張永剛 趙婧一 常青

摘? 要：以項目學習的方式開展數(shù)學探究活動——用向量法研究三角形的性質(zhì)，以學術任務分解為問題驅(qū)動，以項目評價指標為調(diào)控指引，以形成數(shù)學“定理”為項目作品. 項目實施分三個階段，對應課上三個課時及課下的充分探究. 強調(diào)展示交流，智慧分享，完善作品，形成項目報告. 并積累探究經(jīng)驗，體驗數(shù)學之“美”.

關鍵詞：項目學習;數(shù)學探究活動;向量法;三角形;數(shù)學美

三角形是幾何中最簡單的封閉圖形，也是最重要的幾何圖形之一. 三角形的性質(zhì)非常豐富，是聯(lián)系各種幾何圖形的紐帶，也是學習幾何知識、培養(yǎng)邏輯推理能力、發(fā)展理性思維的最佳載體之一. 以三角形為研究對象，用向量法對性質(zhì)進行再研究，尤其是將研究對象聚焦在對三角形的中線與重心、角平分線與內(nèi)心、中垂線與外心、高與垂心等問題上，既能使學生在已有認識的基礎上更加系統(tǒng)地掌握三角形的性質(zhì)，又能讓學生充分體驗向量工具的強大優(yōu)勢，形成主動借助向量工具解決問題的意識，加深學生理解向量法在研究幾何問題中的作用，積累“研究一個幾何對象”的活動經(jīng)驗，進一步明確研究一個幾何圖形的內(nèi)容、路徑和方法等. 在對三角形性質(zhì)的研究中，使學生對數(shù)學探究活動形成較為完善的體驗，發(fā)展自主學習能力，提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，積累探究經(jīng)驗.

一、項目設計與實施

1. 項目內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容.

用向量法表示和證明平面幾何中已學的三角形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)和證明三角形的其他性質(zhì)，感受數(shù)學結論在結構上的“美”.

建議使用三個課時.

課前：布置任務，學生閱讀教材，查閱文獻，獨立探究，教師在匯總學生的問題后根據(jù)學生情況與學生共同確定項目研究課題.

第1課時：開題報告，通過示范探究活動積累探究經(jīng)驗，同時提煉用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念，確定研究對象、研究視角和研究路徑. 課下學生先自主探索，再小組合作探索.

第2課時：中期匯報，分組展示發(fā)現(xiàn)、提出問題的脈絡，分享交流開拓思路，完善論證過程，開展項目中期評價. 課下學生進一步探索，完善、修正探究成果.

第3課時：全面展示項目產(chǎn)品，完成研究報告. 課后作業(yè)——完善論文，形成項目作品.

（2）內(nèi)容解析.

用向量法研究三角形的性質(zhì)，研究方法是向量法，研究對象是三角形的性質(zhì).

三角形的性質(zhì)根據(jù)三角形的要素與相關要素間的關系可概述為五個層次.

第一層次：定義.

第二層次：要素間的相互關系. 例如，邊角的相等關系——等邊對等角、等角對等邊;邊角的不等關系——大邊對大角、大角對大邊;三邊的定性關系——兩邊之和大于第三邊;內(nèi)角的定量關系——內(nèi)角和等于180°;等等.

第三層次：要素、相關要素間的相互關系. 例如，外角與內(nèi)角的關系——外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和;外角之間的關系——外角之和為360°;中線的位置關系——三條中線交于一點（重心）;高的位置關系——三條高交于一點（垂心）;角平分線的位置關系——三條角平分線交于一點（內(nèi)心）;三邊的垂直平分線的位置關系——三邊的垂直平分線交于一點（外心）;三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線交于一點（旁心）;三邊中點連線與三邊的位置關系、大小關系——兩邊中點連線平行于第三邊且等于第三邊的一半;等等.

第四層次：相關要素的性質(zhì)研究. 例如，重心的性質(zhì)有：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1;重心和三角形三個頂點的連線所成的三個三角形面積相等;平面內(nèi)任意一點到三角形三個頂點距離的平方和中，重心使其取最小值;等等. 運用坐標法和向量法，還可以將重心與三角形三個頂點之間的關系進行量化表達.

第五層次：相關要素性質(zhì)間的聯(lián)系，與其他圖形之間的聯(lián)系. 例如，三角形的“五心”之間的關系;三角形與其他幾何圖形之間的關系. 例如，三角形與直線、四邊形、圓等結合，會有怎樣的性質(zhì)？等等.

用向量法進行研究，可以用向量表示要素之間的關系，借助向量的線性運算研究與方向有關的問題. 例如，平行、點分線段成比例等. 借助向量的數(shù)量積運算研究與度量有關的問題. 例如，長度、夾角、垂直等. 嘗試轉(zhuǎn)變基底，簡化運算，化簡結論后再對其進行歸納、演繹，不斷提出新的問題，這是用向量研究幾何問題形成代數(shù)發(fā)現(xiàn)的一般觀念.

用向量法對三角形性質(zhì)進行再研究，重在形成研究一個幾何圖形的一般觀念. 先對三角形性質(zhì)進行分層梳理，形成探究發(fā)現(xiàn)的外在目標，再借助不同向量運算針對解決不同的幾何問題，開展探索嘗試，形成發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的內(nèi)在動力，兩者相連，就構成了發(fā)展網(wǎng)絡.（網(wǎng)絡圖見本文對應線上資源.）

數(shù)學探究的研究起點是數(shù)學問題，所以整個探究就是從網(wǎng)絡圖中的問題“閉合回路”，即[AB+BC+][CA=0]出發(fā)，應用類比、特殊化、一般化等方法，不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程.

數(shù)學探究是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結論.

最后嘗試從數(shù)學的角度刻畫審美的共性，主要包括簡潔、對稱、周期、和諧等. 學生在感受美的同時記憶和掌握具有“美”感的結論. 學會審美不僅可以陶冶情操，而且能夠改善思維品質(zhì).

綜上所述，確定本單元的教學重點是：聚焦用向量法對三角形性質(zhì)的探究，系統(tǒng)掌握三角形的性質(zhì)，積累探究經(jīng)驗.

2. 項目目標及目標解析

（1）目標.

① 經(jīng)歷用向量法研究三角形性質(zhì)的過程，會用向量符號表達三角形的幾何性質(zhì)，掌握三角形的性質(zhì)，理解向量法在研究幾何問題中的作用.

② 通過開展用向量法研究三角形性質(zhì)的探究活動，了解探究，經(jīng)歷提出、發(fā)現(xiàn)、證明或反駁的過程，積累探究經(jīng)驗.

③ 通過對數(shù)學探究活動完整的體驗，提升學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)，感受數(shù)學“美”.

（2）目標解析.

① 能分層、有序梳理三角形的性質(zhì)，能用向量符號表達已知的三角形性質(zhì)，通過自主實驗與合作交流找出三角形的一些性質(zhì)，并用向量法合理表達;能借助向量運算對三角形性質(zhì)進行論證，形成美觀的數(shù)學結論;選擇不同的基底對性質(zhì)進行論證，能舉例說明向量法與平面幾何綜合法在論證和表達形式上的特點.

② 能通過實驗探究，嘗試各種向量的運算，形成具有數(shù)學“美”的結論，并對運算結果進行幾何解釋，或?qū)Y果產(chǎn)生疑問并且能夠借助已有知識對問題進行論證或反駁;面臨逐漸深入的探究，能夠大膽合理猜想、主動駁斥論證、探討解決方案，直至提出新的問題，形成探索發(fā)現(xiàn)的一般路徑.

③ 體驗向量法在探索和證明幾何圖形性質(zhì)中的作用，得到一些三角形的性質(zhì)，整理成具有數(shù)學“美”的結論，并撰寫和交流小論文（即項目產(chǎn)品），能在已有成果的基礎上，通過類比、一般化等方法發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題;會有邏輯地表達和交流，提升數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).

3. 項目問題診斷分析

在平面幾何中，學生已研究過三角形并掌握了三角形的一些基本性質(zhì).

本項目的教學難點之一是如何開展數(shù)學探究活動. 為破解此難點，教師要加強設計和實施指導. 首先，要指導學生在課前進行選題，讓學生打開思路，提出問題. 在第一節(jié)課上，給予學生示范引導——怎樣用向量法證明三角形的性質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)值得研究的問題. 其次，要指導學生的推導過程，鼓勵學生克服困難堅持下去. 組織項目中期交流，激發(fā)思維，促進更深的探索研究. 最后，組織結項匯報，梳理思路，整理成果，完成數(shù)學探究.

本項目的教學難點之二是如何發(fā)現(xiàn)系列的有價值的數(shù)學結論. 學生對用平面向量解決幾何問題具備了一定的方法和能力，但對向量法在研究幾何問題中的優(yōu)勢并未全面、系統(tǒng)體驗與掌握. 他們能夠探索出三角形的一些性質(zhì)，但還不能用向量法有序、有目的地探究發(fā)現(xiàn). 為破解此難點，要給予學生有效的指導：針對學生無序的、感性的探索，引導學生先分層梳理三角形的性質(zhì)，再按照向量運算的特點進行整理，啟發(fā)學生找到用向量法展開探究的幾條思路，即向量的線性運算、向量的數(shù)量積、兩種運算的結合. 探究基礎是已有的三角形的性質(zhì)，用聯(lián)系的觀點看待它們，用向量方法對它們進行運算，就是發(fā)現(xiàn)之路.

4. 項目支持條件分析

本單元在探索初始階段，可以直接通過繪制圖形，合理轉(zhuǎn)化向量，探索和發(fā)現(xiàn)結論. 隨著探究的深入，讓學生自主借助GeoGebra、幾何畫板等軟件改變?nèi)切涡螤詈拖蛄糠较虻?，直觀驗證結論的適用范圍，或提出新的猜想.

5. 教學方式設計

在教師的帶領下，學生利用項目學習的方式進行探究活動.

6. 項目研究規(guī)劃

以“讓我發(fā)現(xiàn)數(shù)學‘美”為項目的驅(qū)動問題，讓學生體驗數(shù)學中的簡潔美、對稱美、和諧美，提升思維品質(zhì). 以三角形為載體、向量法為方法逐步展開數(shù)學探究活動，研究三角形的性質(zhì). 學生假定自己是一個從事數(shù)學研究的科研人員，從學術真實的數(shù)學情境入手，通過實驗或借助信息技術提出（發(fā)現(xiàn)）數(shù)學猜想，分小組合作探究、論證反駁，形成具有一定推廣價值的數(shù)學結論，最終形成項目產(chǎn)品——自己命名的“定理”，并對自己發(fā)現(xiàn)的數(shù)學“定理”嘗試從數(shù)學的角度刻畫審美的共性. 根據(jù)每個階段形成的階段性項目產(chǎn)品，開展現(xiàn)場質(zhì)性評價. 最終在結題活動中展示項目產(chǎn)品，撰寫論文，形成項目作品，教師分別給出項目產(chǎn)品評價.

7. 項目設計與實施過程

課前：布置任務，確定項目研究課題.

說明：因為是第一次做數(shù)學探究，所以課上、課下的活動都是教師指導學生去做的.

引導語：（項目研究背景）三角形是幾何中最簡單的封閉圖形，也是最重要的幾何圖形之一. 三角形的性質(zhì)非常豐富，是聯(lián)系各種幾何圖形的紐帶，現(xiàn)在就讓我們帶上向量這一神奇的工具，展開我們奇妙的探究之旅吧！

任務1：閱讀人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）中“用向量法研究三角形的性質(zhì)”的內(nèi)容，梳理你對“數(shù)學探究”的認識和理解.

師生活動：學生自主完成閱讀，交流對“數(shù)學探究”的認識和理解. 教師給出評價.

預設答案：數(shù)學探究活動是從一個數(shù)學自身的問題出發(fā)，探索其解決辦法，并進一步發(fā)現(xiàn)和提出有意義的問題，猜想合理的數(shù)學結論，提出解決問題的思路和方案，是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動. 問題是開放的，成果是多樣的.

【設計意圖】闡述課題研究的必要性，激發(fā)學生的研究興趣，讓學生初步了解數(shù)學探究活動.

任務2：試以學習小組為單位，先獨立思考，之后與小組內(nèi)成員共同完成如下“項目作業(yè)”.

（1）回顧初中研究三角形的過程，從研究思路、內(nèi)容、方法等角度進行梳理，并列出已經(jīng)得到的結論.

（2）用向量法對已有結論進行證明，總結用向量法處理幾何問題的基本程序，并與平面幾何中的推理過程進行比較，闡述各自特點.

（3）閱讀教材中“探究三角形重心的性質(zhì)”的示范. 談談示范中是如何發(fā)現(xiàn)和提出問題的？如何探索與論證的？仿照示例提出項目實施規(guī)劃.

預設師生活動：學生分小組按照要求完成項目作業(yè)，教師批閱并評價.

預設答案：（1）學生需要從研究一個幾何圖形的“基本套路”出發(fā)，有結構、有系統(tǒng)地進行梳理.

① 研究思路.

確定研究對象—發(fā)現(xiàn)性質(zhì)—證明性質(zhì)—研究特例（判定、性質(zhì)）.

② 研究內(nèi)容.

三角形組成要素（邊、角）、相關要素（外角、高、中線、角平分線）之間的位置或數(shù)量關系. 例如，角與角的關系（內(nèi)角和為180°）;邊與角的關系（大邊對大角、等角對等邊）;邊與邊的關系（兩邊之和大于第三邊）;中線與邊的關系（中線過一邊中點）;中線與中線的關系（三條中線交于一點）.

③ 研究方法.

通過對若干具體三角形的度量、觀察、實驗，從中發(fā)現(xiàn)共性，得出猜想，再通過邏輯推理證明得到有關性質(zhì).

從三角形的性質(zhì)角度來看. 一方面，特殊要素一般化. 例如，銳角三角形中三條垂線交于一點，那么在一般三角形中還成立嗎？另一方面，一般要素特殊化. 例如，余弦定理中的已知角為直角，則可將余弦定理轉(zhuǎn)化為勾股定理.

從向量法角度來看. 一方面，是運算方法推進研究，按照線性運算、數(shù)量積運算及其聯(lián)合的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題;另一方面，是運算對象推進研究，即對哪些元素進行運算發(fā)現(xiàn)和提出問題.

（2）對比向量法與平面幾何綜合法，實際上兩者沒有絕對的優(yōu)劣，但向量是研究幾何的工具，是將幾何問題代數(shù)化，用計算發(fā)現(xiàn)、解決問題，因此向量工具的使用本身就是一種進步.

（3）示例中首先是發(fā)現(xiàn)、提出問題：通過“重心”在物理與幾何中的重要性，三角形兩條中線一定會交于一點，第三條中線是否過這個點呢？雖然我們早對其有所共識，但從嚴謹性的角度來看，是需要證明的. 引發(fā)對其性質(zhì)探究的必要性. 然后，用向量法探索、論證：用向量法“三步曲”，證明“三角形的三條中線交于一點”. 最后，反思探究過程、類比發(fā)現(xiàn)新命題. 通過對探究過程的反思，觀察過程中得到的數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)“三角形的重心是中線的三等分點”這個新的結論.

實際教學情況：學生對三角形的性質(zhì)缺乏整體認知，容易割裂性質(zhì)之間的聯(lián)系，表述性質(zhì)雜亂無章，教師鼓勵學生用聯(lián)系的觀點表述性質(zhì)，引導學生按照三角形要素及其關系進行分層梳理.

【設計意圖】學生提前形成自我認知，培養(yǎng)學生的自主學習能力，為后期逐漸深入研究做準備，提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

第1課時：示范研究，啟動項目.

引導語：（項目驅(qū)動任務）數(shù)學是唯美的，數(shù)學美大致包含簡潔美、對稱美、周期美、和諧美等. 龐加萊認為，感覺到數(shù)學的美，感覺到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學家都清楚的美的感覺. 讓我們也做一次數(shù)學家，發(fā)現(xiàn)美、體驗美、感受美！

環(huán)節(jié)1：啟動項目，布置任務.

項目驅(qū)動問題：以三角形為研究對象，用向量法對其性質(zhì)進行再研究，尤其是將研究對象聚焦在對三角形的中線與重心、高線與垂心、角平分線與內(nèi)心、中垂線與外心等問題上，你還能發(fā)現(xiàn)什么結論？你的結論符合數(shù)學的審美標準嗎？證明你的發(fā)現(xiàn)，并像數(shù)學家那樣給它“命名”吧！

項目實施要求與建議：（1）在獨立思考的基礎上，小組集體討論探究方案，確定研究思路. 小組成員各自展開獨立探究，并以專題作業(yè)的形式撰寫研究報告. 小組內(nèi)進行交流討論，完善研究成果，并形成一份小組研究報告或項目作品論文，在全班進行成果交流、評價.

（2）充分利用信息技術手段（如GeoGebra軟件），可能會有更加豐富的成果.

（3）為你們收獲的“定理”命名，注意留存過程性記錄，重要活動與討論都要有文字與圖片記錄. 每組成員原則上不超過六人.

（4）采用統(tǒng)一規(guī)范的符號和圖形，以便交流探討.

規(guī)范表示：如圖1，在[△ABC]中，點[D，E，F(xiàn)]分別是邊[BC，CA，AB]的中點，點[G]是重心. 為了符號表示的一致性，我們習慣在[△ABC]中，用點[G]表示重心，點I表示內(nèi)心，點O表示外心，點H表示垂心.

【設計意圖】以終為始，用驅(qū)動問題激發(fā)學生開展數(shù)學探究的欲望，給出項目實施的要求、規(guī)范使用的符號及圖形語言，明確探究任務和最后的成果，讓學生對項目有整體的認知.

環(huán)節(jié)2：示范探究，指導方法.

探究任務：教材在證明三角形三條中線交于一點的同時，“順便”發(fā)現(xiàn)了重心的一個性質(zhì)——重心到頂點的距離與重心到其對邊中點的距離之比為2∶1. 顯然，中線與重心的性質(zhì)還沒有被完全挖掘，試沿著這條線索繼續(xù)探索屬于我們自己的“定理”吧！

問題1：面積是三角形的一個重要性質(zhì)，結合圖1，你能“順便”得到與面積有關的結論嗎？

師生活動：教師指導學生觀察教材中關于三角形中線交于一點的證明過程，引導學生嘗試發(fā)現(xiàn)結論，并給出證明. 讓學生感受數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)過程.

預設答案：（1）發(fā)現(xiàn)面積關系.

如圖1，每條中線等分三角形的面積，當三條中線交于一點后必有：[S△AFG=S△BFG=S△BDG=S△CDG=S△CEG=][S△AEG][=16S△ABC，] 于是得到以下結論.

結論1：三角形重心與頂點的連線將三角形分為面積相等的三部分，即[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.]

（2）發(fā)現(xiàn)中線的向量表達式.

結論2：[AD=12AB+12AC.]

把中線向量回歸到邊所在的向量：[AD=12AB+][12AC， BE=12BA+12BC， CF=12CA+12CB，] 將三個式子疊加，得到以下結論.

結論3：[AD+BE+CF=0.]

（3）重心的向量表達式.

在結論3兩邊同乘[-23，] 就可以得到結論4.

結論4：點G為△ABC的重心的充要條件是[GA+][GB+GC=0.]

證明：如圖1，可知[2GD=GB+GC.]

由[GA+GB+GC=0，] 得[-GA=GB+GC.]

所以[-GA=2GD.]

所以點G在中線AD上.

同理可得，點G在中線[BE，CF]上.

故點G為△ABC的重心.

在結論3兩邊同乘[13]，就可以得到結論5.

結論5：三角形與它的中位線三角形（其各邊中點連線圍成的三角形）共重心. 如圖2，即有[GD+GE+][GF=0.]

（4）把點G一般化.

如圖3，如果把重心[G]換為任意一點[P]，則有[GA=]

[PA-PG， GB=PB-PG， GC=PC-PG.] 代入結論4，

得[0=PA+PB+PC-3PG.]

結論6：對于平面內(nèi)任意一點P，關于△ABC有[PA+PB+PC=3PG].

特別地，當點[P]與重心[G]重合時[PG=0，] 此時[GA+GB+GC=0.]

以點P為坐標原點建立平面直角坐標系，結論6也可以看作重心的坐標表示[GxA+xB+xC3， yA+yB+yC3.]

追問：上述探究過程中用到了哪些研究方法？從三角形和向量兩個角度進行分析.

師生活動：學生嘗試總結，教師予以補充、完善.

從三角形的角度來看，以上所有結論都是圍繞重心進行探究的，結論1與面積相關，結論2至結論5是與重心有關的不同線段組成的向量表達式，結論6是通過重心一般化得到的.

從向量法的角度來看，結論2始于向量的加法法則，結論3至結論5是結合三角形中線段的特點進行的數(shù)乘運算，結論6利用了向量中的閉合回路.

實際教學情況：部分學生在探究過程中喜歡利用傳統(tǒng)幾何方法推理論證，不愿意主動應用向量法，不會自覺應用向量的不同運算方法發(fā)現(xiàn)新的關系. 教師可以以這一系列發(fā)現(xiàn)為契機，進一步闡述向量作為工具的優(yōu)越性，即向量具備運算與推理兩方面的優(yōu)勢.

【設計意圖】激發(fā)學生的探究興趣，并讓學生初步了解如何依據(jù)研究對象（三角形）的特點，利用工具（向量）進行探索發(fā)現(xiàn)，為后續(xù)自主探究奠基.

問題2：由問題1可知，發(fā)現(xiàn)“定理”似乎并不是一件難事. 反思發(fā)現(xiàn)與論證的過程，與平時解題是類似的. 如果把解題比作“配鑰匙”，數(shù)學探究活動就是要解密整個鎖的構造原理，就是在“造鎖”. 那么，究竟是什么向量關系把三角形的性質(zhì)都“鎖”起來了呢？三角形中最基本的向量關系是什么？在上述探究過程中，哪些地方用到了這個關系？

預設答案：三角形中最基本的向量關系為閉合回路[AB+BC+CA=0.] 證明三角形中線交于一點依據(jù)的就是這個閉合回路，因此它是獲得以上系列結論的基礎.

實際教學情況：學生基本能給出準確回答，但是在提出此問題前他們未感受到基本回路的重要性.

【設計意圖】厘清探究的起點，為學生搭建探究支架，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).

環(huán)節(jié)3：梳理方法，形成方案.

任務要求：梳理結論的發(fā)現(xiàn)過程，把發(fā)現(xiàn)問題的脈絡繪制成思維導圖，歸納研究內(nèi)容、視角、方法和路徑，提煉用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念.

師生活動：學生自主梳理，之后展示發(fā)現(xiàn)問題的脈絡，提煉用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念.

預設答案：（1）從研究對象及方法來看：三角形的豐富性質(zhì)蘊含在邊與角、頂點與邊、特殊的點與邊、點與線、線與線的關系中，于是我們把主要研究對象確定為上述幾何量. 通過觀察它們之間的聯(lián)系，采用一般化、特殊化、類比等方法發(fā)現(xiàn)值得研究的問題.

教材中論證了勾股定理，我們可以把三角形的形狀一般化探究出余弦定理;教材論證了三條中線交于一點即重心，我們可以類比研究角平分線與內(nèi)心，中垂線與外心. 因此，我們把主要研究路徑確定為“類比、特殊—一般—特殊”.

（2）從研究工具來看：向量是實現(xiàn)數(shù)形結合研究幾何問題的重要工具，三角形的許多性質(zhì)都能轉(zhuǎn)化成向量的運算加以論證，三角形的性質(zhì)可以借助向量運算不斷拓展.

在證明三角形中線交于一點時，用向量法研究三角形的幾何性質(zhì)，嘗試合理選擇基底，可以使運算更加簡潔. 在進一步探索發(fā)現(xiàn)如上結論1到結論6的過程中，了解了用向量的線性運算通過計算發(fā)現(xiàn)結論的途徑，知道了探究的起點——三角形閉合回路[AB+BC+][CA=0.]

問題3：我們發(fā)現(xiàn)用向量研究平面幾何的核心是運算，之前的探究都集中在線性運算，能否用數(shù)量積運算進行探索發(fā)現(xiàn)呢？將兩種運算聯(lián)系起來還能發(fā)現(xiàn)其他結論嗎？

預設答案：（1）用數(shù)量積計算中線模長.

如圖2，從結論2出發(fā)，進行數(shù)量積運算. 由[AD=][12AB+AC，] 得[AD2=14AB+AC2=14AB2+AC2+4AD2-CB22.]

化簡得中線長公式.

結論7：[AD2=12AB2+12AC2-14CB2.]

上述用數(shù)量積的算法比較常見，如果放在平行四邊形中不難得到以下結論.

結論8：平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和.

（2）將點D的位置一般化.

如果將中線長問題一般化，使點D仍然在邊BC上，但不一定是中點.

如圖4，設[CD=λCB，] 借助三角閉合回路拆分向量，得[AD-AC=λAB-AC，] 即有三點共線的充要條件.

結論9：[AD=λAB+1-λAC.]

平方后用余弦定理換掉數(shù)量積，得到如下結論.

結論10：[AD2=λAB2+1-λAC2-λ1-λCB2.]

特別地，當[λ=12]時，為中線長公式.

追問：你能從教材中找到上述探究推進思路的身影嗎？談一談你對向量法研究幾何問題的一般套路的理解.

預設答案：（1）教材第32頁的例9，定比分點公式的探究體現(xiàn)了從特殊到一般的研究路徑.

（2）教材中余弦定理與正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程借助了向量的數(shù)量積運算.

教師講解：數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結論. 數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容. 因此，數(shù)學探究的基本程序及對應行為如圖5所示.

實際教學情況：學生初涉數(shù)學探究活動，僅憑教師闡述《普通高中課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）給出的數(shù)學探究活動的概念很難真正理解其內(nèi)涵，這就需要教師在第1課時后的課下活動中，通過不斷指導學生認為的“探究成果”，解釋何為真正的數(shù)學探究活動，即我們究竟要做什么. 這樣更能促進學生理解探究的真諦.

【設計意圖】在梳理、總結環(huán)節(jié)2中研究內(nèi)容、思路和方法的基礎上，又補充了利用向量的數(shù)量積進行探究的實例，理解用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念，掌握探究，并讓學生了解數(shù)學探究活動的本質(zhì)，積累探究經(jīng)驗.

環(huán)節(jié)4：布置作業(yè)，自主探究.

項目作業(yè)：延續(xù)上述探究過程，還能提出哪些有價值的問題？在自主探究的基礎上，以小組為單位完成中期報告. 注意梳理問題發(fā)現(xiàn)的脈絡，完善思維導圖.

要求：在兩周之內(nèi)完成，期間可以求助教師，也要經(jīng)常開展小組內(nèi)的討論交流.

師生活動：學生課下完成. 教師監(jiān)督、指導，并批閱學生的探究成果，梳理出中期報告的基本思路.

【設計意圖】給學生充足的時間，讓學生進行深度探究，在教師的指導下開展真正的數(shù)學探究.

實際教學情況：（1）大多數(shù)學生容易把數(shù)學探究活動誤認為習題課，實際操作中可能會將以往在解題中發(fā)現(xiàn)的結論，或直接查閱資料獲得的結論，逐一羅列，再加以證明. 教師應及時追問這些結論是如何被發(fā)現(xiàn)的（習題是如何被設計出來的），引導學生利用已有結論按照三角形性質(zhì)的五個層次及向量法的“三步曲”展開探究.

（2）部分學生在探究過程中會利用查閱資料得到的一些結論，“執(zhí)果索因”探索來源，這樣容易造成各個結論之間彼此孤立，導致探究成果雜亂無章. 教師可以引導學生繪制思維導圖，借助邏輯鏈條有序串聯(lián)，進一步厘清探究發(fā)現(xiàn)的路徑，雙向遞進.

（3）部分學生在探究過程中不會自覺地應用向量的不同運算方法發(fā)現(xiàn)新的關系，尤其對數(shù)量積運算運用的意識薄弱. 教師可以引導學生體驗兩類向量運算的探究方向，進行不定向探索，對所得結論進行化簡，在運算過程中提取有價值的向量表達式. 同時，進一步指出向量具備運算與推理兩方面的優(yōu)勢，強化樹立向量工具的優(yōu)越性.

（4）教師指導學生按照不同的探究路徑梳理自己的探究成果，不斷強化學生對數(shù)學探究活動的認知，針對學生在探究過程中遇到的問題與障礙，篩選、收集示范展示案例，按照一定的邏輯關系，對學生探究獲得的結論進行排序，指導學生為第2課時的展示交流做好準備. 具體內(nèi)容見第2課時的展示.

第2課時：項目研究中期交流.

環(huán)節(jié)1：展示成果，啟迪思維.

具體任務：大家經(jīng)過前期的探究各自收獲了一些成果，也遇到了一些困難，深切感受到提出一個有價值的問題比論證一個已有的結論困難得多. 因此，我們把本次中期匯報的重點確定為展示并交流“發(fā)現(xiàn)和提出問題的脈絡”.

師生活動：教師在課前對學生的成果進行整理，課上引導學生按照在第1課時環(huán)節(jié)2及環(huán)節(jié)3中總結出來的研究思路有序地、系統(tǒng)地表述研究成果，重點展示發(fā)現(xiàn)、提出問題的過程，小組間相互評價，提出下一步研究的建議.

實際教學情況：以三角形“向量閉合回路”為起點，按照向量的線性運算與數(shù)量積運算為兩條展示方向，分層展示三角形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，注重強調(diào)性質(zhì)之間的聯(lián)系.

例如，三角形重心與頂點的連線將三角形的面積三等分[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.] 將重心一般化會有什么類似結論？利用GeoGebra軟件發(fā)現(xiàn)，在[△ABC]中，[G]是重心，[GA+GB+GC=0]已經(jīng)呈現(xiàn)，再把上式中[GA， GB， GC]分別作任意伸縮[GA=xGA， GB=yGB，][GC=zGC，] 即[?x，y，z∈R+，] 使得[xGA+yGB+zGC=0.] 此時點[G]是[△ABC]內(nèi)任意一點，收獲如下一般性結論.

結論11：對于[△ABC]內(nèi)任意一點P，有[S△APBPA+][S△BPCPB+S△CPAPC=0. ]

再由一般到特殊：可將點P位置特殊化，分別讓點P與“四心”之一重合能收獲什么成果呢？

在[△ABC]中，點[G]表示重心，點I表示內(nèi)心，點O表示外心，點H表示垂心. 得[GA+GB+GC=0.]

結論12：對于[△ABC]的內(nèi)心I，有[aIA+bIB+][cIC=0.]

結論13：對于[△ABC]的外心O，有[sin2A · OA+][sin2B · OB+sin2C · ?OC=0.]

結論14：對于[△ABC]的垂心H，有[tanA · ?OA+][tanB · OB+tanC · ?OC=0.]

由于外心與垂心不一定在三角形內(nèi)部，因此可以把點P再一般化到[△ABC]所在平面內(nèi)的任意一點P，還會有類似結論嗎？

環(huán)節(jié)2：布置作業(yè)，完善成果.

項目專題作業(yè)：（1）對已有成果整理所成的資料中的論證過程進行仔細閱讀并糾錯，對重大邏輯缺陷進行修訂.

（2）對本組未能想到的問題開展探究，或?qū)⑻骄窟M一步延伸，同時完成結題報告.

要求：小組課下活動完成，一周之內(nèi)完成.

實際教學情況：（1）學生此時容易滿足于某一組結論的發(fā)現(xiàn)和論證，裹足不前. 教師可以引導學生展開小組間研討，取長補短，同時給予學生精神上的鼓勵與支持，促進探究活動不斷深入推進.

（2）隨著探究的深入，三角形中的要素和相關要素會變得生疏、關系復雜，探究對象的直觀性降低，計算難度提升，導致探究推進的難度增加. 教師應該引導學生主動借助GeoGebra軟件等信息技術手段，提升圖形直觀性. 合理確定基底，降低運算的復雜性.

（3）學生對評價方案的理解較為單一，普遍認為評價即為量化評價. 教師應該引導并鼓勵學生提前相互審閱探究成果，結合該組在活動中的綜合表現(xiàn)，對比自我表現(xiàn)，認真撰寫客觀公正、富有創(chuàng)意、言辭優(yōu)美且富有數(shù)學韻味的結題評價語.

（4）學生在教師的指導下，按照展示要求制作演示文稿，撰寫結題報告.

第3課時：項目作品，展示分享.

環(huán)節(jié)1：分組匯報，成果分享.

師生活動：小組項目負責人匯報成果，其他成員補充并做好記錄，認真反思，取長補短，教師記錄對該組的質(zhì)疑，匯報后可以提問，指出各組的優(yōu)、缺點.

實際教學情況：經(jīng)過前期充分的探究和認真的梳理，學生此次匯報非常精彩.（匯報成果見本文對應線上資源.）

環(huán)節(jié)2：項目總結，反思升華.

師生活動：學生談對數(shù)學探究活動的體會，以及在活動中的收獲. 師生共同評出優(yōu)勝小組. 教師做出結題評價. 教師針對學生在活動中的表現(xiàn)為各小組撰寫結題詞.

實際教學情況：由于要求學生用相互撰寫結題詞的方法開展小組間結題評價，這就需要學生仔細閱讀與研究其他組收獲的成果與結題報告. 因此，小組互評也是開展二次探究相互借鑒的極佳平臺. 大量語言優(yōu)美、客觀公正的結題詞出現(xiàn)，也是對學生勞動成果的一種肯定，更能激發(fā)學生的探究興趣.

二、教學反思

1. 課下苦耕耘，課上展風采

數(shù)學探究活動是轉(zhuǎn)變學生學習方式的一種有效途徑. 數(shù)學探究活動的主陣地是在課下，課上、課下各有其功能. 課下是開展深度探究的時間，課上是展示交流、互相啟迪的場所.

本次探究活動，學生課下活動的時間遠遠多于課上的時間. 第一次課下活動是在啟動項目之前，學生自主閱讀教材了解數(shù)學探究，了解探究的內(nèi)容、方法等. 第二次課下活動是在第1課時之后，這是一個艱辛漫長的過程，也是沖破思維定式、超越自我、探索成果、收獲成就感、體驗數(shù)學探究樂趣的過程. 第三次課下活動是在第2課時之后，學生經(jīng)歷了項目研究的中期交流，相互啟迪思維，總體思考，構建了探索研究的思維框架，完善了自我研究成果. 第四次課下活動是在第3課時之后，完善成果、發(fā)布成果、完成數(shù)學探究. 課下探究的方式包括自主探究、小組合作探究，以及教師幫助之下的探究.

課堂上的交流與展示讓學生進行思維碰撞是必要的，但必須是在學生經(jīng)歷了課前的思考并形成一定的認知之后. 而且算法的設計、結論的駁斥與論證都需要學生置身于一個安靜的環(huán)境，通過思考，不斷試錯，才能最終收獲成果，僅憑課堂上的45分鐘是無法完成的. 因此，真正的數(shù)學探究一定要保證學生充足的自主探究時間.

2. 興趣開路，成就感引領，攀登“美”的高峰

以項目學習的方式開展數(shù)學探究活動，更能讓學生在做項目的過程中不斷獲得“成就感”，使其探究興趣得以保持.

《標準》指出，嘗試從數(shù)學的角度刻畫審美的共性，主要包括簡潔、對稱、周期、和諧等. 學生反復嘗試向量運算，在眾多結論中確定何為終點. 在探究的過程中，由于選擇方法不佳，他們陷入了繁雜計算的泥坑，但是他們沒有放棄，幾次反思之后，終于一躍而出，雖然過程艱辛，但是也有意外收獲. 針對相同的問題，不同的小組選擇了相同的思路，但是卻選擇了不同的基底，于是解法難易度的差別很大，但是這兩條路沒有優(yōu)劣之分. 選擇簡潔的路，能夠快速達成目標，享受了數(shù)學簡潔美帶來的成就感;選擇復雜的路，獲得了額外的收獲，享受了數(shù)學的結構美. 他們一路前行、一路探索，直到一個符合數(shù)學美的結論出現(xiàn). 一個“美”的結論，讓人賞心悅目，更容易留下深刻印象. 這一個個“美”的結論，就是攀登數(shù)學高峰的階梯，在這個探究活動中，學生充分感受到了. 特別是最后總結出來的結構圖，帶領學生攀登到了“美”的高峰.

這一次探究活動，無論對教師還是對學生都是全新的體驗. 雖然問題的發(fā)現(xiàn)、解決都是由學生完成的，但是教師必須有充分的準備. 一方面，教師要對所探究問題的解決有系統(tǒng)的分析和研究;另一方面，教師要對探究過程中出現(xiàn)的任何問題有敏銳的認知，并給予學生方法的指導及精神的鼓舞，讓數(shù)學探究歷經(jīng)艱險達到成功. 以成功激勵成功，以成功激發(fā)興趣. 數(shù)學探究讓教學回歸數(shù)學學習本真，蕩滌心靈、陶冶情操. 這次數(shù)學探究活動，使學生真切感受到了數(shù)學探究的魅力，開拓了學生的思維，增加了學生數(shù)學學習的信心，是值得去做且應該去做的.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.

[3]張永剛.“興趣”引領 “項目”實施：“正方體截面的探究”教學設計與反思[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2021（3）：45-52.