董銳 席愛勇

摘要 圖形與幾何是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，從幾何學(xué)視角看，主要涉及直觀幾何（實(shí)驗(yàn)幾何）、度量幾何、推理幾何（演繹幾何）、運(yùn)動(dòng)幾何（變換幾何）、坐標(biāo)幾何（解析幾何）和投影幾何六種類型?！皥D形與幾何”課程的教學(xué)邏輯遵循從直觀走向部分、從一維走向三維、從猜想走向求證、從模糊走向精準(zhǔn)?！皥D形與幾何”課程的育人價(jià)值基于不同幾何類型的特征和它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進(jìn)行統(tǒng)整，有針對(duì)性采用多種不同育人方式不斷提升學(xué)生量感、幾何直觀、空間觀念和推理意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)? 鍵? 詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 圖形與幾何 幾何類型 教學(xué)邏輯 育人價(jià)值

引用格式 董銳，席愛勇.“圖形與幾何”課程內(nèi)容的幾何類型、教學(xué)邏輯和育人價(jià)值[J].教學(xué)與管理，2022（26）：37-40.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》于2022年4月正式頒布，這次修訂以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向確立課程目標(biāo)，遴選設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化課程內(nèi)容，明確學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程教學(xué)實(shí)施要求[1]?！皥D形與幾何”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，對(duì)其課程內(nèi)容進(jìn)行幾何類型分析，厘清教學(xué)邏輯和學(xué)科育人價(jià)值，讓新課標(biāo)修訂思想落地生根，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

一、“圖形與幾何”課程內(nèi)容的幾何類型

小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域課程內(nèi)容從幾何學(xué)視角看，主要涉及直觀幾何、度量幾何、推理幾何（演繹幾何）、運(yùn)動(dòng)幾何（變換幾何）、坐標(biāo)幾何（解析幾何）和投影幾何六種類型[2]。直觀幾何主要包括常見三維立體圖形、二維平面圖形、一維線和零維點(diǎn)的直觀認(rèn)識(shí)和特征關(guān)系把握;度量幾何主要包括長度（周長）、角度、面積、體積和容積的度量;推理幾何主要包括三角形基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)推理過程，常見圖形周長、面積和體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程等;運(yùn)動(dòng)幾何主要包括軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、圖形的放大和縮小等;坐標(biāo)幾何主要包括位置與方向、用數(shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置、用方向和距離確定物體位置等;投影幾何主要包括能說出立體圖形中的某一個(gè)面對(duì)應(yīng)的平面圖形名稱，能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體，對(duì)于簡(jiǎn)單物體能辨認(rèn)不同方向（前面、側(cè)面、上面）的形狀圖等。這六種幾何類型，學(xué)段之間內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)、螺旋上升、逐段遞進(jìn)。各學(xué)段具體課程內(nèi)容和對(duì)應(yīng)幾何類型見表1。

二、“圖形與幾何”課程內(nèi)容的教學(xué)邏輯

1.從整體走向部分

直觀幾何的內(nèi)容遵循從整體直觀感知走向部分精細(xì)分析的教學(xué)邏輯[3]。第一學(xué)段按照“體—面—線—點(diǎn)”的順序進(jìn)行整體直觀感知，首先安排長方體、正方體、圓柱和球的整體直觀感知;隨后安排長方形、正方形、平行四邊形、三角形和圓的整體直觀感知;接著安排角和線段的整體直觀感知，都是選用學(xué)生身邊熟悉的素材，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作，整體直觀感知立體圖形和平面圖形的特點(diǎn)以及這兩類圖形的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形的抽象過程，積累觀察物體的經(jīng)驗(yàn)，形成初步的空間觀念。第二、三學(xué)段則按照“點(diǎn)—線—面—體”的順序進(jìn)行特征、性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的部分精細(xì)分析。第二學(xué)段首先結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)線段、射線和直線的特征、性質(zhì)以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系;體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短的規(guī)律，知道兩點(diǎn)間距離;會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段;了解平面上兩條直線的關(guān)系。繼而結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角的各部分名稱，知道角的大小和邊的長短沒有關(guān)系;認(rèn)識(shí)三角形和四邊形，會(huì)根據(jù)圖形特征對(duì)三角形和四邊形進(jìn)行分類。第三學(xué)段通過列舉生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生概括圓的特點(diǎn)，利用圓規(guī)畫圓，加深對(duì)圓的理解;借助現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作等活動(dòng)，認(rèn)識(shí)長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的特征，溝通立體圖形之間的聯(lián)系，如圓柱和圓錐的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，以及平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系，增強(qiáng)空間想象能力。

2.從一維走向三維

度量幾何的內(nèi)容遵循從一維度量走向三維度量的教學(xué)邏輯，依次為教學(xué)長度（周長）的度量、角度的度量、面積的度量和體積（容積）的度量。第一學(xué)段在教學(xué)測(cè)量長度時(shí)，需要在統(tǒng)一長度單位的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)長度單位厘米和米，學(xué)會(huì)估測(cè)一些物體的長度，并進(jìn)行測(cè)量。第二學(xué)段認(rèn)識(shí)長度單位千米，知道分米、毫米;會(huì)用量角器量角;認(rèn)識(shí)面積單位平方厘米、平方分米、平方米，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算;能恰當(dāng)?shù)剡x擇單位估測(cè)一些物體的長度和面積，會(huì)進(jìn)行測(cè)量。第三學(xué)段通過實(shí)例了解體積（容積）的意義，知道體積（容積）的度量單位，能進(jìn)行單位之間的換算;體驗(yàn)不規(guī)則物體體積的測(cè)量方法。

3.從猜想走向求證

推理幾何的內(nèi)容一般遵循從大膽猜想走向小心求證的教學(xué)邏輯，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)并大膽提出猜想，運(yùn)用歸納、演繹、類比、推算等思考方法分析問題，小心求證，最終解決問題并得出結(jié)論。例如第二學(xué)段探索長方形、正方形的周長和面積的計(jì)算公式過程。第三學(xué)段“三角形任意兩邊之和大于第三邊”和“三角形內(nèi)角和是180°”等規(guī)律發(fā)現(xiàn)推理過程;平行四邊形、三角形、梯形的面積公式推導(dǎo)和計(jì)算過程;圓的周長和面積公式推導(dǎo)和計(jì)算過程;長方體、正方體、圓柱體的表面積、體積計(jì)算過程，以及圓錐體體積公式推導(dǎo)和計(jì)算過程等。

4.從模糊走向精準(zhǔn)

投影幾何、運(yùn)動(dòng)幾何和坐標(biāo)幾何的內(nèi)容都遵循從模糊描述走向精準(zhǔn)表達(dá)的教學(xué)邏輯。投影幾何從辨認(rèn)從一個(gè)物體的前、后、左、右觀察到的圖形，到辨認(rèn)從組合圖形的前面、上面和右面觀察到的圖形，再根據(jù)從組合圖形的前面、上面和右面觀察到的圖形想象拼擺出組合圖形等;運(yùn)動(dòng)幾何的內(nèi)容從結(jié)合實(shí)例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱現(xiàn)象，到能在方格紙上進(jìn)行簡(jiǎn)單圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上補(bǔ)全簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形，以及能利用方格紙按比例將簡(jiǎn)單圖形放大或縮小等;坐標(biāo)幾何從認(rèn)識(shí)位置（上下、前后、左右）與方向（東、南、西、北、東南、西南、東北、西北），到用數(shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置，以及用方向和距離確定物體位置等。

三、“圖形與幾何”課程內(nèi)容的育人價(jià)值

小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域課程內(nèi)容的育人價(jià)值在于基于不同幾何類型的特征和它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進(jìn)行統(tǒng)整，有針對(duì)性采用多種不同育人方式不斷提升學(xué)生量感、幾何直觀、空間觀念和推理意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.基于直觀幾何和投影幾何，在觀察操作實(shí)驗(yàn)中發(fā)展學(xué)生空間觀念和幾何直觀

直觀幾何主要通過觀察操作實(shí)驗(yàn)等方式認(rèn)識(shí)幾何圖形的特征、本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過程，認(rèn)識(shí)圖形的特征，感悟點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系，積累觀察和思考的經(jīng)驗(yàn)，逐步形成空間觀念。例如，第一學(xué)段安排讓學(xué)生通過找一找、分一分、摸一摸、搭一搭等觀察操作，整體直觀感知立體圖形和平面圖形的特征，直觀比較它們之間的異同。第三學(xué)段引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和是180°”“圓錐體積是和它等底等高圓柱體積的三分之一”等規(guī)律;引導(dǎo)學(xué)生從面、棱、頂點(diǎn)等視角進(jìn)行觀察分析、搭拼操作和展開實(shí)驗(yàn)來全面系統(tǒng)認(rèn)識(shí)長方體、正方體、圓柱體的特征，為后面學(xué)習(xí)長方體、正方體和圓柱體表面積與體積做好鋪墊。

小學(xué)階段，把投影幾何和直觀幾何有機(jī)融合，統(tǒng)整在“圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量”主題之中，主要學(xué)習(xí)平行投影，例如，第二學(xué)段要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體”。第三學(xué)段要求“對(duì)于簡(jiǎn)單物體，能辨認(rèn)不同方向（前面、側(cè)面、上面）的形狀圖”。引導(dǎo)學(xué)生在二維和三維的相互變換中促進(jìn)幾何思維發(fā)展，不斷提升空間觀念和幾何直觀。

2.基于度量幾何，在測(cè)量實(shí)踐中發(fā)展學(xué)生量感

度量幾何主要通過測(cè)量實(shí)踐的方式認(rèn)識(shí)幾何圖形的特征、本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，有利于學(xué)生借助度量工具進(jìn)行測(cè)量實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)圖形量化的精準(zhǔn)分析和表達(dá)。在小學(xué)階段，重在引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)度量工具的產(chǎn)生過程、度量單位的統(tǒng)一過程并感受統(tǒng)一度量單位的意義，借助度量工具進(jìn)行測(cè)量實(shí)踐獲取度量結(jié)果的過程，從而理解圖形長度、角度、周長、面積、體積。在推導(dǎo)一些常見圖形的周長、面積、體積計(jì)算方法的過程中，感悟數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感和推理意識(shí)。例如長度和長度單位、面積和面積單位、角度和角度單位、體積和體積單位都是通過測(cè)量實(shí)踐來認(rèn)識(shí)的，引導(dǎo)學(xué)生理解長方形和正方形的面積、長方體和正方體的體積計(jì)算公式推導(dǎo)過程都是基于度量視角展開的。

在小學(xué)階段，度量幾何的課程內(nèi)容沒有單列，而是統(tǒng)整在“圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量”與“綜合與實(shí)踐”之中。其中長度（周長）、角度、面積、體積和容積等與圖形的認(rèn)識(shí)關(guān)聯(lián)度較大，統(tǒng)整在“圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量”主題中;而人民幣、時(shí)間、質(zhì)量等度量與學(xué)生日常生活實(shí)踐關(guān)聯(lián)度較大，統(tǒng)整在“綜合與實(shí)踐”主題之中，讓學(xué)生更好地在用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)，發(fā)展其量感。

3.基于推理幾何，在歸納演繹中發(fā)展學(xué)生推理意識(shí)

推理幾何主要通過推理論證的方式認(rèn)識(shí)幾何圖形的特征、本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，有利于發(fā)展學(xué)生抓住不同圖形之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行直觀想象和推理論證的能力。例如基于公理“兩點(diǎn)之間線段最短”進(jìn)行演繹推理可以得到“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論;從特殊三角形入手，通過直觀操作引導(dǎo)學(xué)生歸納出三角形的內(nèi)角和;平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式推導(dǎo)過程都是通過與已經(jīng)學(xué)過的圖形建構(gòu)關(guān)聯(lián)，類比推理來實(shí)現(xiàn)的。

推理幾何在小學(xué)階段的課程內(nèi)容相對(duì)較少，沒有單獨(dú)列出，而是統(tǒng)整在“圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量”領(lǐng)域里，這樣可以更好與圖形的特征、本質(zhì)、性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的認(rèn)識(shí)相融合，整體發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4.基于運(yùn)動(dòng)幾何和坐標(biāo)幾何，在圖形變換和量化表達(dá)中發(fā)展學(xué)生空間觀念和幾何直觀

運(yùn)動(dòng)幾何主要通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似等運(yùn)動(dòng)變換方式認(rèn)識(shí)幾何圖形的特征、本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中圖形運(yùn)動(dòng)的抽象過程，認(rèn)識(shí)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的特征，體會(huì)運(yùn)動(dòng)前后圖形的變與不變，感受數(shù)學(xué)美，逐步形成空間觀念和幾何直觀。例如第二學(xué)段主要讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)生活中軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。第三學(xué)段則讓學(xué)生在方格紙上進(jìn)行簡(jiǎn)單圖形的平移和旋轉(zhuǎn);認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形和對(duì)稱軸，能在方格紙上補(bǔ)全簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形，感受圖形變化的特征，動(dòng)手操作，動(dòng)腦想象;畫出簡(jiǎn)單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形，以及旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，引導(dǎo)學(xué)生從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的角度欣賞自然界和生活中的圖案，借助方格紙?jiān)O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單圖案，感受數(shù)學(xué)的美;引導(dǎo)學(xué)生按給定比例將簡(jiǎn)單圖形放大或縮小，通過前后圖形的變化，感受比例尺的意義，加深對(duì)比、比例的理解。在教學(xué)中，教師可以組織運(yùn)動(dòng)幾何圖案欣賞、剪紙等綜合實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生了解圖案中的基本圖形及其變化規(guī)律，感知中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)空間觀念;還可以利用運(yùn)動(dòng)幾何知識(shí)制作數(shù)學(xué)板報(bào)等形式，呈現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)作成果，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

坐標(biāo)幾何是物體或圖形位置的量化表達(dá)，在小學(xué)主要有平面直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)兩種方式。平面直角坐標(biāo)用數(shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置，極坐標(biāo)用方向和距離確定物體位置。通過圖形位置的表達(dá)，幫助學(xué)生理解坐標(biāo)的意義;通過圖形運(yùn)動(dòng)的觀察和表達(dá)，體會(huì)坐標(biāo)表達(dá)的重要性，為未來學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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[3] 席愛勇，李賓.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的理論與實(shí)踐[M].南京：南京大學(xué)出版社，2018：45.

*該文為2021年度教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目“多元表征支持的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)實(shí)踐研究”（21YJA880070）、江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)自籌課題“多元表征支持下的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)實(shí)踐研究”（ B-b/2020/02/27）的研究成果