何偉

[摘 ?要] 教學中，教師要切實從學生實際出發(fā)，以發(fā)展學生為目標，少一些“灌輸”，多一些“引導”和“點撥”，以此激活思維，誘發(fā)思考，提升教學有效性. 文章以“等比數(shù)列的前n項和”為例，對不同設(shè)計、呈現(xiàn)方式進行對比和分析，展示自主探究的價值，談幾點對“生本課堂”建構(gòu)的建議，以期學生能夠真正參與課堂，讓課堂更有效、更高效.

[關(guān)鍵詞] 激活思維;有效性;自主探究

在一次校內(nèi)技能大賽上，數(shù)學組以“等比數(shù)列的前n項和”為題開展同課異構(gòu)課，各位教師精心籌備，耐心打磨，數(shù)學課堂呈現(xiàn)了別樣精彩. 筆者在聽課、評課中收獲頗豐，現(xiàn)簡單呈現(xiàn)不同設(shè)計的教學片段，并進行了比較研析，若有不當之處請同人指正.

[?]研探教學模式

1. 方案1（借助情境，鋪設(shè)方法臺階）

師：課前大家已經(jīng)閱讀了“棋盤上的麥粒”這個故事，誰來說一說國王需要給大臣多少麥粒？

生1：S=1+2+22+…+263①.

師：很好，這個就是我們今天研究的課題：等比數(shù)列的前n項和公式.

師：如果國王愿意加倍給大臣麥粒，此時國王需要準備多少麥粒呢？

生2：這個簡單，每個格子都乘2就可以了，也就是2S=2+22+23+…+264②.

師：你能算出國王多給大臣多少麥粒嗎？

生3：②式與①式相減，得S=264-1.

師：很好，這樣①式和②式中許多相同的項通過相減即可消除，我們將該方法稱為“錯位相減法”. 現(xiàn)在我們逐漸向一般化推廣：若公比為q，首項為1，等比數(shù)列的前n項和是什么？

生4：S=1+q1+q2+…+qn-1③.

師：很好. 這里的S如何求解呢？

生5：qS=q1+q2+q3+…+qn④，④式與③式相減，得（q-1）S=qn-1，故S=.

師：若等比數(shù)列的首項由“1”變?yōu)椤癮”，又該如何辦呢？

學生通過模仿，輕松得到S=.

師：我們也可以將S=記為S=. 注意，此時q≠1，當q=1時，S=na.

師：除了應(yīng)用錯位相減法外，你還能想出其他方法嗎？

學生沉默，接下來在教師的提示和指導下，學生又找到了另外兩種推導的方法.

從以上教學過程可以看出，教師借助具體情境為學生提供了解決問題的方案，降低了思維的難度，由特殊到一般的推廣符合學生的認知水平，易于學生理解和接受[1]. 但是該方法是教師直接拋出的，難免讓學生產(chǎn)生困惑，例如這里的“2”是教師直接給出的，沒有體現(xiàn)學生的思維過程：為什么是“2”呢？“2”是怎么出現(xiàn)的呢？雖然在一般化的證明中學生找到了解決問題的方案，但那僅是一種簡單的套用，自主探究流于形式，并沒有引發(fā)學生的深度思考，這樣學生只會對錯位相減法感到驚訝，難以產(chǎn)生深刻的印象，也難以重視;學生的思路被教師牽著走，難以激發(fā)探究熱情，難以體會自主探索帶來的成就感.

另外，教學中教師鋪設(shè)了S，2S，求S時學生必然會選擇②-①，雖然①-②和②-①在本質(zhì)上沒有區(qū)別，但是學生在沒有理解和掌握錯位相減法的前提下，若讓學生將兩式混減，無疑會增加學生的負擔，不利于培養(yǎng)學生錯位相減法常規(guī)操作習慣.

不過，以上教學過程也有其一定的優(yōu)勢，對于學習能力一般的學生來說，通過教師鋪設(shè)方法的臺階，為學生提供探究線索，讓學生在由特殊到一般的推導過程中能夠“跳一跳，摘桃子”. 同時，在教師的點撥下，學生快速地找到了解決問題的方案，節(jié)省了學生探索的時間.

2. 方案2（借助猜想，尋找思維臺階）

通過課前導學，給出課題：如何求解S=1+2+22+…+263.

師：1=21-1，1+2=3=22-1，1+2+22=？（學生積極參與）

生1：1+2+22=7=23-1.

師：很好，那么1+2+22+23=？

生2：1+2+22+23=15=24-1.

經(jīng)歷以上思維過程，由不完全歸納法，猜想得S=1+2+22+…+263=264-1. 教師繼續(xù)引導，猜想得1+2+22+…+2n-1=2n-1，30+31+32+…+3n-1=，40+41+42+…+4n-1=，繼而通過猜想得出一般的結(jié)論：q0+q1+q2+…+qn-1=（q≠1）.

這樣，通過以上猜想，等比數(shù)列的前n項求和公式呼之欲出——a+aq1+aq2+…+aqn-1=（q≠1）. 最后，在教師的點撥和啟發(fā)下，運用錯位相減法進行驗證.

數(shù)學猜想作為一種創(chuàng)造性的思維活動，是數(shù)學學習中最積極、最活躍的因素之一，是推動數(shù)學發(fā)展的強大動力. 在數(shù)學教學中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)一定條件引導學生進行數(shù)學猜想，以此發(fā)展學生的邏輯推理能力和總結(jié)概括能力，培養(yǎng)學生敢于創(chuàng)新、勇于探索的精神. 本課突出了“歸納—猜想—證明”的數(shù)學思想方法，激活了學生的認知結(jié)構(gòu). 通過試真推理，從結(jié)構(gòu)分析獲得數(shù)學靈感，歸納猜想出了等比數(shù)列的前n項和公式，是一種較好的尋求結(jié)果的方法. 但是對于本課，學生通過猜想得到了結(jié)論，這樣讓學生失去了探究未知的熱情，有可能造成學生解決問題的內(nèi)驅(qū)力不足，影響學生后續(xù)推理驗證的熱情，影響學生思維能力的發(fā)展和提升.

3. 方案3（巧妙啟發(fā)，為思維發(fā)展架橋鋪路）

師：相信課前導學內(nèi)容大家都已經(jīng)認真閱讀了，現(xiàn)在誰來說一說，每個格子所放的麥粒數(shù)可以看成什么數(shù)列？

生1：首項為1、公比為2的等比數(shù)列.

師：若想求出64個格子的麥粒數(shù)總和，其實質(zhì)是求什么呢？

生2：求這個等比數(shù)列的和，S=1+2+22+…+263.

師：很好，如何算這個式子就是我們本節(jié)課研究的主題. 若將其符號化，即算S=a+a+a+…+a+a.

師：在此之前，我們學習過什么數(shù)列的求和公式？

學生齊聲答：等差數(shù)列.

師：等差數(shù)列的求和公式是什么？（教師點名讓學生回答）

生3：S==na+d.

師：很好. 那么對于等比數(shù)列，我們能不能也像等差數(shù)列那樣，用已知的相關(guān)量將其簡潔地表示出來呢？

師：我們學習過等比數(shù)列的定義及通項公式，并有等差數(shù)列的學習經(jīng)驗，那么運用這些已有知識和經(jīng)驗，你們是否能夠推導出等比數(shù)列的前n項和呢？（教師預留5分鐘讓學生合作探究）

生4：根據(jù)定義可將S=a+a+a+…+a+a寫成S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①，兩邊同時乘q，得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

師：同時乘q的目的是什么？（師追問）

生4：獲得相同的項，由①-②得（1-q）S=a-aqn，所以S=（q≠1）.

師：很好，非常新穎，若q=1呢？

生4：若q=1，則S=na.

師：非常好的方法，我們一起回顧一下，以上推導有哪幾個關(guān)鍵的步驟呢？

學生通過回顧一致認為，乘公比、錯位、相減為推導的關(guān)鍵. 此時學生的思維活躍，教師順勢讓學生嘗試應(yīng)用其他方法繼續(xù)探究，但學生并沒有提出新方法，于是教師給出了另外一種推導方法：

因為a=aq，a=aq，a=aq，…，a=aq，所以a+a+…+a+a=q（a+a+a+…+a），S-a=q（S-a），（1-q）S=a-aqn……

在本課教學中，從學生的已有經(jīng)驗出發(fā)，引導學生類比等差數(shù)列求和公式，尋找等比數(shù)列求和公式的推導方法，符合學生的認知結(jié)構(gòu)特點和思維發(fā)展規(guī)律. 對于等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式的推導，雖然錯位方法不同，但是其數(shù)學思想和數(shù)學方法是一致的，因此與已有經(jīng)驗和方法相類比是行之有效的策略.

在教師細致入微的引導下，讓學生的思維層層深入，通過合作探究完成了推導. 不過，讓學生嘗試應(yīng)用其他方法進行推導，學生沒有太多的發(fā)現(xiàn)，可見細致入微的引導在一定程度上限制了學生思維，影響了學生發(fā)展，為教學帶來了一些遺憾. 其實，在實際教學中，教師可以少講一些，多留一些時間和空間讓學生獨立思考和合作交流，這樣在不同思維的碰撞下，更易于激發(fā)學生思維的火花[2].

4. 方案4（點撥思維，放手探究）

課上教師引入故事“棋盤上的麥粒”.

師：如果你是國王，你會答應(yīng)這個要求嗎？

學生齊聲答：不會.

師：為什么？這個要求不高吧？不就是給點麥粒嗎？

生1：這個要求還不高嗎？這個加起來很多的，一共需要給1+22+…+263.

師：哦！是嗎？判斷多與少最好用數(shù)據(jù)來說話，這個算式應(yīng)該怎么算呢？（提出問題）

此時學生竊竊私語，有的說可以用計算器算，有的說應(yīng)該用計算公式.

師：如果通過計算器幫助國王解決了這個問題，又有其他人提出第一個格子放2顆麥粒，接下來每個格子都是前一個格子麥粒數(shù)的2倍，我們又該怎么辦呢？如果第一個格子放3粒呢？這些都是一些類似的問題，我們必須要找到一般的解決方法才能幫助國王徹底解決這個難題. 誰來概括一下，這些類似的問題是哪一類問題？

生2：等比數(shù)列求和.

師：很好，這樣把問題一般化，即求S=a+a+a+…+a+a. 對于這個問題，你認為我們可能遇到的最大障礙是什么？

生3：量太多，需要將“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”.

師：說得很好，確實量太多了，由a到a共有n個量，如何才能減少這些量呢？之前我們是否接觸過類似的問題呢？

生4：在推導等差數(shù)列求和公式時接觸過，同樣也有n個量，利用倒序相加的方法消項，最后轉(zhuǎn)化用a，n，d或a，a，d這三個基本量來表示.

師：很好，那么對于等比數(shù)列的前n項和公式是否也可以轉(zhuǎn)化用三個基本量來表示呢？

生5：用a，n，q表示S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①.

師：轉(zhuǎn)化后項數(shù)還是太多了，如何消項呢？（點明思考方向）

生6：根據(jù)定義=q，則aq=a（n≥2），這樣用定義推導是否可行呢？

師：是一個不錯的思路，請大家圍繞定義進行探索，看看你有哪些發(fā)現(xiàn)，看看是否能夠找到不同的推導方法.

教師先讓學生獨立思考，3分鐘后進行小組互動交流.

師：誰來和大家分享一下？

生7：整體乘q，得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

師：你的目的是什么？

生7：乘公比后，①式和②式中就有許多相同的項，這樣兩式相減可消項. 由①-②得（1-q）S=a-aqn，S=（q≠1）. 若q=1，則S=na.

師：你是如何想到乘公比q的呢？

生7：根據(jù)定義可知，a=aq，a=aq，…，a=aq，每一項乘q，這樣每一項就等于往后挪了一項.

師：非常棒. 完成這一操作需要幾個步驟呢？

生7：共有四個步驟：乘公比;錯位;相減;化簡.

師：很好，生7的推導方法和課本不謀而合，這個方法我們稱為錯位相減法，非常完美的解法. 這樣目標就可以用a，n，q這三個量來表示了. 你們還有其他方法嗎？

生8：因為==…==q，所以=q，=q……

師：很好，利用合比定理，通過整體代換也實現(xiàn)了這一轉(zhuǎn)化，得到了求和公式. 有什么需要注意的嗎？

生9：分類討論.

師：這是從嚴謹性來考慮. 還有其他問題嗎？

生10：以上為分式結(jié)構(gòu)，要確保分母不能為0.

生11：q為-1時，此方法也不適合.

師：很好，還有其他方法嗎？

生12：a+a+…+a+a=q（a+a+a+…+a），S-a=q（S-a），（1-q）S=a-aqn……

生13：a=a+（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）=a+a（q-1）+a（q-1）+a（q-1）+…+a（q-1）=a+（q-1）（a+a+a+…+a）=a+（q-1）（S-a），所以可得S=

，q≠1，

na，q=1.

師：大家真是太棒了，通過構(gòu)造、提取、整體代換，使公式轉(zhuǎn)化為基本量的最簡形式. 我想大家還有其他方法，但限于時間關(guān)系，這里就不一一探究了，課下同學們可以繼續(xù)交流，分享你們的奇思妙想.

在本課教學中，教師通過創(chuàng)設(shè)問題使學生陷入矛盾，接下來通過啟發(fā)、點撥，讓學生在獨立思考和合作探究中得出結(jié)論. 教學中，學生每給出一種方法，教師都會提出自己的疑問，以誘發(fā)學生深度思考，培養(yǎng)他們思維的嚴謹性，幫助他們完善思維. 以上探究活動既是基于學生原有認知的一種建構(gòu)，又是對學生思維的一種發(fā)展，讓學生在探究中學會思考、學會探索、學會合作.

[?]后續(xù)思考

1. 課堂教學應(yīng)重視學生的認知規(guī)律和學習障礙，關(guān)注學生思維能力的發(fā)展和提升

在錯位相減法生成的過程中，部分教師為了追求效率，在一定程度上忽視了學生的認知規(guī)律，教師牽著學生朝著自己預設(shè)的方向走，這樣雖然在教師的引領(lǐng)下得出了結(jié)論，但學生掌握的僅僅是解決這一問題的方法，并不能認清問題的本質(zhì)，更不能將其提升至思維的高度，因此出現(xiàn)了“知其然，而不知所以然”的情況. 這樣的自主探究是被動的、低效的，難以促進學生的思維發(fā)展. 因此，在實際教學中，要為學生營造一個開放的學習空間，從學生的認知規(guī)律出發(fā)，帶領(lǐng)學生切身經(jīng)歷方法的生成過程，明確思想方法，揭示思維本質(zhì)，突破思維障礙，讓學生的數(shù)學思維走上自然發(fā)展之路[3].

2. 課堂教學應(yīng)以發(fā)展學生為目標，多一些啟發(fā)和引導，少一些講授和灌輸

學生是課堂的主角，學生積極參與的課堂才是精彩的、有效的、高質(zhì)的課堂. 但在實際教學中，教師成了大多課堂的主角，教學活動以教師為主，教師常將自己的經(jīng)驗和方法強加給學生，限制了學生的思維發(fā)展. 例如，在等比數(shù)列求和公式的推導活動中，對于多種解法應(yīng)視學情而定：若是學生自行給出的，教師要為學生提供展示的舞臺;若學生發(fā)現(xiàn)得少，教師應(yīng)通過適當引導和啟發(fā)，讓學生“跳一跳”;若學生無法給出更多的解法，教師不要強求，只要學生能夠掌握一兩種解法即可. 教學中，教師切勿貪多，要視學情靈活調(diào)整教學策略，這樣讓學生真正參與其中，培養(yǎng)學生獨立思考、勇于探索的好品質(zhì).

總之，在實際教學中應(yīng)踐行“三個理解”，以發(fā)展學生為目標，為學生提供一個自由的、廣闊的學習空間，讓其自由翱翔.

參考文獻：

[1] ?劉雪亮. 構(gòu)建生本課堂，促進學生發(fā)展——對高中數(shù)學課堂有效教學的認識思考[J]. 數(shù)學學習與研究，2015（11）：62.

[2] ?劉宇徹. 淺談探究式教學在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用[J]. 求知導刊，2021（10）：75-76.

[3] ?劉國旭. 探討互助式教學在高中數(shù)學課堂中的應(yīng)用[J]. 中國校外教育，2019（26）：137-138.