安徽省寧國中學(xué) 陳曉明 （郵編：242399）

在有關(guān)集合的運(yùn)算中，我們常常說“空集”像一個幽靈：來去匆匆，在運(yùn)算中經(jīng)常忽略它的存在而付出代價！近來筆者發(fā)現(xiàn)漸近線更像是函數(shù)圖象中的幽靈，同樣我們會經(jīng)常忽略它的存在而功虧一簣！

下面是筆者所在學(xué)校參加的各級各類考試中學(xué)生出錯率相當(dāng)高的一類試題，它們都與函數(shù)圖象中的漸近線有關(guān).

例1已知直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2|的圖象有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

錯解首先畫出函數(shù)y=2x的圖象（過定點(diǎn)(0,1)），然后向下平移2 個單位，得到函數(shù)y=2x-2 的圖象（過定點(diǎn)(0,-1)），再把x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方（翻折變換），從而得到函數(shù)y=|2x-2|的圖象，如圖1 所示.若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2 |的圖象有兩個公共點(diǎn)，則只需2a＞0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+∞).

圖1

剖析該解法錯在忽略了函數(shù)圖象的漸近線的存在.因?yàn)楹瘮?shù)y=2x的圖象的漸近線是x軸（y=0），圖象向下平移2 個單位后漸近線是y=-2，如圖2所示，把x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方后漸近線是y=2，因此，若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2| 的圖象有兩個公共點(diǎn)，則0 ＜2a＜2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).

圖2

變式（1）若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2 |的圖象有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.（答案：[1,+∞)?{ 0}）

（2）若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2 |的圖象沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.（答案：(-∞,0)）

（3）若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1（|a＞0 且a≠1）的圖象有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________（答案

（4）若函數(shù)y=的圖象與x軸有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.（答案：(0,1]）

例2已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

圖3

圖4

例3函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）.

A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

錯解（分離參數(shù)法）因?yàn)閒(x)=ax3-3x2+1，所以x=0 不是函數(shù)的零點(diǎn).

通過g(x)的大致圖象可知，若函數(shù)h(x)=a（常數(shù)函數(shù)，圖象是一條水平直線）與g(x)=的圖象有唯一交點(diǎn)P(x0,y0)（且x0＞0）是不可能的，交點(diǎn)個數(shù)只可能是2或3 或4.因此該試題有誤.

剖析問題出在函數(shù)g(x) 的大致圖象上：如圖6所示，當(dāng)x＞1 時，g(x)=＞0，故圖象應(yīng) 在x軸上方；當(dāng)x＜-1 時，g(x)=＜0，故圖象應(yīng)在x軸下方.因此出錯的原因仍然是忽略了該函數(shù)圖象的一條漸近線：x軸.由圖6可知a的取值范圍是(-∞,-2)，故本題正確答案是C.

圖6

變式1若函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1 有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍.（答案：(2,+∞)?(-∞,-2)）

變式2若函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1 有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.（答案：{0,2,-2}）

變式3若函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1 有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍.（答案：(-2,0)?(0,2)）

圖5

例4已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-，若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析（分離參數(shù)法）若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，即方程f(x)=(x-1)ex-=0 有兩個根.又f(0)=-1，所以0 不是方程f(x)=0 的根.當(dāng)x≠0時，易知a=也即方程a=有兩個根.令g(x)=，也即直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點(diǎn).易求 得g′(x)=令g′(x)＞0，得x＞0；令g′(x)＜0，得x＜0.所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且g(1)=0，又函數(shù)g(x)在(-∞,0)內(nèi)的值域?yàn)?-∞,0)，在(0,+∞)內(nèi) 的值域?yàn)镽，所以要使直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點(diǎn)，則a＜0.即當(dāng)a＜0 時，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn).如圖7所示.

圖7

點(diǎn)評如圖7 所示，當(dāng)x→-∞時，y→0，函數(shù)圖象在x軸下方無限逼近x軸負(fù)半軸，即x軸為函數(shù)圖象的一條漸近線，忽略這一點(diǎn)極易犯錯.另外，問題還可變式為判斷函數(shù)f()x有一個零點(diǎn)時實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式若函數(shù)f()x=x2ex-a恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是是（）.

點(diǎn)評如圖8 所示，當(dāng)x→-∞時，y→0，函數(shù)圖象在x軸上方且無限逼近x軸負(fù)半軸，即x軸為函數(shù)圖象的一條漸近線，忽略這一點(diǎn)極易犯錯.另外，本問題還可變式為判斷函數(shù)f()x有兩個零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)時實(shí)數(shù)a的取值范圍.還有，本試題解答中易漏掉實(shí)數(shù)a的取值范圍中的0.

圖8

圖9

由上述實(shí)例不難看出，試題中經(jīng)常出現(xiàn)以考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)圖象的漸近線問題，而它就像一個“幽靈”，我們很容易忽略它而它又讓你防不勝防，一不小心就會受到它的“致命一擊”！特別是函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后漸近線不再是x軸或y軸，而是另一條水平線或豎直線；另外，當(dāng)出現(xiàn)它們的一些組合式時，更容易犯錯，應(yīng)特別引起重視，如例2中：x∈(1,+∞) 時，＞0；例3 中，當(dāng)x＞1 時，＞0；當(dāng)x＜-1 時，g(x)=＜0；例4 中，當(dāng)x＜0時，g(x)=＜0 等等.

當(dāng)一類錯誤經(jīng)常發(fā)生時，我們要去反思錯誤產(chǎn)生的根源在哪里，從而在解題中引起重視.由本文可知，在解決求參數(shù)取值范圍等問題時我們通常要借助函數(shù)圖象來解決問題，而此時極易出現(xiàn)因?yàn)楹瘮?shù)圖象中的“幽靈”（漸近線）而犯錯的現(xiàn)象.只要我們在學(xué)習(xí)中正視錯誤，剖析問題存在的原因，小心提防錯誤的發(fā)生，仔細(xì)觀察函數(shù)圖象的變化，那么“幽靈”一定會離我們遠(yuǎn)去！