王小明 樊春暉

王小明，中學(xué)高級(jí)教師，湖北省特級(jí)教師，湖北省優(yōu)秀小學(xué)數(shù)學(xué)教師;是全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)優(yōu)秀工作者，湖北省教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)第九屆理事會(huì)理事;曾榮獲全國(guó)第二屆小學(xué)數(shù)學(xué)錄像課評(píng)比一等獎(jiǎng)，多次獲省級(jí)、市級(jí)課堂教學(xué)評(píng)比一等獎(jiǎng)。近期，王小明數(shù)學(xué)名師工作室致力于整體建構(gòu)下的小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)研究，破解了諸多教學(xué)難點(diǎn)。

除法是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的計(jì)算，人們常常將它分解成一些簡(jiǎn)單的計(jì)算來(lái)獲得結(jié)果。除法豎式既要記錄計(jì)算的中間結(jié)果，又要記錄計(jì)算的最終結(jié)果，因?yàn)樗膹?fù)雜性，學(xué)生對(duì)于除法碎片化的認(rèn)識(shí)普遍存在。如何讓零散的內(nèi)容形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，以整體、系統(tǒng)、關(guān)聯(lián)的思想統(tǒng)領(lǐng)除法計(jì)算教學(xué)呢？筆者基于實(shí)踐提出了除法計(jì)算教學(xué)的五個(gè)整體視角。

一、整體視角找本源，認(rèn)識(shí)生長(zhǎng)在減法上的除法

除法源于分、源于減法，因?yàn)榉值舻拿恳环萃瑯佣?，所以出現(xiàn)了平均分，平均分可以用除法來(lái)表示。教師要讓學(xué)生在具體情境中體會(huì)從減法豎式到除法豎式的變化過(guò)程，感悟運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)。

例如，教學(xué)《有余數(shù)的除法（除法豎式）》時(shí)，教師出示例題：13根小棒，每4根分一組，能夠分（? ）組，還剩（? ）根。學(xué)生通過(guò)讀一讀、分一分、圈一圈，發(fā)現(xiàn)有剩余。教師讓學(xué)生嘗試用算式表示分小棒的過(guò)程。部分學(xué)生認(rèn)為，分了以后有剩余不是平均分，不能用除法算式表達(dá);部分學(xué)生認(rèn)為，每4根分一組是平均分，卻不知道如何用除法算式表達(dá)，就自然出現(xiàn)了“13-4-4-4=1（根）”的表達(dá)，得出“能夠分3組，還剩1根”。教師借助這個(gè)減法算式引出有余數(shù)的除法算式，再用“減法豎式”對(duì)比除法豎式（如下圖），讓學(xué)生體會(huì)除法豎式的簡(jiǎn)潔與方便。

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用乘法口訣直接得到除法的結(jié)果時(shí)，自然想到用減法推算答案。教師抓住這一點(diǎn)教學(xué)，有助于學(xué)生明白除法源于減法，是一種更簡(jiǎn)便的表達(dá)。

二、整體視角抓本質(zhì)，經(jīng)歷均分計(jì)數(shù)單位的過(guò)程

數(shù)學(xué)新課標(biāo)將“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”整合為“數(shù)與運(yùn)算”，本質(zhì)上是要體現(xiàn)基于計(jì)數(shù)單位的數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性。數(shù)由計(jì)數(shù)單位累加而來(lái)，除法在本質(zhì)上可以理解為一次次均分這些計(jì)數(shù)單位。因此，除法計(jì)算教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷均分計(jì)數(shù)單位的過(guò)程，感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用。

例如，教學(xué)《一位數(shù)除三位數(shù)（商兩位數(shù)）》時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試書寫“256÷6”的除法豎式，部分學(xué)生能完成，部分學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤，還有學(xué)生停筆不動(dòng)。停筆不動(dòng)的學(xué)生提出疑問(wèn)：2個(gè)百除以6，除不了，怎么辦？教師將256根小棒放在展臺(tái)上，引導(dǎo)學(xué)生討論這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生提出：“將兩大捆拆成20小捆就可以分了。拆開后，2個(gè)百變成了20個(gè)十，20個(gè)十和5個(gè)十合起來(lái)是25個(gè)十，25個(gè)十就可以分了。分不完的小捆還可以拆成一根一根的，直到分到不能分為止。”除法的本質(zhì)是均分計(jì)數(shù)單位，當(dāng)最高位不夠均分時(shí)，可以“拆開”繼續(xù)分。拆分小棒的過(guò)程給學(xué)生提供了除法計(jì)算的直觀表象。

商的書寫位置是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，教師在此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生討論：25個(gè)十除以6，商4，商為什么要寫在十位上？一名學(xué)生回答：25個(gè)十平均分成6份，每份有4個(gè)十，所以要寫在十位上。另一名學(xué)生聯(lián)系問(wèn)題背景補(bǔ)充道：256張照片，每頁(yè)插滿6張，可以插滿40頁(yè)，把4寫在十位上才能表示40頁(yè)。教師總結(jié)：除到十位，商就寫在十位上，這樣才能表示分了多少個(gè)十。根據(jù)計(jì)數(shù)單位確定商的書寫位置，建立計(jì)數(shù)單位與數(shù)位的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，能讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。

三、整體視角看計(jì)算，感悟口算與筆算的一致性

除法口算和除法筆算具有一致的算理，都是將被除數(shù)分解成以不同計(jì)數(shù)單位為單位的若干部分后再均分，只是筆算要將均分的過(guò)程豎著分層記錄下來(lái)，以便于用減法計(jì)算每次均分后剩下的結(jié)果。抓住本質(zhì)溝通口算與筆算，可以將口算算理遷移到筆算中，幫助學(xué)生理解除法豎式的結(jié)構(gòu)。

如教學(xué)《一位數(shù)除兩位數(shù)（商兩位數(shù)）》的例1（三年級(jí)有2個(gè)班，要植樹42棵，平均每個(gè)班植樹多少棵？）時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生口算，讓學(xué)生把口算過(guò)程寫下來(lái)，并說(shuō)說(shuō)怎樣算的。學(xué)生回答：先用40除以2得到20，再用2除以2得到1，最后用20加1得到21。接著，教師追問(wèn)：先分的是什么，再分的是什么？分了幾次？最后怎么算的？學(xué)生明確：先分的是4個(gè)十，再分的是2個(gè)一，分了兩次，先分后合。然后教師用小棒演示分與合的過(guò)程。最后，教師讓學(xué)生嘗試用除法豎式把兩次分的過(guò)程記錄下來(lái)。這樣教學(xué)，學(xué)生明確了除法豎式是兩次均分不同計(jì)數(shù)單位的口算過(guò)程的綜合，只是把過(guò)程豎著分步記錄下來(lái)，從本質(zhì)上理解了豎式結(jié)構(gòu)，感悟到口算與筆算的一致性。

四、整體視角觀豎式，完整建構(gòu)除法豎式的結(jié)構(gòu)

教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生會(huì)分小棒，也會(huì)說(shuō)分的過(guò)程，但不會(huì)獨(dú)立書寫完整的豎式。究其原因，是不理解除法豎式結(jié)構(gòu)，沒有建立起每一次均分的意義與每一步計(jì)算之間的關(guān)聯(lián)。從整體上把握除法豎式的結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生明晰計(jì)算的道理和程序，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。

如教學(xué)《一位數(shù)除三位數(shù)（商兩位數(shù)）》時(shí)，學(xué)生探究出完整的豎式（“256÷6”的豎式）后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察豎式并思考：一共分了幾次？每次是怎樣分的？每次分完后還剩多少？分別是用什么方法計(jì)算的？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：分了兩次，第一次分的是25個(gè)十，用4乘6得到要分掉的24個(gè)十，剩下1個(gè)十;第二次將剩下的1個(gè)十拆開，轉(zhuǎn)化為10個(gè)1，10個(gè)1與6個(gè)一合起來(lái)是16個(gè)一，用2乘6得到要分掉的12個(gè)一，就剩下4個(gè)一。這樣教學(xué)，學(xué)生既理解了除法豎式的每一步都對(duì)應(yīng)平均分計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的過(guò)程，整體構(gòu)建了除法豎式的結(jié)構(gòu)，又培養(yǎng)了抽象概括能力。

五、整體視角理法則，統(tǒng)整計(jì)算方法背后的道理

計(jì)算方法的總結(jié)是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生往往不知道從什么角度進(jìn)行歸納。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從加法、減法、乘法三種豎式運(yùn)算中，遷移“從哪里算起、相同數(shù)位對(duì)齊”等要點(diǎn)，明確其在除法計(jì)算中是怎樣體現(xiàn)的，更重要的是，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考除法豎式的步驟和方法，是怎樣從均分計(jì)數(shù)單位的過(guò)程中抽象出來(lái)的。

如教學(xué)《一位數(shù)除三位數(shù)（商兩位數(shù)）》時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了除數(shù)是一位數(shù)除法的計(jì)算方法，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)計(jì)算方法，學(xué)生回答“先試除被除數(shù)的首位，被除數(shù)的首位比除數(shù)小，就試除被除數(shù)的前兩位”。教師引導(dǎo)：被除數(shù)的首位比除數(shù)小，為什么要看前兩位？有的學(xué)生說(shuō)：“被除數(shù)的首位比除數(shù)小說(shuō)明不夠商1，就要拆開‘一大捆，然后和后一位上的數(shù)一起分，也就是看前兩位才能知道一共有多少個(gè)十。”還有的學(xué)生結(jié)合豎式說(shuō)明理由：“除到百位，表示平均分若干個(gè)百，商寫在百位上才表示分到了幾個(gè)百;除到十位，表示平均分若干個(gè)十，商寫在十位上才表示分到了幾個(gè)十。商的數(shù)位和被除數(shù)的數(shù)位要對(duì)齊?！苯處熆偨Y(jié)：對(duì)于四則運(yùn)算，我們都要考慮從哪算起，但除法與其他三種運(yùn)算不同，要從高位算起;列豎式計(jì)算除法時(shí)，商的數(shù)位要和被除數(shù)的數(shù)位對(duì)齊;因?yàn)橄嗤挠?jì)數(shù)單位要對(duì)齊，所以試商時(shí)，除到哪一位，就要把商寫在那一位上面;每次余下的數(shù)必須比除數(shù)小。將計(jì)算方法統(tǒng)整到計(jì)數(shù)單位之下，能使學(xué)生深入理解四則運(yùn)算，并將方法遷移到除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算中。

（作者單位：咸寧市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）