楊衍婷 梁 彥

(1.咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西咸陽(yáng) 712000;2.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,陜西西安 710072)

1 引言

在實(shí)際跟蹤中,信息不僅可以來(lái)源于雷達(dá)、紅外等骨干裝備,還可以來(lái)源于飛行航路、道路等形成的等式不等式約束[1].例如,直升機(jī)受限于最大升限的高度約束和最遠(yuǎn)航程的距離約束,高超彈服從一定動(dòng)力學(xué)約束,擴(kuò)展目標(biāo)服從目標(biāo)幾何關(guān)系約束,編隊(duì)飛行服從隊(duì)形幾何限制約束,海航、民航、車輛服從一定航路,道路約束等.這些約束信息具有自己固有的存在形態(tài)且不受外界干擾從而有很大的利用價(jià)值.例如,在目標(biāo)跟蹤中,可以利用目標(biāo)的最大最小速度限制提高跟蹤精度.因此,充分挖掘系統(tǒng)特性和環(huán)境限制等帶來(lái)的約束信息,可以使得動(dòng)態(tài)系統(tǒng)面臨的建模不確定在狀態(tài)估計(jì)中得到一定程度的弱化,從而提高估計(jì)性能.通常地,約束可以分為兩大類:等式約束和不等式約束.由于等式約束包含更精確的系統(tǒng)信息,因而在實(shí)際中可以明顯改善濾波精度,所以,等式約束濾波問題的研究具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義.

對(duì)于線性等式約束濾波,通常采用系統(tǒng)模型縮減法[2]、偽量測(cè)法[3]、以及投影法[4]這3種方法來(lái)實(shí)現(xiàn).系統(tǒng)模型縮減法計(jì)算復(fù)雜度較低,可以實(shí)現(xiàn)最小均方誤差估計(jì),但是可能出現(xiàn)不同的消元產(chǎn)生不一樣的估計(jì)結(jié)果以及消元過程失去物理意義等缺點(diǎn)[5].偽量測(cè)法不需專門設(shè)計(jì)濾波器,處理簡(jiǎn)單,但是會(huì)產(chǎn)生奇異的協(xié)方差矩陣從而帶來(lái)數(shù)值不穩(wěn)定問題[6].投影法將無(wú)約束狀態(tài)估計(jì)投影到約束空間,所產(chǎn)生的估計(jì)結(jié)果不一定是最優(yōu)的[4].對(duì)于非線性的等式約束,即使是線性系統(tǒng)也不一定能得到封閉形式解析最優(yōu)解.非線性等式約束濾波的方法主要包括投影法[7]、偽量測(cè)法[8]、基于泰勒級(jí)數(shù)展開的近似[3]、基于確定性采樣的無(wú)跡卡爾曼[8]、以及基于滑動(dòng)水平估計(jì)的濾波方法[3]等.目前,線性等式約束濾波的研究已日趨成熟,非線性等式約束濾波研究取得了較大進(jìn)展,但是非線性等式約束問題的本質(zhì)挑戰(zhàn)尚未解決:非線性等式約束通常需要近似,很難得到解析最優(yōu)解,因?yàn)橐紤]估計(jì)精度與計(jì)算量之間的折中,所以具體問題采用具體的算法,很難給出嚴(yán)格統(tǒng)一的濾波框架.實(shí)際中,往往出現(xiàn)非線性等式約束的情況.例如,在非合作機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中,目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)若直接用簡(jiǎn)單線性模型進(jìn)行刻畫,則非常不準(zhǔn)確,如果想要獲得滿意的估計(jì)精度,需要對(duì)不確定系統(tǒng)進(jìn)行非線性建模.因此,研究非線性等式約束下系統(tǒng)的濾波問題意義重大.

進(jìn)一步地,在實(shí)際中,由于機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)非合作性,無(wú)論是系統(tǒng)狀態(tài)所受約束還是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化,都存在無(wú)法用單一模型刻畫的情況.例如,在交叉道路機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中,一方面,感興趣的目標(biāo)在交叉道路上的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)很難用單一典型目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式(諸如勻速直線,勻加速直線或轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)等)來(lái)進(jìn)行有效建模;另一方面,對(duì)于被觀測(cè)目標(biāo),由于可選擇的運(yùn)動(dòng)道路的多樣性,其實(shí)際的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)約束亦很難靠單一的約束直接進(jìn)行描述.多模型估計(jì)[9-11]被認(rèn)為是目標(biāo)運(yùn)動(dòng)不確定性的主流機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法.在多模型估計(jì)中,跳變馬爾可夫過程是描述時(shí)變系統(tǒng)不確定模態(tài)的典型方法.跳變馬爾可夫過程[12-13]通過不同時(shí)間段內(nèi)不同系統(tǒng)的演化模式覆蓋系統(tǒng)整個(gè)的演化過程.它重在有效刻畫模型間的切換,認(rèn)為相鄰時(shí)刻不確定參數(shù)或模式往往服從一定的概率轉(zhuǎn)移關(guān)系,更加符合機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤等實(shí)際工程的應(yīng)用,因而在目標(biāo)跟蹤[14-15]、信號(hào)處理[16]、過程控制[17]、故障檢測(cè)與診斷[18]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,相關(guān)離散時(shí)間跳變馬爾可夫系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題受到了廣泛關(guān)注.

針對(duì)上述跳變約束下馬爾可夫切換非線性系統(tǒng)濾波問題,若直接采用偽量測(cè)法,將量測(cè)和約束擴(kuò)維,則狀態(tài)上存在一個(gè)馬爾可夫鏈,量測(cè)上存在兩個(gè)馬爾可夫鏈,交互式多模型方法不能夠直接使用.進(jìn)一步地,跳變馬爾可夫過程和系統(tǒng)的非線性耦合,在交互式多模型方法中如何得到快速高精度的估計(jì)結(jié)果是難點(diǎn).Zhou[19-21]考慮了系統(tǒng)在不同模式下的切換,但這種切換不是依概率的,系統(tǒng)多個(gè)模式間的推進(jìn)不服從跳變馬爾可夫過程,并且在每個(gè)模式下,文獻(xiàn)[19-21]的系統(tǒng)演化是線性的.Zhou[22-23]考慮了系統(tǒng)模型不確定下的狀態(tài)估計(jì)問題,這種模型的不確定性綜合了模式切換結(jié)果,與跳變馬爾可夫過程有著本質(zhì)的不同.此外,Zhou[19,21,23]將系統(tǒng)誤差建模為外部擾動(dòng),針對(duì)系統(tǒng)模型不確定和外部擾動(dòng),設(shè)計(jì)了魯棒濾波器.本文系統(tǒng)模型不確定是具有特定的馬爾可夫切換性質(zhì)的,系統(tǒng)誤差是服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的隨機(jī)噪聲,綜上所述,文獻(xiàn)[19-23]中的方法不適合本文所提問題的濾波器設(shè)計(jì).因此,本文提出一種新的非線性約束濾波算法,主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下:針對(duì)狀態(tài)切換與跳變約束共存,定義了新假設(shè)集,以包含雙跳變馬爾可夫參數(shù)可能取值,基于最優(yōu)貝葉斯濾波,推導(dǎo)出狀態(tài)與假設(shè)的后驗(yàn)概率遞推更新;基于線性統(tǒng)計(jì)回歸,利用偽量測(cè)法,給出了非線性系統(tǒng)濾波的近似解析最優(yōu)解;最終給出所提算法的稀疏網(wǎng)格積分近似最優(yōu)估計(jì)實(shí)現(xiàn).

2 問題描述

考慮離散時(shí)間跳變馬爾可夫約束非線性系統(tǒng)如下所示:

注1在實(shí)際中,存在系統(tǒng)狀態(tài)所受約束和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)無(wú)法用單一模型刻畫的情況.以機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤為例,在交叉道路下,目標(biāo)的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)很難用勻速直線,勻加速直線或勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)等來(lái)進(jìn)行有效建模.此外,由于道路交叉,目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)約束亦很難靠單一約束直接進(jìn)行描述.

3 基于最優(yōu)貝葉斯濾波狀態(tài)后驗(yàn)概率遞推

由于系統(tǒng)是涉及兩個(gè)馬爾可夫跳變參數(shù)的多模態(tài),考慮多模態(tài)系統(tǒng)一種直接方法就是在每一時(shí)刻求取每個(gè)模態(tài)下的狀態(tài)后驗(yàn)概率,之后進(jìn)行輸出綜合.因此,依據(jù)跳變馬爾可夫參數(shù)取值,假設(shè)

由于所考慮問題是非線性約束系統(tǒng),對(duì)于非線性等式約束,一種直接的處理方法是考慮偽量測(cè)法.設(shè)zk是真實(shí)量測(cè)yk和約束擴(kuò)維后形成的新的量測(cè),則所考慮系統(tǒng)狀態(tài)上存在一個(gè)馬爾可夫鏈Θk,而量測(cè)上存在兩個(gè)馬爾可夫鏈Θk,rk,對(duì)于這樣的系統(tǒng)的濾波問題,交互式多模型方法不能夠直接使用,因此,需要探索新的方法完成系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì).

記Z1:k代表量測(cè)序列{z1,z2,···,zk}.根據(jù)最優(yōu)貝葉斯濾波,有

定理1狀態(tài)后驗(yàn)概率p(xk+1|Z1:k+1)遞推如下:

4 基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的非線性系統(tǒng)濾波

由于系統(tǒng)非線性,這里,采用統(tǒng)計(jì)線性回歸方法線性化非線性函數(shù)[24-25].統(tǒng)計(jì)線性回歸線性化時(shí)考慮了先驗(yàn)隨機(jī)變量的不確定性,因此,在統(tǒng)計(jì)意義上,所得到的線性化函數(shù)比簡(jiǎn)單使用一階截?cái)嗵├占?jí)數(shù)展開準(zhǔn)確.

5 非線性系統(tǒng)濾波的稀疏網(wǎng)格積分實(shí)現(xiàn)

精度為3級(jí)時(shí)的稀疏網(wǎng)格積分精度達(dá)到了泰勒展開的5階截?cái)?優(yōu)于無(wú)跡卡爾曼高斯函數(shù)泰勒3階截?cái)?同時(shí)計(jì)算量較小.無(wú)跡卡爾曼濾波器只是稀疏網(wǎng)格積分濾波器精度為2級(jí)時(shí)的一個(gè)特例.因此,本文采用文獻(xiàn)[27]中的稀疏網(wǎng)格積分方法.精度級(jí)為3級(jí)時(shí),根據(jù)矩匹配原則,可得nx維稀疏網(wǎng)格積分點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)重如下:

6 仿真驗(yàn)證

系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差

傳感器采樣周期為T=1 s.

在仿真場(chǎng)景中,目標(biāo)共運(yùn)行了100 s.在前25 s,目標(biāo)做CV運(yùn)動(dòng),在接下來(lái)的25 s,目標(biāo)做CT運(yùn)動(dòng),在隨后的25 s,目標(biāo)繼續(xù)做CT運(yùn)動(dòng),這時(shí),速度放大1.5倍,最后的25 s,目標(biāo)再一次回到CV運(yùn)動(dòng)上來(lái).雷達(dá)量測(cè)

量測(cè)噪聲協(xié)方差為Rk=diag{502,0.0012,25}.

在CV運(yùn)動(dòng)時(shí),目標(biāo)受限于直線約束

在CT運(yùn)動(dòng)時(shí),從25到50個(gè)采樣時(shí)刻,目標(biāo)受限于小圓約束

在仿真中,產(chǎn)生量測(cè)數(shù)據(jù)時(shí),采用投影法使目標(biāo)運(yùn)動(dòng)滿足約束.

目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)服從馬爾可夫跳變過程,基于CV和CT兩種模式,轉(zhuǎn)移概率矩陣為

在仿真中,對(duì)于本文所提出的跳變約束非線性系統(tǒng)濾波算法,處理非線性函數(shù)時(shí)分別采用統(tǒng)計(jì)線性回歸方法與泰勒展開方法(即基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF與基于泰勒展開式的CMJF),與傳統(tǒng)的基于泰勒展開的交互式多模型算法,基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的交互式多模型算法(即基于泰勒展開式的IMM,基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的IMM)相比較,基于1000次蒙特卡洛仿真實(shí)現(xiàn),4種算法的目標(biāo)在ξ方向的均方根誤差如圖1所示,目標(biāo)在η方向的均方根誤差如圖2所示,目標(biāo)角速度估計(jì)和均方根誤差如圖3所示.從圖中可以看出,無(wú)論位置,速度,角速度估計(jì)中,基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法優(yōu)于其它3種算法.4種算法狀態(tài)估計(jì)均方根誤差均值如表1所示.

表1 4種算法的狀態(tài)估計(jì)的均方根誤差的均值Table 1 The mean of root mean square errors of state estimations for four algorithms

當(dāng)系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差增大到2.5倍時(shí),4種算法的均方根誤差如圖4,圖5所示,目標(biāo)角速度估計(jì)和均方根誤差如圖6所示.4種算法均方根誤差均值如表2所示.

表2 當(dāng)系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差增大時(shí)4種算法的狀態(tài)估計(jì)的均方根誤差的均值Table 2 The mean of root mean square errors of state estimations for four algorithms when the covariances of system process noises increase

從圖1-6和表1-2中可以看出,系統(tǒng)過程噪聲增大,約束起顯著作用,利用約束可以提高系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)精度.在仿真中發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)非線性程度較強(qiáng)時(shí)基于泰勒展開的濾波算法容易發(fā)散,本文在仿真中剔除了誤差較大的估計(jì)值.此外,從圖1-2和圖4-5可以看出,基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法降低了峰值誤差,而對(duì)于目標(biāo)跟蹤而言,峰值誤差的降低有著重要意義.峰值誤差過大會(huì)導(dǎo)致后續(xù)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)失效從而導(dǎo)致航跡丟跟.

圖1 目標(biāo)在ξ方向的均方根誤差Fig.1 Root mean square errors of the target in ξ

圖2 目標(biāo)在η方向的均方根誤差Fig.2 Root mean square errors of the target in η

圖3 目標(biāo)角速度估計(jì)與均方根誤差Fig.3 Angular velocity estimations and root mean square errors of the target

圖4 過程噪聲協(xié)方差增大時(shí)目標(biāo)在ξ方向的均方根誤差Fig.4 Root mean square errors of the target in ξ when the covariances of system process noises increase

圖5 過程噪聲協(xié)方差增大時(shí)目標(biāo)在η方向的均方根誤差Fig.5 Root mean square errors of the target in η when the covariances of system process noises increase

圖6 過程噪聲協(xié)方差增大時(shí)目標(biāo)角速度估計(jì)與均方根誤差Fig.6 Angular velocity estimations and root mean square errors of the target when the covariances of system process noises increase

基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法與比較算法的平均運(yùn)行時(shí)間如圖7所示,其中,仿真實(shí)現(xiàn)是在Intel(R)Core(TM)i5-4200M CPU@2.50 GHz 2.49 GHz的計(jì)算機(jī)上,利用MATLAB 2019a.同時(shí),運(yùn)行時(shí)間同時(shí)使用“tic”和“toc”函數(shù)度量.明顯地,盡管基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法的平均運(yùn)行時(shí)間稍微長(zhǎng)于其他比較算法,然而它的運(yùn)行時(shí)間很短,大約2.1×10?3s.這表明基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法的運(yùn)行時(shí)間滿足大多數(shù)工程實(shí)際的應(yīng)用要求.

圖7 平均運(yùn)行時(shí)間比較Fig.7 Comparison of the average running time

基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法與比較算法在ξ方向,η方向的位置平均協(xié)方差如圖8所示.從圖8可以看出,基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法與比較算法在收斂速度上差不多,在10～20的采樣時(shí)刻,基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的CMJF算法與比較算法均趨于收斂,其中,算法中尖峰的出現(xiàn)是由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)造成的.

圖8 平均協(xié)方差比較Fig.8 Comparison of the mean covariance

7 結(jié)論

本文利用線性統(tǒng)計(jì)回歸線性化非線性函數(shù),將線性化的約束擴(kuò)維到真實(shí)量測(cè)中.在概率密度高斯假設(shè)下,推導(dǎo)出狀態(tài)與假設(shè)概率后驗(yàn)估計(jì)遞推更新,給出所提算法稀疏網(wǎng)格積分濾波實(shí)現(xiàn).由于系統(tǒng)狀態(tài)演化,量測(cè)和約束建模不局限于同一個(gè)馬爾可夫切換過程,從而應(yīng)用更加廣泛.

附錄A 定理1的證明

由全概率公式,狀態(tài)xk+1的條件后驗(yàn)概率展開如下:

附錄B 定理2的證明

根據(jù)定理1,基于卡爾曼濾波可得定理2的結(jié)論.