錢 程

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

高考題是命題專家經(jīng)過反復(fù)推敲、精細(xì)打磨而成的,具有良好的教學(xué)借鑒與利用價(jià)值,同時(shí)還引領(lǐng)著高中數(shù)學(xué)解題的教育方向,具有很高的教學(xué)價(jià)值.威廉·卡爾文曾說:“智力就是你不知怎么辦時(shí)動(dòng)用的東西.但是富有智慧則有更多的涵義,這是一種創(chuàng)造性能力,憑借這種能力你會(huì)瞬即想出新主意,各種答案在你的大腦中接踵而至,一些比另一些更好”[1].在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,向?qū)W生傳達(dá)明確的數(shù)學(xué)解題思想,讓學(xué)生領(lǐng)悟其中精髓,從而達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,提高解題效率的目的.本文以一道高考題來說明.

一、簡(jiǎn)析解題思路，情境再現(xiàn)

題目(2018年江蘇·數(shù)學(xué)理13)如圖1，在?ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為______.

思路要求4a+c的最小值,意味著該式中一定有變量,否則就無最小值一說.a,c都在變化,否則由圖1可知,若?ABC中a,c有一個(gè)確定,則?ABC就是確定的,說明a,c都在變化,則這是一個(gè)二元變量求最值的問題.

此解法是學(xué)生最易想到的解法,直接采用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行探究,快速且便捷.除了以上的方法,在探究和教學(xué)這道題時(shí),是否還有其他方法找到核心關(guān)聯(lián)的思路?

二、探求核心關(guān)聯(lián)，異曲同工

1.解三角形

如圖2,利用余弦定理與角平分線第二定理方可找出a,c之間的關(guān)系即:

評(píng)注在后續(xù)的驗(yàn)證中會(huì)舍棄a=c,不做贅述,但此方法只有在學(xué)生知曉角平分線第二定理的前提下才可實(shí)現(xiàn),在中學(xué)階段具有一定的局限性.

2.利用幾何作圖

評(píng)注采用構(gòu)造菱形圖形的方法,得到?CDE與?ADB相似,進(jìn)而快速得到a，c的核心關(guān)聯(lián).

評(píng)注采用構(gòu)造等邊三角形的方法,得到?ADB與?ACG相似,進(jìn)而快速得到a、c的核心關(guān)聯(lián).

3.利用解析幾何方法

評(píng)注以∠ABC的頂為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸,構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系,表示出A，C，D三點(diǎn)坐標(biāo),利用AC的直線方程表示出a，c的核心關(guān)聯(lián).

三、劍指問題結(jié)果,水到渠成

由以上解法都可以得到解題關(guān)鍵式a+c=ac亦或是它的等價(jià)式a=c(a-1),那么接著往下思考就會(huì)有更多的選擇.

解法1最常見的也是學(xué)生在解答時(shí)最易想到的方法:基本不等式.但是學(xué)生在選擇基本不等式進(jìn)行解答時(shí)會(huì)有2種不同的思路,

解法2 轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題進(jìn)行解答,由a+c=ac得到則令f(a)=4a且a≠1),有令f′(a)=0,有或故f(a)在和上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減,極大值為和故最大值為9.

故極值4a+c=9.