歐陽尚昭

摘? 要：“圓錐曲線定值問題”這節(jié)課重視對研究對象幾何特征的分析，重視對解析幾何運算特點的分析，重視對課堂小結的問題串設計. 高三的復習課，我們最應該做的兩件事情：一是要溫故而知新，不要把教材放在一邊，要通過解法上的創(chuàng)新，把看似很簡單的問題，不斷地變式，跟這節(jié)課的定值、定點建立聯(lián)系;二是要豐富學生的數(shù)學聯(lián)想，分析研究對象的幾何特征時力求簡潔而全面.

關鍵詞：幾何特征;運算特點;問題串;教材

“圓錐曲線定值問題”這節(jié)課亮點比較突出，課堂始終貫徹著一條主線——立足基礎、開闊視野、積累經驗. 特色也很鮮明，讓我們感受到一節(jié)高三復習課的大容量、快節(jié)奏、高效率，大容量是指三個引例加三個例子;快節(jié)奏是教師講得快，學生算得快;高效率是因為教師分析到位，學生領悟也到位. 這節(jié)課主要特點如下.

一、重視對研究對象幾何特征的分析

文獻[2]指出，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，但教學中要注意代數(shù)運算與幾何直觀的相互為用. 因為研究對象是幾何圖形，所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，這是首要的一步，然后才是用代數(shù)方法去研究.

綜觀呂德榮老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）選擇的引例和例題，都是在運動變化中求有關定值的問題，執(zhí)教教師的著眼點也是在參變量的選取原則上下工夫，所有引例和例題的選取都是層層深入的. 例如，引例1中只有一個動點[P]，直線[AB]是定直線;引例2中有動點[P]，直線[AB]為過橢圓中心的動直線，此時已經將問題一般化了. 進一步將引例與圓中的“直徑所對的圓周角是直角”進行類比，這個類比既形象又深刻，其目的是讓學生感悟“動中不動是為定”的辯證思想，體會動與靜的完美統(tǒng)一. 同時，進一步啟發(fā)學生聯(lián)想圓的其他性質，如垂徑定理，于是順理成章地得到引例3（動的因素更多，包括動點[P]、動直線、中點等更多幾何情境）. 三個引例都有一個相同的結論，就是[k1k2=-b2a2]，如果是圓就是[k1k2=-1]（斜率存在時）.

緊接著，執(zhí)教教師以問題2“受問題1研究過程的啟發(fā)，當運動的因素變化，引起變化的量越多參數(shù)也越多，對幾何問題代數(shù)化表達的過程會越來越復雜. 如何正確地表達幾何量？如何選擇合理的參數(shù)簡化運算？”為引導，開始了例1的講解，并通過下面的五個追問完成了對例1的幾何特征的分析.

追問1：解析幾何表達多邊形面積有哪些方法？

追問2：四邊形[ABCD]有什么特征？怎么表達面積合適？

追問3：如何求[AC， BD]？哪些點確定？哪些點變化？

追問4：點[C，D]的運動變化是由什么因素引起的？

追問5：變化是由點[M]引起的，那么如何設參數(shù)？

然后通過問題3“如果問題情境發(fā)生變化，運動變化的因素變得復雜，甚至研究的問題都變得陌生了，我們又該如何轉化？如何引入?yún)?shù)進行求解？”開始了例2的研究，例2的研究是通過下面的一系列追問完成的.

追問1：例2研究的目標是什么？可以怎么轉化？

追問2：轉化之后依然是角度，表達角度有哪些方法？哪個比較合適？

追問3：如果上述方法研究起來依然有困難，可以從哪方面入手？

追問4：特殊情況是什么？

追問5：特殊情況得出結論是[PM⊥PN]，一般情況如何證明？

追問6：通過向量或者斜率證明，都需要點[M，N]，[P]的坐標，怎么得到這些點的坐標？哪些點是運動的？運動是怎么引起的？

追問7：運動變化的關鍵是直線，那么如何設參數(shù)？

這些問題串都是非常有思考價值的，由淺入深地利用[∠PMN+∠PNM=π-][∠MPN]這個幾何特征，把兩個變化的角轉化為一個變化的角來研究. 然后借助正切（斜率）、正弦、余弦和向量等進行歸納、梳理. 引導學生從特殊情況入手，讓學生先求出特殊情況下的結論然后去證明一般的情況.

然后通過問題4“例1是只有一個點的變化引起圖象的變化，我們設點的坐標;例2是兩條互相關聯(lián)的直線引起圖象變化，我們設某條直線的斜率. 如果引起運動變化的因素增多，幾何情境也變得更加復雜，我們又該如何處理呢？”這樣水到渠成地來到了對例3的研究. 對于例3，教師引導學生讀題、審題，要求學生自己畫出圖形. 這個很好，教師談到了畫圖，高考不一定直接考畫圖，但是畫圖是學生很重要的能力. 然后也給出一系列追問.

追問1：例3探討的斜率是我們熟悉的幾何量，那具體條件給的是什么幾何量？一般怎么轉化？

追問2：坐標等價轉化，具體怎么表達呢？

追問3：這個問題中變化的幾何量有哪些？這一變化是由哪些量的變化引起的？

追問4：直線[AB，PQ]有沒有關聯(lián)？根據(jù)這些變化的量，可以怎么引進參數(shù)呢？

追問5：如何得到與點[A，B]橫坐標有關的運算結構？

這些追問都設計得很具體，這樣就完成了對該題中的幾何特征和代數(shù)表達的分析.

二、重視對解析幾何運算特點的分析

眾所周知，解析幾何的學習對運算能力的要求很高，許多學生因為不能順利完成代數(shù)運算而失分，尤其是遇到有點難的題目，學生自信心不足. 執(zhí)教教師一直提醒學生要有勇氣算下去，這一點難能可貴. 由于解析幾何的特點，不可避免需要必要的計算，關鍵要把握解析幾何的運算特點.

文獻[2]指出，解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數(shù)運算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關系，再用代數(shù)語言表達，而且在運算中時刻注意圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算，這是突破運算難點的關鍵舉措. 在解析幾何教學中，提高運算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，也就是要在數(shù)形結合上下工夫.

本節(jié)課中，執(zhí)教教師對解析幾何運算特點的分析，以及學生在課堂上的嫻熟運算都是非常突出的. 在三個引例中，根據(jù)圖形的幾何特征，多次使用“點差法”來簡化運算;例1中發(fā)現(xiàn)四邊形的兩條對角線互相垂直，于是通過對角線乘積的一半來求其面積;例2中執(zhí)教教師讓學生用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等），這樣可以將盲目的探索問題轉化為有方向、有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口;例3中教師通過對幾何圖形的分析，利用兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、平行線間的距離公式、弦長公式、“化斜為直”坐標法等選定適合題設的參數(shù)，用題目中的已知量和參變量表示所涉及的定義、方程和幾何性質，再用根與系數(shù)的關系推導出所求定值所需要的表達式，并將其代入定值表達式，化簡、整理求出結果.

尤其在執(zhí)教教師點評學生做題時，多次地、不斷地鼓勵學生，讓學生關注運算的關鍵處. 從學生方面來看，說明學生書寫整齊、流暢、基本功扎實. 這是課堂高效率的一個體現(xiàn).

三、重視對課堂小結的問題串設計

執(zhí)教教師在問題5中設計了三個小問題作為小結，有效避免了“本節(jié)課學習了哪些知識？學習了哪些方法？培養(yǎng)了哪些素養(yǎng)？”這種千篇一律的課堂小結. 執(zhí)教教師的課堂小結內容是豐富的，對學生能起到總結和提升的作用.

課堂小結的第一個問題：根據(jù)上面的解題過程，能否總結定值問題的解決策略有哪些？談策略問題. 有的是直接推理證明，有的是先從特殊入手再證一般，總結為“動中不動是為定，變化之中理辨清，直接計算得定值”.

課堂小結的第二個問題：根據(jù)上面的解題過程，能否總結定值問題的常見類型有哪些？根據(jù)上面的解題過程，說明是有抓手的，比直接問“學習了哪些知識”要好. 總結了斜率問題（動直線的斜率用參數(shù)表示）、面積問題（三角形面積、四邊形面積通過三角形面積割補轉化）、角度問題（正弦定理和余弦定理、正切和斜率、平面向量、角平分線定理等）、長度問題（兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、平行線間的距離公式、“化斜為直”坐標法等）.

課堂小結的第三個問題：在研究定值問題的過程中，我們采用了怎樣的探究過程與方法？這樣設計問題就比“有哪些思想方法”要好，因為是在研究過程中，讓學生有效地回憶本節(jié)課的內容而得出的，能夠開闊學生的視野，促進學生積累一些經驗. 這個課堂小結，值得學習.

四、談兩點想法

1. 分析研究對象的幾何特征時力求簡潔而全面

如果把太多的注意力集中在代數(shù)角度的研究，這固然是必要的，因為它能達到細致入微的境界，但我們也一定要對幾何要素進行分析，因為如果少了直觀形象的支持，最后學生還是不能很好地把握幾何性質. 例如，在解決例1的過程中，四邊形[ABCD]隨著點[C，D]的運動而變化，而點[C，D]的運動是隨著點[M]的運動而運動的，從而得到點[M]的運動是主動的，點[C，D]的運動是被動的.

該題運動中的不變性、規(guī)律性如下：第一，點[M]在橢圓位于第一象限內的部分上運動;第二，直線[AM]與直線[BM]分別與[x]軸、[y]軸的正半軸永遠有交點，這是不變的;第三，四邊形的面積[S四邊形ABCD=12ACBD]不變.

由以上分析可知，既然點[M，C，D]是有關聯(lián)的點，那么問題的解決就一定與這三個點的坐標有密切的關系. 如果設[Cm，0，D0，n]（易知[m>0，n>0]），由直線的截距式方程，得直線[MA]的方程為[x-2+yn=1]，直線[MB]的方程為[xm+y-1=1]. 聯(lián)立這兩個方程，解得點[M]的坐標為[2mn+2m2-mn， mn+2n2-mn]. 又因為點[M]在橢圓[C]上，故有[2mn+2m2-mn2+4mn+2n2-mn2=4]. 化簡，得[mn+1+2n2=4]，即[mn+m+2n=2]，所以四邊形的面積[S四邊形ABCD=12ACBD=mn+m+2n+22=2+22=2].

當我們分析清楚研究對象的幾何特征后，發(fā)現(xiàn)在所有的條件中能夠建立起等量關系的只有點[M]在橢圓上這一個條件. 因此，不管怎么設“坐標”，都應該在情理之中，我們沒有必要將問題的解答按照某一個模式來固定，也沒有必要糾結到底引進哪個點的坐標作為“參數(shù)”. 從以上解答來看，都是可行的.

當然，解決定點、定值問題常用的思路往往是從特殊情形入手，求得定點、定值，再證明這個定點、定值與變量無關;或者直接推理計算，并在計算的過程中消去變量，從而得到定值. 如果我們本著從特殊情形入手的話，可以怎么取點？取點[M1， 32]，則有[C4-23，0，D0， 33]. 所以四邊形[ABCD]的面積[S四邊形ABCD=][12ACBD]=[6-233+332=2].

再如，對于例3中的條件[TATB=TPTQ]，我們還能想到什么？還能得到什么樣的幾何特征？由圓冪定理可知[A，B，P，Q]四點共圓，這是不變的，這就是對代數(shù)表達式[TATB=TPTQ]的幾何因素的分析，故我們可以從二次曲線系方程表示為圓的條件（不含[xy]項）入手進行解答，同樣可以得到[k1+k2=0]. 由此可見，認真解讀條件的幾何特征非常重要.

2. 高三復習如何使用好教材的問題

這個問題可能與本節(jié)課的關聯(lián)不大，本節(jié)課選用的都是一些熱點素材，分別來自模擬題、高考試題等，這也是高三復習課常用的手段和方法. 但是高三復習課將教材束之高閣的情況還是比較嚴重的，也是比較普遍的. 其實，只要我們仔細研究，教材完全可以作為高三復習的最好素材.

高三復習時，我們可以將教材中的有關內容進行有效整合. 例如，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊中第138頁習題3.3的第6題：如圖（圖略），直線[y=x-2]與拋物線[y2=2x]相交于點[A，B]，求證[OA⊥OB]. 這道題看似與定點、定值無關，也非常容易解決，但是其生命力特別旺盛，之前的多版教材都選用它作為例題或習題. 我們可以挖掘它背后的哪些價值呢？如果設[Ax1，y1，Bx2，y2]，就是要證明[y1x1 · y2x2=-1]. 這里，可以把[y1x1， y2x2]看作方程的兩個根. 事實上，可以把[y1x1 · y2x2=-1]看作方程的兩根之積為定值. 聯(lián)立方程[y=x-2]和[y2=2x]，消去常數(shù)2，就可以得到方程[y2=x-yx]，再化齊次為[yx2+yx-1=0]. 這就是關于[yx]的方程. 根據(jù)根與系數(shù)的關系，易證[y1x1 · y2x2=-1]. 當然，這個習題不需要這樣處理，但是這個思路讓我們產生了下列變式.

變式1：過點[M2，0]的直線與拋物線[y2=2x]相交于[A，B]兩點，求證[OA⊥OB].

變式2：過點[M2p，0]的直線與拋物線[y2=2px]相交于[A，B]兩點，求證[OA⊥OB].

變式3：若直線[l]與拋物線[y2=2px p>0]相交于[A，B]兩點，[OA⊥OB]，直線是否經過定點？

變式4：過拋物線[y2=2px p>0]的頂點[O]作兩條互相垂直的弦[OA，OB]，求[△ABC]面積的最小值.

變式5：過拋物線[y2=2px p>0]上的任意一個定點[P2pt2，2pt，] 作互相垂直的兩條弦[PA，PB]，直線[AB]是否過定點？

變式6：若直線[l]過點[Pt，0]，與拋物線[y2=2px][p>0]相交于[A，B]兩點，試確定[A，B]兩點對頂點的張角[∠AOB]分別是鈍角、直角和銳角時[t]所滿足的條件.

我們可以看到，教材中的習題看似簡單，但是通過不斷變式，可以得到與定點、定值有關的題目. 當然，以教材為背景的高三復習課，需要教師對教材內容（包括習題）十分熟悉. 在這種情況下，還需要教師付出艱辛的努力.

高三的復習課，最應該做的兩件事情：一是要溫故而知新，不要把教材放在一邊，“溫故”從該題就能體現(xiàn)出來，通過解法上的創(chuàng)新，把看似很簡單的題目不斷地變式，跟這節(jié)課的定值、定點建立聯(lián)系. 二是要豐富學生的數(shù)學聯(lián)想. 只要把兩方面的事情都做好了，復習的效率自然是高效的.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.