了相關(guān)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，給予學生清晰的知識線，歸納整理知識結(jié)構(gòu)，有利于知識系統(tǒng)化、知識整體化、知識簡易化. 數(shù)學抽象素養(yǎng)蘊含在豐富的教學內(nèi)容中，這就要求教師在教學中幫助學生厘清知識間的脈絡，獲得抽象方法，利用圖示促使學生理解記憶. 新知的學習是在舊知的鋪墊下進行的，學生應當學會“讀”材料，“析”材料，注意抽象知識之間的層次分節(jié)，同化或順應知識，表達數(shù)學抽象結(jié)果，納入相關(guān)知識系統(tǒng)，將其結(jié)構(gòu)化，促進自身的思維訓練，這有利于知識之間的正遷移，對其他具體數(shù)學內(nèi)容也能進行逐級抽象. 如本文對反比例函數(shù)性質(zhì)的學習，接續(xù)對變量、函數(shù)的初步了解，以及對其概念的掌握，更深層次地基于圖像抽象性質(zhì)，為之后學習各類函數(shù)提供了基礎方法，同時，廣泛應用于函數(shù)、方程、不等式中.

3. 多維變式例題，將數(shù)學抽象結(jié)果理解深化

例題構(gòu)成了教學內(nèi)容，是不可或缺的一部分，是對某一知識具體運用的體現(xiàn)，較為集中地體現(xiàn)了其特點、思想和要領(lǐng)等，淺顯易懂地呈現(xiàn)在學生眼前. 學生通過解答例題，能夠熟悉概念定義、公式定理等，明晰相關(guān)符號語言的表示意義，形成正確的知識體系，突出數(shù)學對象的本質(zhì). 對例題的變式，能夠加強知識間的關(guān)聯(lián)性，串聯(lián)零散的知識點，讓學生感受知識生長過程的同時，可以多維度強化數(shù)學知識，感知數(shù)學抽象素養(yǎng)，提高認識力，促進他們對數(shù)學抽象結(jié)果的深化理解. 此外，進行知識教學，應避免“解題教學”，變式以例題為基準，設計以本堂課中心內(nèi)容為主線、以學生理解抽象結(jié)果為目標的問題，并非強調(diào)解題技巧、解題速度.

結(jié)束語

本文以反比例函數(shù)為例，利用直觀想象、歸納整理和例題變式等活動開展教學，將抽象過程可視化，抽象結(jié)果結(jié)構(gòu)化，使學生的數(shù)學理解深刻化，從而展現(xiàn)性質(zhì)教學中數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)過程. 這一知識構(gòu)建過程適用于數(shù)學性質(zhì)教學，如一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等. 當然，根據(jù)實際教學情境的不同，具體教學設計也應有所變化，例如在直觀想象的過程中，僅從圖像角度進行教學設計有其局限性，抽象過程可視化的方法還有很多，還有待進一步研究.

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