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初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展變式教學(xué)的實(shí)踐分析

2022-04-29 00:44王樂(lè)樂(lè)
關(guān)鍵詞:變式教學(xué)案例分析教學(xué)效果

王樂(lè)樂(lè)

摘要:初中數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于課本知識(shí)和題海練習(xí),在學(xué)生掌握基本的知識(shí)技能后,培養(yǎng)學(xué)生自主探索、舉一反三的能力對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)發(fā)展有著重要意義.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,變式教學(xué)是一種重要的教學(xué)方法.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的變式,揭示知識(shí)的發(fā)生過(guò)程與知識(shí)彼此之間的聯(lián)系,以提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率,引發(fā)學(xué)生自主思考,反思.本文中以三角尺的旋轉(zhuǎn)變式為例,對(duì)變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行實(shí)例分析.

關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);變式教學(xué);案例分析;教學(xué)效果

1 背景分析

初中數(shù)學(xué)題型眾多,許多學(xué)生雖然做了很多題,但缺乏反思總結(jié)、拓展延伸的過(guò)程,題目稍微改變一下就不會(huì).這樣的學(xué)習(xí)不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力,長(zhǎng)此以往還會(huì)打擊學(xué)生的自信心和積極性.而在長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐中,變式教學(xué)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)之中.在教學(xué)時(shí)有設(shè)計(jì)地運(yùn)用變式,能讓學(xué)生從復(fù)雜的條件中找到問(wèn)題的本質(zhì),融會(huì)貫通、化繁為簡(jiǎn),有效提高學(xué)習(xí)效率,激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的積極性.變式教學(xué)可以是教師變式,也可以是學(xué)生變式.教學(xué)時(shí)應(yīng)以實(shí)際學(xué)情為基礎(chǔ),結(jié)合學(xué)生知識(shí)水平,引發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題[1].變式教學(xué)還應(yīng)延伸到題目之外,即關(guān)注學(xué)生在思考總結(jié)、反思整理環(huán)節(jié)中能否運(yùn)用變式思想進(jìn)行拓展提升,才能更有效地提高教學(xué)效果.

筆者以三角尺的旋轉(zhuǎn)變式為例,探討變式教學(xué)模式在課堂教學(xué)中的有效運(yùn)用,從一個(gè)基本圖形出發(fā),不斷演變、延伸、探索新的問(wèn)題,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新精神,學(xué)會(huì)舉一反三,建立更完善的知識(shí)體系.

2 變式教學(xué)的實(shí)踐

變式教學(xué)形式多樣,筆者選取以三角尺為載體的一類經(jīng)典而多變的旋轉(zhuǎn)變換題型進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).這類問(wèn)題涉及三角形全等、相似等知識(shí)點(diǎn),設(shè)計(jì)精巧,學(xué)生初見時(shí)常有畏懼情緒,因此筆者以學(xué)生熟悉的典型題為例,提煉基礎(chǔ)題型中的關(guān)鍵思想,并逐步變式,層層遞進(jìn),消除學(xué)生的畏難情緒.

原問(wèn)題如圖1所示,在等腰三角形ABC中,∠C=90°,將一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在AB的中點(diǎn)O處.三角尺繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí),其兩直角邊分別交邊AC,CB于點(diǎn)D,E.證明:OD=OE.

分析:O為等腰直角三角形斜邊上的中點(diǎn),連結(jié)OC.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),得OC=OB,∠DCO=∠EBO=45°;又因?yàn)橥堑挠嘟窍嗟?,可得∠DOC=∠EOB,從而三角形△ODC和△OEB全等,則可以得到OD=OE.

變式1將題目條件“其兩直角邊分別交邊AC,CB于點(diǎn)D,E”,改為“其兩直角邊分別交射線AC,CB于點(diǎn)D,E”.如果也要求證OD=OE,則需要進(jìn)行分類討論.學(xué)生畫出點(diǎn)D,E分別落在AC,CB延長(zhǎng)線上的情況(如圖3)后發(fā)現(xiàn),解題的思想和方法是相同的.

改變題中等腰直角三角形ABC的形狀,變式為一副三角尺旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題.

變式2將一副三角尺按圖4進(jìn)行擺放.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°;D為AB的中點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)P,DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.將△DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<60°),此時(shí)的等腰直角三角尺記為 △DE′F′,DE′交AC于點(diǎn)M,DF′交BC于點(diǎn)N,試判斷PMCN的值是否隨著α的變化而變化?如果不變,請(qǐng)求出PMCN的值;反之,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析:與原問(wèn)題中等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)相同,由同角的余角相等,可得∠PDM=∠CDN.因?yàn)椤鰾CD為等邊三角形,所以∠BCD=∠BDC=60°,∠ADE=30°.由三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和,可得∠MPD=∠A+∠ADE=60°.因?yàn)椤螾DM=∠CDN=α且∠MPD=∠NCD=60°,所以△MPD∽△NCD,故PMCN=PDCD=33.

在原題的基礎(chǔ)上改變了三角尺的形狀,但旋轉(zhuǎn)變換中所用的三角形知識(shí)和解決問(wèn)題的思想方法是一致的,通過(guò)變式讓知識(shí)間產(chǎn)生聯(lián)系,形成知識(shí)體系[2].

變式3△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點(diǎn)E為△ABC斜邊BC的中點(diǎn).

(1)如圖5-1,DE與AB交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,求證:△BEM∽△CNE;

(2)如圖5-2,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),使得DE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,除(1)中的相似三角形外,再找出一對(duì)相似三角形,并證明你的結(jié)論.

分析:(1)因?yàn)椤螪EC=∠B+∠BME,所以∠MEN+∠NEC=∠B+∠BME.又因?yàn)椤鰽BC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,所以∠B=∠MEN=45°.則∠NEC=∠BME,故△BEM∽△CNE.

(2)由(1)知△BEM∽△CNE,所以BMCE=MEEN.又因?yàn)镃E=EB,所以BMEB=MEEN.而∠MBE=∠MEN=45°,故△BEM∽△ENM.

然而在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),對(duì)于(2)的解答,學(xué)生并不善于由中點(diǎn)條件將相等的邊代換, 把對(duì)應(yīng)邊的比構(gòu)造成另外兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比.他們?yōu)樽C△BEM∽△ENM,更自然地想到已知∠MBE=∠MEN=45°,然后想辦法證明∠BME=∠NME.

這種思路更貼近于學(xué)生實(shí)際的知識(shí)水平和思維方式,此時(shí)老師不妨從學(xué)生的實(shí)際想法出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生思考此變式與原問(wèn)題間的聯(lián)系,鼓勵(lì)學(xué)生順著思路繼續(xù)探究.可構(gòu)造一個(gè)45°的角與其對(duì)應(yīng),過(guò)E點(diǎn)作一直角, 如圖6,構(gòu)造出形如原問(wèn)題的基本圖形, 由原問(wèn)題的結(jié)論可得△CNE≌△AM′E,NE=M′E.

因此不妨將△DEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得△D′EF′,D′E交AB于點(diǎn)M′,如圖7所示.因?yàn)镹E=M′E,∠NEM=∠M′EM,MN=MM′,所以△NEM≌△M′EM.由此得∠NME=∠BME,可證△ENM∽△BEM.

這種證法從較為復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)中提煉出問(wèn)題的本質(zhì)特征,引導(dǎo)學(xué)生思考,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換,符合學(xué)生的認(rèn)知水平,同時(shí)讓學(xué)生感受探索新的解題方法、拓展解題思路的成就感.通過(guò)變式體現(xiàn)了不同知識(shí)點(diǎn)的和諧統(tǒng)一,展示了數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力.

在這類特殊角的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題解決后,仍可對(duì)學(xué)生提出變式思考,當(dāng)變式3中∠DEF的度數(shù)改變時(shí),相似的結(jié)論還成立嗎?怎樣改變條件,可使相似的結(jié)論依然成立?這樣學(xué)生樂(lè)于思考,從教師進(jìn)行變式教學(xué)到學(xué)生主動(dòng)變式探索,經(jīng)歷思維提升的過(guò)程.

變式4△ABC中, ∠B=∠C=α(0°<α<90°),E為BC的中點(diǎn),∠DEF=α,繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn).

(1)如圖8,當(dāng)∠DEF的兩邊分別交AB,AC于點(diǎn)M,N時(shí),求證: △BEM∽△CNE;

(2)將∠DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到圖9情形時(shí),∠DEF的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)M,N,△BEM與△CNE還相似嗎?

(3)在(2)的基礎(chǔ)上連接MN,△BEM與△ENM是否相似?請(qǐng)說(shuō)明理由.

由于構(gòu)造了與變式3相近的圖形, 因此本題也可用變式3的證法解決.以此設(shè)計(jì)變式,層層遞進(jìn),從特殊到一般,讓學(xué)生經(jīng)歷變式思考的過(guò)程,自主完成從舊知識(shí)到新問(wèn)題的構(gòu)建,達(dá)到學(xué)習(xí)的目的.

3 總結(jié)與思考

變式教學(xué)設(shè)計(jì)要遵循目的性原則,常見的變式目的是讓學(xué)生掌握核心概念,深入理解性質(zhì)定理,學(xué)會(huì)應(yīng)用拓展.教師要根據(jù)實(shí)際情況有針對(duì)性地組織變式教學(xué)[3].變式教學(xué)不僅僅是體現(xiàn)教師教學(xué)的設(shè)計(jì)和理念,還要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,將教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相結(jié)合.不同的學(xué)生對(duì)題目有不一樣的理解和求解方式,在變式時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生積極探索,互相補(bǔ)充,這種思維的碰撞能夠給變式教學(xué)帶來(lái)意外的收獲.變式教學(xué)是為更好地提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率而服務(wù)的,不能給學(xué)生造成為變而變、無(wú)效刷題的負(fù)擔(dān).因此變式的設(shè)計(jì)不能僅是題目形式上的變化,更應(yīng)從深層次挖掘它的教學(xué)意義,真正幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在實(shí)際開展變式教學(xué)的過(guò)程中,不僅是教師設(shè)計(jì)創(chuàng)新變式,還應(yīng)給學(xué)生留有主動(dòng)思考、自主探索變式的空間和時(shí)間,讓學(xué)生提出符合實(shí)際學(xué)情的問(wèn)題.教師在引導(dǎo)學(xué)生的過(guò)程中,應(yīng)有意識(shí)地回歸基本圖形或核心知識(shí)點(diǎn),解釋問(wèn)題內(nèi)在的聯(lián)系,運(yùn)用學(xué)生已經(jīng)掌握的問(wèn)題表征策略解決問(wèn)題.同時(shí)注重導(dǎo)入情境的變式,設(shè)置一定梯度,使學(xué)生的思維可以逐步前進(jìn),讓學(xué)生體驗(yàn)變式學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

在變式教學(xué)的實(shí)踐中,也難免會(huì)存在一些困難和矛盾.如果平衡不好學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師必要指導(dǎo)間的關(guān)系,那么變式教學(xué)就會(huì)變成教師的“展示秀”,反而增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).課堂應(yīng)以學(xué)生為本,變式教學(xué)設(shè)計(jì)的本身目的是為了使教學(xué)效果更加理想.變式教學(xué)的過(guò)程中,教師要尊重學(xué)生的認(rèn)知水平和心理特點(diǎn),注重培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí),引導(dǎo)學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)自主變式拓展,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn):

[1]鄭毓信.關(guān)于“以學(xué)為中心”的若干思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2014(1):1-4.

[2]呂進(jìn)智.巧用變式,有效延展——初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)策略研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2017(17):40-41.

[3]孫壽春.變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2019(5):70-72.Z

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