呂軍 庫(kù)福立 黃華

摘 要：線性代數(shù)是考研數(shù)學(xué)的一個(gè)考查內(nèi)容，而行列式又是線性代數(shù)中的一個(gè)重要組成部分，其在求解線性方程組等問(wèn)題上有較廣泛的應(yīng)用.因而掌握行列式的定義及計(jì)算就顯得尤為重要，行列式的計(jì)算特別是高階行列式的計(jì)算較為復(fù)雜，但又具有一定的規(guī)律性和技巧性.本文對(duì)高階行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行歸納分析，并給出相應(yīng)的計(jì)算方法，旨在為考生在計(jì)算行列式時(shí)提供一定的幫助.

關(guān)鍵詞：行列式;上（下）三角行列式;范德蒙德行列式;性質(zhì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）27-0035-03

行列式是線性代數(shù)中的基本內(nèi)容，最初源于對(duì)線性方程組的求解，是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和于17世紀(jì)先后提出.當(dāng)然行列式的應(yīng)用不僅在于求解方程組，在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等方面都有著重要的應(yīng)用.

對(duì)于一般的低階（二階或三階）行列式，可以直接利用對(duì)角線法則來(lái)計(jì)算，但對(duì)于高階（四階及以上）就沒(méi)有那么簡(jiǎn)單.考生因高階行列式的形式較為復(fù)雜，所以在計(jì)算時(shí)會(huì)感覺(jué)較為吃力.雖然高階行列式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，但是在計(jì)算時(shí)還是能夠根據(jù)其自身具有的特點(diǎn)來(lái)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，這樣會(huì)使其計(jì)算變得更加簡(jiǎn)單，起到事半功倍的效果.其實(shí)無(wú)論是低階還是高階行列式，其計(jì)算的中心思想就是“降階”和“化零”.本文在其中心思想下對(duì)高階行列式的計(jì)算進(jìn)行了歸納總結(jié)，這樣會(huì)使考生在面對(duì)高階行列式時(shí)能夠運(yùn)用巧妙的計(jì)算方法，從而提高行列式計(jì)算的能力.

1 行列式的定義

定義1 由n個(gè)自然數(shù)1，2，…，n組成的一個(gè)沒(méi)有重復(fù)的有序數(shù)組i1i2…in稱(chēng)為一個(gè)n級(jí)排列.n級(jí)排列一共有n！個(gè).

定義2 在一個(gè)n級(jí)排列中，如果一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)之前，就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)，用τ（i1i2…in）表示排列i1i2…in的逆序數(shù).

定義3 由n2個(gè)元素aij（i，j=1，2，…，n）組成的記號(hào)

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 李學(xué)銀，盛集明.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2018.

[3] 譚俊艷，鄒輝，呂學(xué)琴.高階行列式計(jì)算方法解析[J].教育教學(xué)論壇，2020（9）：262-265.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者簡(jiǎn)介：呂軍（1988.4-），男，湖北省鄂州人，碩士，講師，從事分形幾何與小波分析研究.

庫(kù)福立（1986.1-），男，湖北省麻城人，碩士，講師，從事調(diào)和分析與小波分析研究.

黃華（1981.9-），男，重慶市秀山人，碩士，副教授，從事模糊數(shù)學(xué)與智能計(jì)算研究.

基金項(xiàng)目：新疆維吾爾自治區(qū)教研教改項(xiàng)目（PT-2021012）;

新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)校級(jí)教改立項(xiàng)（XJJY2020072）;

新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)校級(jí)教改立項(xiàng)（2021ZHGG07）