朱青

摘要：線性代數(shù)是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，在專業(yè)學(xué)習(xí)和實(shí)際生活中都有廣泛的應(yīng)用，為培養(yǎng)高素質(zhì)應(yīng)用型人才提供必備的基礎(chǔ)知識。闡述混合式教學(xué)模式的內(nèi)涵，明確線性代數(shù)課程體系，研究混合式教學(xué)模式在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，并給出案例分析。通過開展混合式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的抽象思維能力以及解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);混合式教學(xué);信息技術(shù);數(shù)學(xué)軟件;在線教學(xué)平臺

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）06-0175-03

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

線性代數(shù)是理工農(nóng)林類院校各專業(yè)的一門重要課程，在眾多專業(yè)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。傳統(tǒng)教學(xué)模式下，以教師講授為主，學(xué)生被動學(xué)習(xí)，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力較差，沒有得到相應(yīng)的培養(yǎng)。另外，由于課程較為抽象難懂，并且教學(xué)過程普遍重理論輕應(yīng)用，學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)積極性不高。隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，基于“線上 + 線下”的混合式教學(xué)成為高等教育發(fā)展的一個新方向?；旌鲜浇虒W(xué)模式下，線性代數(shù)教學(xué)發(fā)生了重大變革，傳統(tǒng)的教學(xué)方法、教學(xué)手段需要改變和調(diào)整，線性代數(shù)教學(xué)需要注入新的生機(jī)和活力。

1 混合式教學(xué)模式的內(nèi)涵

混合式教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)將傳統(tǒng)的課堂教學(xué)與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)相結(jié)合，在教師的引領(lǐng)下，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，全面提升教學(xué)效果。經(jīng)過廣大教育工作者的努力探索，逐步摸索出一條適應(yīng)我國高等教育發(fā)展的道路。目前，普遍認(rèn)可“MOOC+翻轉(zhuǎn)課堂”或“SPOC+翻轉(zhuǎn)課堂”的形式，可將整個教學(xué)環(huán)節(jié)分成三部分。課前，將自主學(xué)習(xí)任務(wù)單、教學(xué)視頻、討論題、拓展閱讀等相關(guān)資料上傳至網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺，學(xué)生通過觀看視頻進(jìn)行自主學(xué)習(xí);課中，在教師的引導(dǎo)和學(xué)生的積極參與下，開展翻轉(zhuǎn)課堂;課后，師生之間通過網(wǎng)絡(luò)開展交流互動、輔導(dǎo)等活動。

在這種新的教學(xué)模式下，由于課前學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行自學(xué)，課中環(huán)節(jié)教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，采用多種教學(xué)策略，有效開展翻轉(zhuǎn)課堂。一方面，利用啟發(fā)引導(dǎo)、重點(diǎn)答疑、小組討論、學(xué)生展示等各種方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位;另一方面，在“黑板+多媒體”的傳統(tǒng)教學(xué)手段上，結(jié)合學(xué)習(xí)通、雨課堂等智慧教學(xué)工具，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與度。

2 線性代數(shù)課程體系

多年來，通過眾多教育者的努力，我國線性代數(shù)課程的內(nèi)容體系改進(jìn)了許多，部分教材加入了實(shí)用性案例以及MATLAB實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)。

1） 理論內(nèi)容。線性代數(shù)研究向量、向量空間、線性變換和線性方程組，國內(nèi)教材主要包括矩陣、行列式、線性方程組、向量空間、特征值與特征向量、二次型[1]。線性代數(shù)有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，知識內(nèi)部關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，重視論證與計(jì)算，具有高度的抽象性。

2） 應(yīng)用案例。線性代數(shù)在自然科學(xué)眾多領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用，并且進(jìn)一步滲透到經(jīng)濟(jì)、管理等社會科學(xué)領(lǐng)域，很多專業(yè)領(lǐng)域均可利用線性代數(shù)知識來解決技術(shù)問題。例如：投入產(chǎn)出分析、動態(tài)經(jīng)濟(jì)模型、人口預(yù)測模型、交通流模型、微分動力系統(tǒng)、遺傳模型、圖像處理、復(fù)合材料開發(fā)、大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)、信號處理、線性規(guī)劃、彈性鋼梁受力形變等很多方面都有應(yīng)用。對此，我們強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)模型來解決各領(lǐng)域中的實(shí)際問題，建立應(yīng)用案例進(jìn)行研究并加以推廣。

3） 課程實(shí)驗(yàn)。在線性代數(shù)中，以高階線性方程組的求解為例，計(jì)算的復(fù)雜程度以及較大計(jì)算量都阻礙了線性代數(shù)在各領(lǐng)域中的應(yīng)用和發(fā)展。對此，需要利用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件開展相應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而擺脫復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的發(fā)展。最常用的MATLAB軟件，可以進(jìn)行多種運(yùn)算，并且具有操作方便、數(shù)據(jù)可視化等一些特點(diǎn)，對于解決相關(guān)計(jì)算問題、提高解題效率非常有幫助。

3 混合式教學(xué)模式下線性代數(shù)教學(xué)策略

3.1 利用線上教學(xué)平臺，開展課前預(yù)習(xí)任務(wù)

混合式教學(xué)模式下，課前教師通過線上教學(xué)平臺發(fā)布學(xué)習(xí)資源，主要包括自主學(xué)習(xí)任務(wù)單、教學(xué)視頻、思考題、討論題等，以供學(xué)生課前預(yù)習(xí)。通過發(fā)布課前自學(xué)任務(wù)，可以為學(xué)生提供學(xué)習(xí)指導(dǎo)與幫助，學(xué)生帶著任務(wù)自學(xué)，一定程度上可以克服學(xué)習(xí)惰性。通過學(xué)習(xí)任務(wù)的引領(lǐng)，學(xué)生可以初步了解所學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)、前后聯(lián)系以及線性代數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用情況，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力得到進(jìn)一步的提升。

案例1 以“線性方程組與矩陣的初等變換”為例，課前布置自學(xué)任務(wù)：①給出一個三元線性方程組，讓學(xué)生利用中學(xué)階段所學(xué)的高斯消元法解方程組;②引導(dǎo)學(xué)生觀察“方程的變換”與“增廣矩陣的變換”之間的關(guān)系;③總結(jié)變換類型;④觀察行階梯形矩陣、行最簡形矩陣的特點(diǎn);⑤引導(dǎo)學(xué)生將增廣矩陣化為行最簡形矩陣，即可求出方程組的解;⑥通過學(xué)習(xí)，總結(jié)解線性方程組的步驟。通過考查學(xué)生對任務(wù)的完成情況，課堂中教師可以有側(cè)重點(diǎn)組織教學(xué)活動。

3.2 開展合作學(xué)習(xí)模式，構(gòu)建師生學(xué)習(xí)共同體

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，基本以教師講授為主，學(xué)生學(xué)習(xí)過程相對孤立，師生之間、生生之間缺乏一定的交流與互動。混合式教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)在教師的引領(lǐng)下，發(fā)揮學(xué)生的主動性和積極性，師生之間相互學(xué)習(xí)與交流。因此，可以將教學(xué)班級分成若干個小組，小組成員之間共同學(xué)習(xí)、研討，通過這種方式進(jìn)一步激發(fā)他們思想碰撞的火花。一般每四人為一小組，課前可以相互督促自學(xué)，課中可以進(jìn)行小組討論，課后可以開展學(xué)習(xí)互助。尤其對于一些較為復(fù)雜的問題或項(xiàng)目，通過開展小組內(nèi)部以及小組之間的協(xié)同合作，不斷修正并完善討論結(jié)果，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性得到了很大的提升。

案例2 以討論“矩陣、行列式、方程組、向量組之間的內(nèi)在聯(lián)系”為例，通過課堂教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，不同小組從不同角度進(jìn)行了匯報。雖然有些小組總結(jié)不太全面，但是在討論的過程中，同學(xué)之間相互幫助，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生帶動其他學(xué)生，相互之間分析講解，進(jìn)一步加深了知識的理解。

下面給出其中一個小組的匯報結(jié)果進(jìn)行展示，對于[n]階方陣[A]，得出以下命題等價：①線性方程組[Ax=0]只有零解;②矩陣[A]的秩等于[n];③矩陣[A]的行（列）向量組的秩等于[n];④矩陣[A]的行（列）向量組線性無關(guān);⑤矩陣[A]的行列式不等于0;⑥矩陣[A]可逆。通過小組討論，最終建立了知識單元的關(guān)系鏈，學(xué)生對線性代數(shù)的知識結(jié)構(gòu)有了更深的認(rèn)識和理解。

3.3 利用智慧教學(xué)工具，活躍課堂氣氛

線性代數(shù)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算量大等特點(diǎn)，很多過程需要進(jìn)行論證、計(jì)算，多數(shù)教師采用“黑板+粉筆+PPT”的教學(xué)手段。但是傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，學(xué)生被動聽講，課堂氣氛比較沉悶，部分學(xué)生感到枯燥、無趣，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性并不高。對此，可以利用智慧教學(xué)工具活躍課堂氣氛，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和參與度。常用的學(xué)習(xí)通、雨課堂等教學(xué)工具，均具有提問、搶答、討論、彈幕、投票、統(tǒng)計(jì)等功能，在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)使用這些功能，可以緩解課堂的緊張氣氛，使學(xué)習(xí)過程變得多樣化。

案例3 以矩陣和行列式的運(yùn)算為例，進(jìn)行投票活動：以下正確的是？

A. [kA=kA]，其中[A]為方陣;

B. 矩陣運(yùn)算滿足[A+B=B+A];

C. 矩陣運(yùn)算滿足[AB=BA];

D. [A+B=A+B]，其中[A，B]為方陣;

E. [AB=AB]，其中[A，B]為方陣;

F. [AB=BA]，其中[A，B]為方陣。

正確答案為B、E、F，通過投票結(jié)果發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)問題較多的選項(xiàng)為A、F，其次為選項(xiàng)D、E，說明學(xué)生對于矩陣、行列式運(yùn)算法則理解不夠深入，需要老師詳細(xì)分析或給出反例。通過投票環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)功能，使得教師能夠全面了解全班同學(xué)對于某個知識點(diǎn)的掌握程度。

3.4 利用多媒體，加強(qiáng)交互性與可視化

線性代數(shù)和幾何聯(lián)系緊密，很多概念和知識都有一定的幾何背景，目前國內(nèi)線性代數(shù)教材，普遍缺乏相關(guān)的幾何背景，使得學(xué)生學(xué)起來更加的抽象，對于線性代數(shù)的本質(zhì)不甚了解。對此，教師在上課過程中可以利用多媒體，采用交互性、可視化的方式，展示相關(guān)的幾何背景，加深學(xué)生對線性代數(shù)幾何意義的理解，使得課程變得形象生動。

案例4 以“正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形”為例，說明正交變換保持幾何圖形形狀不變[2]。將二次曲線[3x2+4xy+3y2=16]（圖1），化為標(biāo)準(zhǔn)方程[x2+5y2=16]（圖2），通過觀察可知，二次曲線為橢圓，變換前后形狀不變。

通過作圖，還可以解釋二次型的正定（負(fù)定、不定）性。例如[fx，y=x2+5y2]為正定二次型（圖3），[fx，y=-x2-5y2]為負(fù)定二次型（圖4），[fx，y=x2-5y2]為不定二次型（圖5）。

3.5 結(jié)合MATLAB軟件，開展實(shí)用性案例研究

線性代數(shù)是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，在工程技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中有重要應(yīng)用，為培養(yǎng)高素質(zhì)應(yīng)用型人才提供必備的基礎(chǔ)知識。傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，教師幾乎把全部課堂時間用于講授理論知識，學(xué)生明顯感到枯燥、無趣且缺乏應(yīng)用價值，這在一定程度上降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)動力不足。對此，在混合式教學(xué)模式下開展翻轉(zhuǎn)課堂，要把理論知識、對應(yīng)不同專業(yè)需求的實(shí)用性案例、MATLAB實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)這三部分內(nèi)容有機(jī)結(jié)合在一起，以此豐富線下課堂教學(xué)，提升教學(xué)效果。

案例5 常見的線性變換類型有恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換，給出線性變換在圖像處理方面的應(yīng)用[3]。以沿[x]軸的切變變換[Y=AX]為例，其中[A=1k01]，給出矩陣：

[X=001014.574.5708081071075.515.5110010]

為字符H圖形的各個節(jié)點(diǎn)。利用MATLAB作圖功能，當(dāng)[k=0.25]時，圖像發(fā)生了如下變化（圖6）。

把理論與實(shí)際結(jié)合，讓學(xué)生一開始就知道學(xué)習(xí)線性代數(shù)是有用的，將來可以解決生活中的一些實(shí)際問題，并為接下來的后繼專業(yè)課學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

混合式教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，教師應(yīng)結(jié)合不同專業(yè)學(xué)生的需求，制定相應(yīng)的授課計(jì)劃，注重知識的擴(kuò)展和能力的提高。一方面，教師應(yīng)充分發(fā)揮啟發(fā)、引領(lǐng)作用，創(chuàng)設(shè)良好的課堂環(huán)境，提高學(xué)生的抽象思維能力以及解決實(shí)際問題的能力;另一方面，教師應(yīng)充分利用信息技術(shù)，為學(xué)生提供更豐富的學(xué)習(xí)內(nèi)容、更多樣化的學(xué)習(xí)形式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，提升教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

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【通聯(lián)編輯：王力】