蔡 旭,樓旭陽,崔寶同
(江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室,江蘇無錫 214122)
近年來,采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的研究為處理線性或者非線性系統(tǒng)提供了幾種技術(shù),采樣數(shù)據(jù)控制成為控制一類具有通信能力受限特性系統(tǒng)的一種重要方法[1-2].周期采樣系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性得到了廣泛的關(guān)注[2].傳統(tǒng)的周期控制使用恒定的時間間隔,這可能造成資源的浪費.因此,事件觸發(fā)方法被提出作為時間觸發(fā)控制的替代方法,以此減少資源的浪費.事件觸發(fā)的基本思想是:控制任務(wù)和傳輸在由一些設(shè)計的事件觸發(fā)器生成的事件發(fā)生后執(zhí)行,否則可以跳過控制任務(wù)并且取消傳輸.很多研究表明事件觸發(fā)控制能夠顯著地減少控制任務(wù)執(zhí)行和信號傳輸?shù)拇螖?shù),同時能夠保持比較滿意的閉環(huán)性能[3].
在事件觸發(fā)控制框架中,有一個關(guān)鍵問題是如何設(shè)計一個特定的事件觸發(fā)條件來減少控制任務(wù)的執(zhí)行和數(shù)據(jù)傳輸.文獻[4]提出了一種基于輸出的線性離散時間系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制.文獻[5]考慮了一類離散時間分段仿射系統(tǒng)的事件觸發(fā)鎮(zhèn)定問題.文獻[6]研究了線性時不變離散時間系統(tǒng)的橢球集值反饋問題及其在事件觸發(fā)控制系統(tǒng)的應(yīng)用.文獻[7]針對網(wǎng)絡(luò)化非線性控制系統(tǒng)設(shè)計了基于自適應(yīng)事件觸發(fā)方案滿足H∞性能的模糊濾波器.以上研究并未考慮輸入飽和情形,并且所設(shè)計的控制策略不能處理測量噪聲和無模動態(tài)下的魯棒鎮(zhèn)定問題.事件觸發(fā)控制算法的主要思想是受控系統(tǒng)在連續(xù)時間內(nèi)工作,而控制器在采樣周期內(nèi)提供離散時間輸入.因此,事件觸發(fā)算法的設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)換為研究混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[8-12].在文獻[13]中,Seuret等在混雜系統(tǒng)框架下基于Lyapunov 函數(shù)法針對線性系統(tǒng)設(shè)計了一種事件觸發(fā)控制策略.但是,基于混雜系統(tǒng)框架下對于非線性系統(tǒng)設(shè)計事件觸發(fā)控制策略,目前少有研究結(jié)果.
在實際系統(tǒng)中,執(zhí)行器飽和是一個不可忽視的問題,因為它可能導致系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定.文獻[14]研究了在裝置層存在設(shè)定值約束的情況下,具有未知操作模型的浮選工業(yè)過程的兩時間尺度操作最優(yōu)控制問題.Kiener等在文獻[15]中討論了基于事件控制的飽和系統(tǒng),并從穩(wěn)定性的角度探討了輸入飽和對事件觸發(fā)控制的影響.在文獻[16]中,Seuret等通過事件觸發(fā)算法保證了輸入飽和下線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性和線性二次型性能.在文獻[17]中,Ma等考慮了一類具有輸入飽和的離散時間分段仿射系統(tǒng)的事件觸發(fā)鎮(zhèn)定問題.針對非線性非嚴格反饋多智能體系統(tǒng),文獻[18]提出了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)事件觸發(fā)控制器來解決輸入飽和、未知干擾以及傳感器故障的問題.盡管在現(xiàn)有的事件觸發(fā)控制結(jié)果中已經(jīng)解決了控制器飽和問題,但是對于在混雜框架下具有控制器飽和的非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制,結(jié)果未見報道.
本文在混雜系統(tǒng)框架下研究了輸入飽和下非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,針對非線性函數(shù)的兩個不同假設(shè)條件,設(shè)計事件觸發(fā)控制策略,以減少數(shù)據(jù)傳輸量.主要貢獻在于以下4點:1)針對具有輸入飽和的非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,基于非線性函數(shù)的兩個不同的假設(shè)條件(即Lipschitz條件和扇區(qū)條件),分別提出了輸入飽和下事件觸發(fā)策略;2)設(shè)計了在混雜系統(tǒng)框架下的事件觸發(fā)條件,即閉環(huán)混雜系統(tǒng)的躍集,當系統(tǒng)狀態(tài)進入躍集時,系統(tǒng)更新控制輸入;3)基于Lyapunov理論,在混雜系統(tǒng)框架下證明了閉環(huán)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性;4)針對測量噪聲和外部干擾,所設(shè)計的事件觸發(fā)控制器可以實現(xiàn)混雜系統(tǒng)的半全局魯棒鎮(zhèn)定.
考慮一類輸入飽和下非線性系統(tǒng):
其中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài),u(t)∈Rm是系統(tǒng)控制輸入,A ∈Rn×n,B ∈Rn×m是常數(shù)矩陣.f:Rn →Rn是連續(xù)非線性函數(shù),滿足f(0)=0.
式(1)中的函數(shù)sat(·)是具有飽和范圍的對稱飽和函數(shù):
針對上述非線性系統(tǒng),給出下述兩個假設(shè).
假設(shè)1(Lipschtiz條件) 對于系統(tǒng)(1),函數(shù)f滿足Lipschitz連續(xù)條件,即對任意x,y ∈Rn,滿足
其中L>0為Lipschitz常數(shù)矩陣.
假設(shè)2(扇區(qū)條件) 對于系統(tǒng)(1),存在常數(shù)φ≥0和對稱正定矩陣Z,使得函數(shù)f滿足如下不等式:
針對系統(tǒng)(1)的事件觸發(fā)控制問題,先設(shè)計狀態(tài)反饋律
其中:K ∈Rm×n是待設(shè)計的控制增益矩陣.tj是事件發(fā)生器的觸發(fā)時間.該控制器確保閉環(huán)系統(tǒng)(1)-(3)原點的局部漸近穩(wěn)定性.
本文提出的事件觸發(fā)控制方案如圖1所示,事件觸發(fā)策略將在下一節(jié)中討論.
圖1 事件觸發(fā)控制示意圖Fig.1 Event-triggered control scheme
本文考慮系統(tǒng)狀態(tài)吸引域包含球
其中α ∈R是一個設(shè)計參數(shù).此外,還需要令系統(tǒng)(1)在控制器(3)作用下的解滿足如下的性能指標:
為了減小通信頻率和節(jié)省通道資源,控制信號s采用事件觸發(fā)機制更新,采樣和保持裝置可用于獲得反饋律(3)的采樣數(shù)據(jù).當控制器s=sat(u)隨著u=Kx的更新規(guī)則s+=sat(u),可以設(shè)計事件觸發(fā)采樣律.所提出的事件觸發(fā)方案采用文獻[9,11,19]中的混雜系統(tǒng)框架.在這種情況下,數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)可以寫成如下混雜系統(tǒng)形式:
(·)+表示(·)離散時刻的狀態(tài),s ∈Rm表示在流態(tài)中保持恒定的控制輸入,并在躍態(tài)時更新.FE,JE分別是Rn×Rm的兩個子集,分別表示解允許在哪里流動和跳轉(zhuǎn).FE,JE分別稱為流集和躍集,是根據(jù)事件觸發(fā)條件在控制設(shè)計中可用的自由度.對于每個初始條件(x(0,0),s(0,0))∈FE∪JE,本文利用每個極大解(x(t,j),s(t,j))的域∪j∈N([tj,tj+1]×{j})擬合文獻[9,11,19]中提出的框架,關(guān)于混雜系統(tǒng)解詳見文獻[9].混雜模型可以有效的表示系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)性質(zhì),其中一個跳轉(zhuǎn)對應(yīng)一個控制輸入的更新.
注1事件生成器的觸發(fā)時間tj表示控制輸入更新的時刻.混雜系統(tǒng)(5)給出了事件觸發(fā)采樣律下系統(tǒng)(1)的一般混雜系統(tǒng)框架.然后,事件觸發(fā)條件將通過流集FE和JE的形式來設(shè)計.也就是說,事件觸發(fā)時刻可以通過躍集JE的形式寫成
本文將解決如下問題:
問題1對于系統(tǒng)(1),給定標量α>0,如何確定控制增益K以及狀態(tài)反饋律的事件觸發(fā)采樣機制(即設(shè)計FE,JE),以保證閉環(huán)系統(tǒng)(5)在吸引域下(包含原點)是局部一致漸近穩(wěn)定的.
本節(jié)將通過設(shè)計事件觸發(fā)條件下的狀態(tài)反饋控制,建立混雜系統(tǒng)框架下具有輸入飽和的非線性系統(tǒng)局部一致漸近穩(wěn)定性條件.為了給出本節(jié)主要結(jié)果,給出以下的定義及引理.
定義1給定矩陣H ∈Rm×n和τ ∈Rm,定義hi和τi分別為矩陣H和τ的第i行,對稱多面體定義為
定義2給定一個對稱正定矩陣P和一個正標量ρ,E(P,ρ)表示下面的橢圓體
針對上述的閉環(huán)混雜系統(tǒng)(5),給出下述定理1,表明當非線性項滿足Lipschitz條件時,對于混雜系統(tǒng)(5)存在一緊集A是局部一致漸近穩(wěn)定的.
注2對于混雜系統(tǒng)(5),緊集A是本文要研究其穩(wěn)定性的集合.由于混雜系統(tǒng)(5)具有x和s兩個狀態(tài),并且s與控制輸入相關(guān),因此只需考慮x的收斂性.有關(guān)混雜系統(tǒng)理論更多定義和結(jié)果,請讀者參考文獻[9].
注3注意到代價函數(shù)(4)中矩陣Q在定理1中的線性矩陣不等式和事件觸發(fā)條件中起著重要作用,可能影響閉環(huán)系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性.因此,應(yīng)選擇合適的矩陣Q來平衡系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性和控制性能.
接下來,若定理1成立,給出如下定理證明混雜系統(tǒng)(5)不存在Zeno現(xiàn)象.
定理2若定理1成立,則混雜系統(tǒng)(5)不存在Zeno現(xiàn)象.
證若定理1成立,則對定理1中式(12)的變量進行如下變換:
針對閉環(huán)混雜系統(tǒng)(5),給出下述定理3,表明當非線性項滿足扇區(qū)條件時,對于混雜系統(tǒng)(5)存在一緊集A是局部一致漸近穩(wěn)定的.
注6類似于定理2的分析,可以證明若定理3成立,混雜系統(tǒng)(5)不存在Zeno現(xiàn)象.
若取P=βIn,可以得出如下推論:
表示飽和函數(shù)的范圍,則對于事件觸發(fā)控制(3)作用下閉環(huán)系統(tǒng)(5),集合
是局部一致漸近穩(wěn)定的,吸引域包含集合E(P,1)×U0,其中E(P,1)={x ∈Rn:xTPx≤1},并且混雜系統(tǒng)(5)不存在Zeno現(xiàn)象.
本節(jié)討論前述事件觸發(fā)控制器對于存在系統(tǒng)噪聲和外部干擾具有魯棒性.
為了說明所提出事件觸發(fā)控制策略的有效性,下面通過單接點機械臂動力學系統(tǒng)和混沌系統(tǒng)為例進行仿真驗證.
例1考慮文獻[23]中單接點機械臂動力學系統(tǒng):
其中:θ(t)為臂的角度,u(t)為控制輸入.M是負載重量,J是轉(zhuǎn)動慣量,g是重力加速度,l是臂長,R是摩擦系數(shù).這些參數(shù)的值參考實際系統(tǒng)分別選取為
于是,利用所提出的事件觸發(fā)控制機制,并結(jié)合上面的控制器增益K,可以得到閉環(huán)系統(tǒng)(5).考慮系統(tǒng)狀態(tài)初始條件為,初始控制輸入為0.通過仿真實驗,圖2-3顯示了機械臂系統(tǒng)狀態(tài)x和控制輸入s的時間響應(yīng)曲線,由圖可以看出當非線性項f(x)滿足假設(shè)1中的Lipschitz條件,系統(tǒng)狀態(tài)在事件觸發(fā)控制下迅速收斂到平衡點.事件間隔如圖4所示,可以看出控制輸入數(shù)據(jù)傳輸量大大減少.如圖5所示,當初始狀態(tài)處于吸引域時,系統(tǒng)狀態(tài)可以收斂至平衡點.仿真結(jié)果表明了所提出的事件觸發(fā)控制策略的優(yōu)點和可行性.
圖2 系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線Fig.2 Time response curve of state
圖3 飽和控制輸入的時間響應(yīng)曲線Fig.3 Time response curve of saturated control input
圖4 事件間隔時間響應(yīng)曲線Fig.4 Time response curve of event intervals
圖5 吸引域范圍曲線Fig.5 Range curve of attraction domain
為了比較控制器性能,將定理1中的結(jié)果與非飽和控制器作用下結(jié)果進行比較.由于非飽和控制沒有對控制輸入的幅值施加限制,比飽和控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)的收斂效果應(yīng)該更好.為了驗證這一結(jié)果,仿真中兩種控制器,采用相同的控制增益.通過仿真實驗,圖6-7顯示了機械臂系統(tǒng)狀態(tài)x和控制輸入s的時間響應(yīng)曲線.由圖可知,與非飽和控制器相比,飽和控制器下系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度稍慢,而且有著更大的超調(diào),但好處是實際中可以根據(jù)需要滿足輸入限幅要求.
圖6 系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線Fig.6 Time response curve of state
圖7 控制輸入的時間響應(yīng)曲線Fig.7 Time response curve of control input
為了驗證該方法的優(yōu)越性,我們把定理1中的結(jié)果和文獻[24]中的飽和控制進行比較.文獻[24]中飽和控制輸入
其中Ei ∈E和.E是一組對角元素為0或1的對角矩陣,包含2m個元素.通過求解文獻[24]中定理條件得到以下控制參數(shù):
圖8顯示了機械臂系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線.從圖8可知,當系統(tǒng)狀態(tài)控制收斂效果差不多情況下,由于本文用的是事件觸發(fā)控制,而文獻[24]用的是連續(xù)時間控制,所以基于本文定理1的事件觸發(fā)控制比文獻[24]狀態(tài)反饋控制控制信號數(shù)據(jù)傳輸頻率更少,從而更能減輕通信系統(tǒng)的負擔.
圖8 系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線Fig.8 Time response curve of state
例2考慮文獻[25]中所描述的L¨u混沌系統(tǒng):