楊通文

【摘? ?要】數(shù)學(xué)教學(xué)著力于幫助學(xué)生建立知識結(jié)構(gòu)，學(xué)會遷移性學(xué)習(xí)。教學(xué)“數(shù)一數(shù)有多少個三角形”習(xí)題時，教師在參考“教師用書”提供的解題思路基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生實際情況提出另一種解題思路，并對兩種思路進(jìn)行比較，得出教學(xué)應(yīng)“關(guān)注認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在對比中理解、關(guān)聯(lián)”“基于數(shù)學(xué)表達(dá)，在交流中理解、建構(gòu)”“通過問題解決，發(fā)展數(shù)學(xué)思考力”。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)性內(nèi)涵;遷移性學(xué)習(xí);小學(xué)數(shù)學(xué)

人教版教材四年級下冊第70頁，有這樣一道練習(xí)題（如圖1）。

本題是一道拓展題，本題的解決可以體現(xiàn)出不同的思維層次：（1）解決數(shù)三角形個數(shù)的問題;（2）溝通“數(shù)線段問題”與“數(shù)三角形問題”的內(nèi)在聯(lián)系;（3）建立解決“數(shù)三角形個數(shù)”問題的數(shù)學(xué)模型。

在本內(nèi)容的教學(xué)中，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，學(xué)會遷移性學(xué)習(xí)，要關(guān)注學(xué)生的前概念生長、發(fā)展，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)性的素材中體會知識間的關(guān)聯(lián)。

一、教學(xué)用書的解題思路

教材配套的《教師教學(xué)用書》中建議：教學(xué)本題時要在計數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生有序思考的能力，并呈現(xiàn)了兩種問題解決的方法。

方法1：先讓學(xué)生數(shù)出每幅圖中的三角形個數(shù)，然后列表格進(jìn)行整理，再仔細(xì)觀察表格，自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律。其規(guī)律為三角形內(nèi)每增加1條線段，三角形的總數(shù)隨之有規(guī)律地增加（如圖2）。此方法重在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學(xué)的規(guī)律表達(dá)。

方法2：結(jié)合圖形，有規(guī)律地一一列舉三角形的個數(shù)，并將所有單個三角形、組合三角形的個數(shù)全部有序地數(shù)出來，對應(yīng)分層記錄，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律為：所有三角形個數(shù)=單個三角形個數(shù)+2個單個三角形組成的三角形個數(shù)+3個單個三角形組成的三角形個數(shù)+……如④號圖形，單個三角形的個數(shù)是4，其三角形的總個數(shù)為4+3+2+1=10（個）。此方法重在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷不重復(fù)、不遺漏的數(shù)三角形個數(shù)的過程，發(fā)展其有序思維。

《教師教學(xué)用書》提供的兩種方法都能解決問題，體現(xiàn)了方法的多樣性、思維的靈活性。

二、另一解題思路

學(xué)習(xí)需要基于學(xué)習(xí)者的原有經(jīng)驗。我校學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相對薄弱，但正因如此，他們更需要教師幫助其理清知識結(jié)構(gòu)，學(xué)會遷移性學(xué)習(xí)。按照《教師教學(xué)用書》介紹的方法進(jìn)行教學(xué)，脫離我校學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，缺乏對引導(dǎo)學(xué)生“用聯(lián)系的眼光看待問題”“用結(jié)構(gòu)的思維思考問題”的關(guān)注。因此，筆者結(jié)合學(xué)情及對結(jié)構(gòu)性思維、遷移性學(xué)習(xí)的理解，提出另一種解題思路，讓學(xué)生在數(shù)、記三角形個數(shù)的探究過程中，既能提升有序思考的能力，又能自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)。

具體操作時，教師可先引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，回憶數(shù)線段條數(shù)的規(guī)律，將數(shù)線段條數(shù)的方法、經(jīng)驗“嫁接”到數(shù)三角形的個數(shù)上。再引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形個數(shù)與線段條數(shù)之間的關(guān)系，通過列表、觀察、思考、交流，發(fā)現(xiàn)屬于自己的數(shù)三角形個數(shù)的規(guī)律。具體過程如下。

第一步：數(shù)線段的條數(shù)。

引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)線段的方法及規(guī)律，以問題“三角形BC邊有有多少條線段”促進(jìn)學(xué)習(xí)真實發(fā)生（如圖3）。

學(xué)生再次復(fù)習(xí)、鞏固前概念，如將第四個三角形的BC邊看作一條線段，那么，以B為起點，有線段BE、BD、BF、BC（4條）;以E為起點，有線段ED、EF、EC（3條）;以D為起點，有線段DF、DC（2條）;以F為起點，有線段FC（1條），共有線段4+3+2+1=10（條）。繼而得出數(shù)線段條數(shù)之和的規(guī)律：線段總條數(shù)=線段上的總點數(shù)減1+線段上的總點數(shù)減2+……1。也可以記成：線段總條數(shù)=1+2+3+4+…（n-1）（n為總點數(shù)）。

第二步：找三角形的個數(shù)。

教師創(chuàng)設(shè)問題“你能根據(jù)數(shù)線段的規(guī)律找出三角形的個數(shù)嗎”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的個數(shù)變化規(guī)律與線段條數(shù)的變化規(guī)律之間具有一致性。以第二個三角形為例，在BC邊上，增加一個點D，就在BC邊上新增加2條線段（BD、DC），這兩條線段與不變的A點圍成了2個三角形（三角形ABD、三角形ADC），因此三角形總數(shù)也增加了2……由此得出數(shù)前圖所示的三角形個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)線段的問題加以解決。

以上過程體現(xiàn)了知識的結(jié)構(gòu)性，提升了學(xué)生進(jìn)行遷移性學(xué)習(xí)的能力。

三、兩種思路的比較與思考

為了深入探究數(shù)三角形個數(shù)的問題，筆者將自己的解題思路與配套的《教師教學(xué)用書》解題思路進(jìn)行教學(xué)對比，以改進(jìn)教學(xué)。

（一）關(guān)注認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在對比中理解、關(guān)聯(lián)

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)資源的碎片化不利于學(xué)生的理解與記憶。教師不能簡單地忽視學(xué)生的認(rèn)知起點，忽視學(xué)生原有的知識經(jīng)驗。學(xué)習(xí)資源的結(jié)構(gòu)化設(shè)計與呈現(xiàn)，有利于學(xué)生對知識進(jìn)行感悟、觀察、理解、交流、歸納，更有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)模型構(gòu)建。筆者引領(lǐng)學(xué)生將從數(shù)線段的條數(shù)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用于數(shù)三角形的個數(shù)中，發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)循序漸進(jìn)、螺旋上升等特點，同時也讓學(xué)生在具體的問題解決中感悟知識能力遷移的魅力;體會數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗的一致性，感受學(xué)數(shù)學(xué)的好玩、有趣。

當(dāng)然，不同教學(xué)思路之間也有相似之處。如無論用怎樣的思路進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生都需運用結(jié)構(gòu)化的表格梳理相關(guān)信息，借助數(shù)形結(jié)合的方式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用“數(shù)或式”表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。無論用怎樣的思路進(jìn)行教學(xué)都重視讓學(xué)生在觀察、交流、思考的過程中自主發(fā)現(xiàn)“數(shù)三角形個數(shù)”問題中的規(guī)律。教學(xué)過程始終凸顯數(shù)與形的關(guān)系，讓學(xué)生從不同視角思考各個量與式之間的關(guān)聯(lián)，感悟“變中不變”的基本思想。

（二）基于數(shù)學(xué)表達(dá)，在交流中理解、建構(gòu)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：“數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達(dá)方式。通過數(shù)學(xué)的語言，可以簡約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式;能夠在現(xiàn)實生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問題。”以上兩種教學(xué)思路都做到了將觀察“形”、用“數(shù)或式”表示、學(xué)生表達(dá)三者有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生基于個體的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學(xué)語言交流自己的“再認(rèn)識”，用[1+2+3+4+…（n-1）（n為總點數(shù)）]表達(dá)規(guī)律的一般性，用數(shù)學(xué)的方式精準(zhǔn)地描述三角形個數(shù)。

（三）通過問題解決，發(fā)展數(shù)學(xué)思想、能力

數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅關(guān)注問題的解決，更要關(guān)注在問題解決的過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成、數(shù)學(xué)方法的提升、基本活動經(jīng)驗的積累和運用。案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生有序找線段的條數(shù)、有序數(shù)三角形的個數(shù)，讓學(xué)生在觀察“形”、用“數(shù)或式”表示以及表達(dá)的過程中學(xué)會觀察、學(xué)會思考、學(xué)會表達(dá)，以問題解決為載體，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律為核心，培育學(xué)生的模型意識。希望有一天學(xué)生走出校門，雖然遺忘了數(shù)學(xué)知識，但仍能用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、基本經(jīng)驗去思考問題、理解世界、表達(dá)認(rèn)知。

（貴州省銅仁市印江縣新寨鎮(zhèn)中心完全小學(xué)555213）