羅善彪 王珍麗

代數(shù)是一個推理運算的過程，需要學生應用數(shù)學符號、字母來研究運算規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)。代數(shù)是算術(shù)的一般化，許多算術(shù)內(nèi)容蘊含著豐富的代數(shù)思想。算術(shù)思維側(cè)重于通過數(shù)量的計算而求解，是一種比較直觀的思維方式;代數(shù)思維則側(cè)重于關(guān)系，表現(xiàn)為學生在具體情境中能把未知數(shù)當作已知數(shù)、與已知數(shù)共同參與運算的思維能力。在小學階段培養(yǎng)學生代數(shù)思維已成為廣泛共識。本期，我們來討論如何培養(yǎng)學生的代數(shù)思維。

有研究表明：學生容易解決像“7+8=□”或“6+□=13”的等式問題，卻很難解決像“17=8+□”或“5+□=9+4”的等式問題，其主要原因是學生適應順向的算術(shù)思維，而不適應逆向的代數(shù)思維。究其原因，學生往往認為等號表示“運算結(jié)果”“要求計算答案”等，而不能從“對稱”“平衡”“等價”的角度來理解等號的內(nèi)涵，不能按“左右對稱”或“兩邊平衡”“兩邊等價”來理解等式的意義。

基于上述分析，在小學階段特別是小學低年級段，適當拓寬學生對等號內(nèi)涵的理解，強化學生對等式的認識，促進學生建立等價模型，有利于學生早期代數(shù)思維的萌發(fā)，能為后續(xù)代數(shù)思維的學習和應用打下基礎。筆者以北師大版數(shù)學教材為例，談一談相關(guān)教學設想和實踐。

一、豐盈“=”認知，建立等價模型

學生第一次認識“=”，是在認識了部分數(shù)字（人教版數(shù)學教材安排在認識了1～5之后，北師大版數(shù)學教材安排在認識了0～10之后），有了基本的數(shù)感、符號意識和抽象能力之后，通過“比大小”的活動，與“>”和“<”等數(shù)學符號一起認識的。

教材呈現(xiàn)下圖，引導學生按“一一對應”的思想方法比較小兔、籃子、胡蘿卜、小猴、秋千的數(shù)量，進而引出“=”“<”和“>”，旨在使學生經(jīng)歷由物到數(shù)的抽象過程，認識到“=”表示兩個量相等，進而抽象為表示兩個數(shù)相等，幫助學生初步建立左右兩邊都是單一成分的“平衡”模型。

黃興豐教授的研究表明：學生對等式中等號的理解可以劃分成三個階段，分別為指示階段、動作階段、等價階段，處于不同理解階段的學生，在分析和解決等式相關(guān)問題時的表現(xiàn)完全不同，同時，這三個階段雖有區(qū)別，但并不是完全割裂的，它們在一定條件下可以自由轉(zhuǎn)化，并能跳躍式發(fā)展。參照上述研究成果，在進行“=”的初始教學時，教師可以嘗試直接從等價層面引導學生認識“=”，即在教學中反復引導學生用“一一對應”來體會和理解“=”表示“等價”的含義。教學過程略寫如下。

“一只小兔和一個籃子對應，我們就可以將其看成一只小兔和一個籃子是等價的，用數(shù)學的方法表示是1=1”;

“兩只小兔和兩個籃子對應，我們就可以將其看成兩只小兔和兩個籃子是等價的，可以寫成2=2”;

……

這樣教學，能使學生認識到兩個不同質(zhì)的物品在量上可以等價，抽象成數(shù)可以相等，轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號就是“1=1”“2=2”等，進而從本質(zhì)上認識“=”，建立“等價”模型。

二、重構(gòu)等式引入，體會等價意義

學生對“等式”的認識是伴隨著“加減法的初步認識”一同發(fā)展的。劉加霞教授的研究表明：現(xiàn)行各版本教材所設計的“加法的初步認識”情境，一般先呈現(xiàn)部分與部分的聚合，即“合并”情境;而“減法的初步認識”情境一般是一元動態(tài)情境，即“取走”情境。這兩種情境雖然比較契合正整數(shù)加減法的現(xiàn)實意義，容易被學生掌握和理解，但不能很好地解釋等號的等價意義，不利于學生代數(shù)思維的培養(yǎng)。史寧中教授對此有相關(guān)建議，他指出：加法的初步認識應該采用相等模型引入，而不是變化型（或合并型）?；诖?，在教學“加法的初步認識”時，教師可以做如下教學改進：除了遵從教材原意正常引入“3+2=5”的等式，還可以對“試一試”中的教學素材進行情境重構(gòu)，引導學生體會等號的等價意義。

例如，教師可以同時出示如下兩幅情境圖，然后提出相應問題：左右兩幅圖中的車一樣多嗎？怎樣才能使兩邊的車一樣多呢？

通過這兩幅圖的比較，學生可以直觀感知到，左邊也要再開來一輛車，才能使兩幅圖中的車一樣多，即兩幅圖中車的數(shù)量相等。像這樣自然而然地滲透等號的等價意義，可以很好地解釋“3+1=4”，幫助學生跳出“等號是運算符號、等號右邊表示運算結(jié)果”的思維定式，感悟等號的本質(zhì)含義。

教學中，我們除了可以對這幅情境圖進行重構(gòu)，其他的情境圖包括減法的引入情境，都可以進行類似的重構(gòu)，以深化學生對等式和等號的理解和認識，促進學生代數(shù)思維的萌發(fā)。

三、豐富等式類型，培養(yǎng)等價意識

縱觀小學數(shù)學教材，學生從第一次認識等號、第一次學習加法開始，直到四年級（人教版教材是五年級）學習方程時，才出現(xiàn)“等式”這個名詞，而且在這四年左右的時間中，教材也沒有呈現(xiàn)等式的描述性概念。學生對“算式”“等式”等概念認識模糊，理解不深刻，直接導致學生對“代數(shù)式”的不認可和不理解，進而發(fā)展為對代數(shù)思維的不接納。其直接原因就是學生對等號的認識不全面，理解不深入，從而陷入認識誤區(qū)：等號就是一個運算符號，等號的出現(xiàn)相當于預示著某個運算結(jié)果的產(chǎn)生，等式就是算式，等式中的等號只是表示要做某運算等。

基于上面的分析，我們在教學中除對“=”加強理解，對“算式”“等式”等概念提前滲透之外，還要強化對“等式”的變式引入，以豐富學生對等式類型的認識，培養(yǎng)學生的等價意識。如在加減法等式成功引入后，我們可以對教學情境圖做一些變形修改，或借助數(shù)的分解知識，形成“5=3+2”“1=5-4”“8=1+3+4”等形式的等式，促進學生樹立數(shù)與式等價的意識。

另外，在教學“加法表”“減法表”時，我們可以借助表格引出“5+5=3+7”“9-3=7-1”“4+2=9-3”等兩邊都有算式的等式結(jié)構(gòu)，甚至還可以引出多個算式連等的長等式，以此培養(yǎng)學生整體認讀等式的習慣，促進學生以算式作為一個整體的等價模型的建構(gòu)。

在后續(xù)較復雜的計算教學中，我們可以有意識地呈現(xiàn)各種類型的等式，加深學生對等價模型的理解，還可以利用“遞等式”的運算方式，嘗試進行“恒等運算”，如“304÷5-254÷5=（304-254）÷5=50÷5=10”（此題的解答過程，若按常規(guī)的“遞等式”形式計算，就是一種運算程序;若寫成這樣的長等式，則可以表示一種恒等變化），為后續(xù)學生自主運用等式的性質(zhì)解方程做鋪墊。

（作者單位：羅善彪，宜昌市教育科學研究院;王珍麗，枝江市南崗路小學）

[此文系湖北省教育學會“十四五”立項重點課題“小學數(shù)學教學中滲透代數(shù)思想的案例研究”的研究成果。課題編號：A03-01]

責任編輯? 劉佳