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溯源——利用點差法深究圓錐曲線中點弦的存在性問題

2022-05-30 08:41:03余隆蘭
數(shù)學教學通訊·高中版 2022年8期
關鍵詞:圓錐曲線

余隆蘭

[摘? 要] 文章通過類比、對比,利用點差法深度挖掘圓錐曲線中點弦的存在性問題.

[關鍵詞] 中點弦;圓錐曲線;點差法

圓錐曲線與中點弦有關的問題是高考的熱點之一,就橢圓而言,弦的中點必在橢圓內(nèi),那么橢圓內(nèi)的點是否都存在中點弦呢?對于雙曲線、拋物線這類“開放”的曲線是否有類似的結論?對此鮮有文章利用中學生容易掌握的方法給出一般結論及其證明,本文通過類比、對比,利用點差法深度挖掘圓錐曲線中點弦的存在性問題,幫助學生構建一個完備的知識體系,抓住問題的本質(zhì),理解題目設計的本源.

定理1:設橢圓C:+=1(a>b>0),點P(x,y)為平面內(nèi)異于原點的一個點,當且僅當點P在橢圓內(nèi)(如圖1所示的陰影區(qū)域,不含邊界),即+<1時,存在過點P的直線l,使得l交C于A,B兩點,且點P為AB的中點,直線l的方程為x=x或y-y=-(x-x).

證明:(1)必要性:①當點P(x,y)在橢圓C內(nèi),且點P在x軸上時,存在直線l滿足題意,直線l的方程為x=x.

②當點P(x,y)在橢圓C內(nèi),且點P不在x軸上時.設A(x,y),B(x,y),點P為AB的中點,則=x,=y.

因為A,B兩點都在橢圓C上,所以+=1,+=1.兩式相減得+=0,整理得=-= -,故k=-,其中x≠x,y≠0.所以直線l的方程為y-y=-(x-x).

因為點差法的使用前提是直線與曲線有兩個交點,所以需要檢驗直線l與橢圓C是否有兩個交點. 此處可以用聯(lián)立方程組來證明,但計算煩瑣,此時可以結合圖像來處理這個問題.

檢驗:因為直線l過橢圓C內(nèi)的點P,所以直線l與橢圓C必有兩個交點.

綜上所述,直線l的方程為x=x或y-y=-(x-x).

(2)充分性:設在橢圓C上存在兩點A(x,y),B(x,y),使得點P(x,y)為AB的中點,結合圖像知,點P在橢圓C內(nèi),滿足+<1.

事實上,當點P為原點時,存在無數(shù)條過P的直線l,使得l交橢圓C于A,B兩點,且點P為AB的中點.

若橢圓的方程為其他形式,也有類似的結論.

定理2:設雙曲線C:-=1(a>0,b>0),點P(x,y)為平面內(nèi)異于原點的一個點,當且僅當點P在如圖2所示的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界),即->1或-<0時,存在過點P的直線l,使得l交C于A,B兩點,且點P為AB的中點,直線l的方程為x=x或y-y=(x-x).

證明:(1)必要性:①當點P(x,y)在如圖2所示的陰影區(qū)域內(nèi),且在x軸上時,存在直線l滿足題意,直線l的方程為x=x.

②當點P(x,y)在如圖2所示的陰影區(qū)域內(nèi),且點P不在x軸上時,設點A(x,y),B(x,y),點P(x,y)為AB的中點,則=x,=y.

因為A,B兩點都在雙曲線C上,所以-=1,-=1. 兩式相減得-=0,整理得==,故k=,其中x≠x,y≠0. 所以直線l的方程為y-y=(x-x).

因為點差法的使用前提是直線與曲線有兩個交點,所以需要檢驗直線l與雙曲線C是否有兩個交點. 此處可以結合圖像處理這個問題:

當點P在陰影區(qū)域①或②內(nèi)時,因為->1,所以>,即

>,所以

k=

>,即k>或k< -.所以,當點P在陰影區(qū)域①或②內(nèi)時,結合圖像可知,直線l與雙曲線C的某一支必有兩個交點.

當點P在陰影區(qū)域③或④內(nèi)時,因為-<0,即

<,所以

k=

<,即-

所以,直線l與雙曲線C必有兩個交點.

綜上所述,直線l的方程為x=x或y-y=(x-x).

(2)充分性:假設在雙曲線上存在兩點A(x,y),B(x,y),使得點P(x,y)為AB的中點.

當A,B兩點在雙曲線C的同一支上時,顯然點P在陰影區(qū)域①或②內(nèi),滿足->1.

當A,B兩點分別在雙曲線C的左、右兩支上時,x≠x,-=1且-=1,兩式相減得-=0(?).

當y=-y時,x=-x,A,B兩點關于原點對稱,故點P在原點處.

當y≠-y時,x≠-x,y≠0,(?)式可整理成==,故k=.

因為A,B兩點分別在雙曲線C的左、右兩支上,所以

k=

<,即-<0.

綜上所述,->1或-<0.

事實上,當點P為原點時,存在無數(shù)條過P的直線l,使得l交雙曲線C于A,B兩點,且點P為AB的中點.

若雙曲線的方程為其他形式,也有類似的結論,讀者可以自行證明.

定理3:設拋物線C:y2=2px(p>0),點P(x,y)為平面內(nèi)一點,當且僅當點P在拋物線C內(nèi)(如圖3所示的陰影區(qū)域,不含邊界),即y<2px時,存在過點P的直線l,使得l交C于A,B兩點,且點P為AB的中點,直線l的方程為x=x或y-y=(x-x).

證明:(1)必要性:①當點P(x,y)在拋物線C內(nèi),且點P在x軸上時,存在直線l滿足題意,直線l的方程為x=x.

②當點P(x,y)在拋物線C內(nèi),且點P不在x軸上時,即y<2px,且y≠0. 設A(x,y),B(x,y),點P為AB的中點,則=x,=y.

因為A,B兩點都在拋物線C上,所以y=2px,y=2px. 兩式相減得y-y=2p(x-x),整理得==,故k=,其中x≠x,y≠0.

故直線l的方程為y-y=(x-x).

檢驗:因為直線l過拋物線C內(nèi)一點P,所以直線l與拋物線C必有兩個交點.

綜上所述,直線l的方程為x=x或y-y=(x-x).

(2)充分性:設在拋物線C上存在兩點A(x,y),B(x,y),使得點P(x,y)為AB的中點,結合圖像,顯然點P在拋物線C內(nèi),滿足y<2px.

利用點差法解決圓錐曲線中點弦的存在性問題,運算簡潔,結構緊湊,操作性強,但是它的使用前提是直線與曲線有兩個交點,這也是點差法的局限性. 此外還可以用聯(lián)立方程組法進行證明,但是計算煩瑣,學生不易掌握,可以作為課外自主探索.

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