王 飛 許清清

(江蘇省南京市第十三中學(xué)，210008)

在概念教學(xué)中，以環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)概念體系為依據(jù),構(gòu)建系列化的“情境+問題”,形成具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的可持續(xù)的數(shù)學(xué)活動(dòng),“教數(shù)育人”，為學(xué)生提供積累性和持續(xù)性的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì),提升學(xué)生的理性思維.本文以“導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義”的概念生成教學(xué)為例進(jìn)行探究.

一、教學(xué)實(shí)錄

1.現(xiàn)實(shí)情境中提出問題

導(dǎo)語(yǔ)數(shù)學(xué)源于生活,高于生活.請(qǐng)同學(xué)們看圖片(圖略),這是體育競(jìng)賽中的高臺(tái)跳水項(xiàng)目,它的要求是:跳臺(tái)高度27米,完成4周以上的翻騰,在距離水平10米左右準(zhǔn)備入水動(dòng)作,整個(gè)動(dòng)作時(shí)間約為3秒,入水瞬時(shí)速度可以達(dá)到每小時(shí)70至100公里.

設(shè)運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面高度h與起跳后的時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

問題1如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度?涉及到哪些量?

設(shè)計(jì)意圖高臺(tái)跳水是學(xué)生喜愛的體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,比較容易聯(lián)想到“瞬時(shí)速度”,能直觀感知“平均速度”與“瞬時(shí)速度”之間存在聯(lián)系.

2.在概念聯(lián)系中分析問題

問題2平均速度與瞬時(shí)速度有何區(qū)別與聯(lián)系?

追問“區(qū)間很小很小”如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫?

師生活動(dòng)平均速度刻畫某區(qū)間上的位移變化快慢程度,是平均變化率;瞬時(shí)速度刻畫某一時(shí)刻的位移變化快慢程度,是瞬時(shí)變化率.當(dāng)區(qū)間很小很小時(shí),平均變化率逼近瞬時(shí)變化率.“區(qū)間(t1，t2)很小很小”即t2，t1→0.

問題3如何計(jì)算1s時(shí)的瞬時(shí)速度?ts時(shí)的瞬時(shí)速度?

師生活動(dòng)在區(qū)間(t，1)上,平均速度

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),聯(lián)系物理學(xué)科中“平均速度”與“瞬時(shí)速度”,由特殊到一般,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題,從數(shù)的角度探究“逼近”．學(xué)生能在具體情境中體會(huì)、運(yùn)用“逼近”思想,合作交流、互幫互助,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),將“學(xué)生人人都有收獲”的課程理念落到實(shí)處.

3.在數(shù)、形融合中感知概念

問題4數(shù)學(xué)具有數(shù)、形兩重性.用幾何畫板作出h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象,設(shè)點(diǎn)P(t1,h(t1))，點(diǎn)Q(t2,h(t2)),則平均速度、瞬時(shí)速度有沒有幾何意義?(師邊問邊動(dòng)畫演示如圖1)

設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用多媒體技術(shù),引導(dǎo)學(xué)生直觀感知:直線PQ是曲線的一條割線,當(dāng)Q無(wú)限逼近P時(shí),直線PQ最終成為點(diǎn)P處最逼近曲線的切線PT;曲線在P點(diǎn)處的切線斜率即為函數(shù)h(t)在t1時(shí)刻的瞬時(shí)變化率．

4.在抽象概括中生成概念

追問1x=x0時(shí)瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么?

設(shè)計(jì)意圖再次從數(shù)、形兩個(gè)角度經(jīng)歷由平均變化率向瞬時(shí)變化率逼近的過程,為后續(xù)的抽象概括提供邏輯依據(jù).

問題6一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)如何求在x=x0處的瞬時(shí)變化率?如何求其圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率?

設(shè)計(jì)意圖由特殊到一般,發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,是數(shù)學(xué)獨(dú)特的思考方式.學(xué)生經(jīng)歷由“不確定”到“確定”的思維過程,切實(shí)體會(huì)到求切線的斜率的思路和過程與求對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思路和過程的一致性,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義;抽象概括導(dǎo)數(shù)定義的過程是學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)化的過程,真正落實(shí)學(xué)生是學(xué)習(xí)主體的課程理念,使學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握由特殊到一般、類比等解決問題的數(shù)學(xué)思想方法,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和方式,提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

師:數(shù)學(xué)史料記載,切線概念發(fā)展經(jīng)歷了3個(gè)階段,由靜態(tài)定義到動(dòng)態(tài)定義:

(1)歐幾里得:在平面內(nèi),與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是圓的切線;

(2)阿波羅尼奧斯:圓錐曲線的切線是與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)且全部在圓錐曲線之外的直線.

(3)笛沙格:把切線明確地看作是割線的極限．

設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí),幫助學(xué)生理解概念生成的來龍去脈,體會(huì)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的階段性與持續(xù)性;每一次新的切線概念總是全部包括了以前的概念,并逐步有所推廣,體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的一般化精神,滲透數(shù)學(xué)文化.

二、教學(xué)感悟

1.在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中落實(shí)“四基”、“四能”

由現(xiàn)實(shí)情境——高臺(tái)跳水引入課題,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界,明白數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)于生活;聯(lián)系物理中的“平均速度”與“瞬時(shí)速度”,自主探究解決問題的路徑,從數(shù)的角度經(jīng)歷由平均變化率向瞬時(shí)變化率過渡的過程,在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中生成函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思考方式,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力;融合函數(shù)的圖象,從形的角度經(jīng)歷由割線向切線逼近的過程,直觀感知導(dǎo)數(shù)的幾何意義,體會(huì)“逼近”、極限等數(shù)學(xué)思想．在探究性活動(dòng)中,幫助學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

2.在 結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中培育質(zhì)疑、探究精神

斯托里亞爾說過:“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)．”建構(gòu)知識(shí)不能只讓學(xué)生記住現(xiàn)成的結(jié)論,忽視思維過程的展開,必須讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程．無(wú)論是從數(shù)的角度尋求計(jì)算瞬時(shí)變化率的方法,還是從形的角度探究切線、體會(huì)“逼近”與“以直代曲”,學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般、抽象概括的學(xué)習(xí)過程,合作探究中經(jīng)歷由猜想到驗(yàn)證的思維過程,培育學(xué)生質(zhì)疑求真、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、勇于探索的理性精神.

3. 在數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)中感受理性精神

丹麥著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家H.G.Zeuthen強(qiáng)調(diào):通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí),學(xué)生不僅獲得了一種歷史感,而且,通過從新的角度看數(shù)學(xué)學(xué)科,他們將對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更敏銳的理解力和鑒賞力．“曲線在一點(diǎn)處的切線”這一定義經(jīng)歷3個(gè)階段,后者的提出都是在前者的基礎(chǔ)上擴(kuò)大曲線的范圍,后者包含前者,由靜態(tài)到動(dòng)態(tài),此發(fā)展過程正是數(shù)學(xué)概念的擴(kuò)張化、一般化精神的具體體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)史的介紹有利于學(xué)生形成積極的學(xué)習(xí)情感態(tài)度和對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同,學(xué)生能切身感受到數(shù)學(xué)的理性精神．