張曉斌 李繼權(quán) 吉士欽

摘? 要：以2021年八省市適應(yīng)性測試題第20題為例，從試題難點、試題解析、錯誤分析、試題評價等幾個方面進行研究. 試題體現(xiàn)新高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的理念;試題注重對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化的考查;嫁接真實問題背景情境，貫徹全面育人的要求;試題堅持高考數(shù)學(xué)命題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性要求，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科考試的選拔功能和正確導(dǎo)向作用.

關(guān)鍵詞：適應(yīng)性測試;數(shù)學(xué)試題;深度分析;科學(xué)評價

由教育部考試中心統(tǒng)一命制的八省市適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷第20題，以大興機場建設(shè)成就為實際應(yīng)用背景命題，僅考查立體幾何初步知識，而不涉及空間向量和常見的平行、垂直等論證與計算，頗為異常，也倍感構(gòu)思設(shè)計精巧創(chuàng)新. 該題的具體背景是微分幾何中的[Gauss-Bonnet]公式在簡單多面體中的特殊情形，世界著名數(shù)學(xué)家陳省身先生平生最得意的工作即是此公式的內(nèi)蘊證明. 該題的證明與簡單多面體的歐拉示性數(shù)[V+F-E=2]的證明思路相似. 而多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)與證明在《全日制普通高級中學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（試驗修訂本）》必修第二冊（下A）和人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》（選修3—3）“球面上的幾何”中都有深入的介紹.

一、情境再現(xiàn)，感悟真題

2021年八省市適應(yīng)性測試卷第20題如下.

題目? 北京大興國際機場（如圖1）的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用. 刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容. 用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于[2π]與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和. 例如，正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是[π3]，所以正四面體在各頂點的曲率為[2π-3×π3=π]，故其總曲率為[4π].

（1）求四棱錐的總曲率;

（2）若多面體滿足：頂點數(shù) - 棱數(shù) + 面數(shù) = 2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

該題學(xué)生實際得分不高，在解決第（2）小題時，最難的就是需要學(xué)生在考場上根據(jù)問題情境學(xué)習(xí)新知識之后進行數(shù)學(xué)建模，將空間問題平面化，建立頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)與總曲率的關(guān)系. 該題對學(xué)生的閱讀理解能力和空間想象能力提出了較高要求，對培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識也起到了積極的引導(dǎo)作用，是對新高考下高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的引領(lǐng)示范.

二、多維探究，深度思考

下面主要給出解決第（2）小題的四種解法.

解：（1）四棱錐共有5個頂點，5個面. 四棱錐所有面角之和等于4個三角形內(nèi)角之和再加上1個四邊形內(nèi)角之和，所以四棱錐的總曲率為[5×2π-4×π-2π=4π].

（2）設(shè)多面體的頂點數(shù)為[V]，棱數(shù)為[E]，面數(shù)為[F].

多面體的總曲率[=V×2π-]多面體所有面角之和[=][V×2π-]多面體所有面的內(nèi)角之和.

（方法1）多面體的面均為多邊形，每個面分別記為[ni i∈N，1≤i≤F]邊形，[ni]邊形的內(nèi)角和為[ni-2π]，且[i=1Fni=2E]（在所有多邊形的邊數(shù)總和的計算過程中，每條棱都計算了兩次），則所有面的內(nèi)角和為[i=1Fni-2π=][πi=1Fni-2πF=2πE-F]. 所以多面體的總曲率[=V×][2π-2πE-F=2πV-E+F=4π]. 故這類多面體的總曲率是常數(shù).

（方法2）設(shè)多面體的所有面中，有[a3]個三角形，[a4]個四邊形，…，[an]個[n]邊形（[ai∈N，i=3，4，…，n]），則有[i=3niai=2E， i=3nai=F]，所以多面體的總曲率為[V×2π-i=3ni-2πai=V×2π-πi=3niai+2πi=3nai=V×2π-][2πE-F=2πV-E+F=4π].

（方法3）在多面體每個面內(nèi)作出只從同一頂點出發(fā)的所有面對角線（若面是三角形則不需要進行此項工作），則每個面被切割成了幾個互不交叉的三角形. 設(shè)現(xiàn)有三角形的個數(shù)為[F]，原多面體的棱數(shù)與上述作出的對角線條數(shù)總和為[E]. 在作輔助線的過程中，多一條上述作出的對角線就多一個三角形，而頂點數(shù)不變. 所以由歐拉公式知，[V，E，F(xiàn)]仍滿足關(guān)系式[V+F-E=2]. 而每個三角形的每一條邊都是相鄰兩個三角形的公共邊，則[E=3F2，F(xiàn)=2V-4=2V-2]，多面體所有面的內(nèi)角之和為[Fπ=2V-2π]，則多面體的總曲率為[V×2π-][π2E-2F=2πV-E+F=4π].

（方法4）假設(shè)多面體的表面由橡皮膜制成，以多面體的一個面為底，將其適當(dāng)擴大使其余[F-1]個面的頂點向底面的正投影全部落在該底面內(nèi)，剪去該底面多邊形，將多面體壓成平面圖形（可以認(rèn)為將該多面體垂直壓向底面，也可以認(rèn)為將其余各面拉開鋪平）. 如圖2，正十二面體剪去它的一個面[ABCDE]后，投影到面[ABCDE]上得到的平面圖形，如圖3所示.

多面體的頂點、棱和面分別與平面圖形中的頂點、棱和面一一對應(yīng)，即將多面體壓縮成平面圖形后，其頂點數(shù)、棱數(shù)與面數(shù)均未發(fā)生改變，則所有面的內(nèi)角之和也不變. 這樣，多面體所有面的內(nèi)角之和可以轉(zhuǎn)化到平面圖形中進行研究. 在平面圖形所有[V]個頂點中，設(shè)剪去的最大多邊形（底面）有[n]個頂點，其內(nèi)角和為[n-2π]，它的內(nèi)部含有[V-n]個頂點. 其他多邊形的內(nèi)角總和可以看成由兩部分組成：一部分為[V-n]個周角（每個頂點處內(nèi)角和為[2π]）;另一部分為剪掉的那個多邊形的內(nèi)角和. 因此，多面體的總曲率為[V×2π-n-2π+n-2π+V-n · 2π=4π].

三、執(zhí)果索因，反思錯解

在解答該題的過程中，很多學(xué)生存在許多錯誤想法和思維障礙.

在解決第（1）小題時，主要有如下錯誤. ① 認(rèn)為四棱錐為四面體. ② 利用特殊四棱錐得到結(jié)果. 例如，對于各棱長均相等的正四棱錐，計算得到其總曲率為[4×2π-π3×2-π2+2π-π3×4=4π]. ③ 對四棱錐的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不到位，對新定義“多面體的面角”理解不到位，類比方法運用不合理. 例如，四棱錐每個頂點有四個面角，每個面角為[π4]，所求四棱錐的總曲率為[5×2π-π4×4=5π]或者[2π-π3×4×4=83π]或者[2π-π4-π4-π2×4=4π]，等等.

在解決第（2）小題時，主要有如下錯誤. ① 認(rèn)為符合題意的簡單多面體只有棱錐與棱柱，只是研究了某一類多面體的曲率，結(jié)論不具有一般性. ② 對于“多面體所有面角之和[=]多面體所有面的內(nèi)角之和”的條件閱讀理解不到位. ③ 把多邊形內(nèi)角和為[n-2π]遺忘了. ④ 頂點數(shù)、棱數(shù)、多邊形的邊數(shù)、面數(shù)、多邊形的個數(shù)，這些量比較多，數(shù)量關(guān)系梳理不清，所有面角和[2πE-F]推理論證不充分、不嚴(yán)謹(jǐn)，字母代數(shù)運算也不過關(guān). ⑤ 歸納猜想能力不足.

該題設(shè)計富有特色，由特殊幾何體正四面體、四棱錐的總曲率可以猜想簡單多面體的總曲率，由特殊幾何體正四面體、四棱錐的總曲率計算方法讓學(xué)生歸納猜想，聯(lián)想多邊形內(nèi)角和，翻譯出“多面體所有面角之和[=]多面體所有面的內(nèi)角之和”的意義. 但是學(xué)生“由特殊到一般”的猜想論證能力不足，而運算中“棱”參與了兩次運算又加大了難度.

立體幾何主要承載了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的要求. 現(xiàn)行教材立體幾何內(nèi)容是采用“三條腿”（即綜合法、向量法、坐標(biāo)法）走路的，但是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中都采用綜合法證明平行與垂直、采用坐標(biāo)法求角，甚至有的學(xué)生只會用長方體建立坐標(biāo)系計算. 源自對身邊三維世界的觀察而抽象出來的立體幾何，結(jié)果在實際運用中學(xué)生的空間觀念未能很好地建立起來，學(xué)生的空間想象能力未能形成，缺少了對形象直觀的想象. 學(xué)生對立體幾何中的定義的理解與運用能力較弱，不能較好地運用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索圖形的性質(zhì). 同時，學(xué)生的形象思維和邏輯思維能力有待提高，學(xué)生的空間想象能力較弱，容易受到其他條件的干擾，無法從整體角度分析題目的條件逐步進行推導(dǎo)證明，沒有形成綜合分析問題的概括能力，導(dǎo)致無法解答該題.

四、育人導(dǎo)向，科學(xué)評價

中國高考評價體系的科學(xué)構(gòu)建是從根本上解決教育評價中指揮棒問題的重大舉措，也是健全立德樹人落實機制、實現(xiàn)德智體美勞全面發(fā)展育人目標(biāo)的必經(jīng)之路. 在具體設(shè)計試題時，要突出理性思維，考查關(guān)鍵能力，反映基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性的“四翼”要求. 下面結(jié)合該試題，分析《中國高考評價體系》中的這些新理念、新要求是如何滲透在高考試題之中的.

1. 堅持立德樹人導(dǎo)向，創(chuàng)新命題改革方向

該題在考試內(nèi)容改革、題型創(chuàng)新、試卷結(jié)構(gòu)改革及科學(xué)調(diào)控難度等方面進行了積極探索. 試題內(nèi)容體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相銜接的教材內(nèi)容，題型是新定義的解答題，是把緊扣新定義的計算與證明相結(jié)合的有難度層次的問題，正確把握試題與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的關(guān)系，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，發(fā)揮了試題對中學(xué)數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向作用.

該題背景深刻、立意深遠，源于生活的真實情境新穎而不落窠臼，陌生卻似曾相識. 題目體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和理性價值，滲透了與大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容相鏈接的概念及思想方法，既考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，又考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能. 有助于學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實生活、領(lǐng)會創(chuàng)新精神，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以及在社會實踐活動中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和方法解決重大問題的熱情，落實了立德樹人的教育理念. 試題進一步發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)的選拔性和導(dǎo)向性功能，以高校人才選拔的要求為依據(jù)，強化高考數(shù)學(xué)的思想教育和價值引領(lǐng). 由此可見，高考數(shù)學(xué)試題今后將更加注重考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新意識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的育人功能.

2. 立足“四翼”要求，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

該題知識性的考點有兩個：一是空間幾何體的空間結(jié)構(gòu)，簡單多面體的概念，多面體的頂點、棱、面之間的數(shù)量關(guān)系，如每一條棱被兩個面共用等;二是平面多邊形的內(nèi)角和，即[n]邊形的內(nèi)角和為[n-2π]. 該題對即將進入高校的高三學(xué)生應(yīng)該掌握的立體幾何中的基本概念、原理、技能和思維方法等進行了較好的測量與評價，較好地檢測了學(xué)生是否具備立體幾何中的“四基”，是否具有應(yīng)對生活實踐和數(shù)學(xué)探究問題的基礎(chǔ)知識、基本能力和核心素養(yǎng)，是否具有今后進入大學(xué)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展所需要的必備知識和關(guān)鍵能力.

該題圍繞直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析這五個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在知識網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)結(jié)處著眼，著重考查學(xué)生將已有知識和方法綜合應(yīng)用到新情境中去分析問題和解決問題的能力，科學(xué)評價和合理區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)質(zhì)量水平和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的達成情況.

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實世界，又要回到現(xiàn)實世界中去解決有關(guān)的實際問題. 新高考對數(shù)學(xué)應(yīng)用性關(guān)注度明顯提高，《標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用都有一定的要求. 因此，該題考查了學(xué)生的閱讀理解能力和獲取新信息的能力，增強了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，充分體現(xiàn)了對學(xué)生解決實際問題能力的要求，從而引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實生活和時事新聞，從生活中提取數(shù)學(xué)問題，進一步落實立德樹人的根本任務(wù).

該題的創(chuàng)新性體現(xiàn)在題目的呈現(xiàn)形式和閱讀理解上. 讀題、審題是解決該題的基礎(chǔ)，讀懂題意是解決該題的關(guān)鍵. 閱讀理解是基于思維活動的一種重要認(rèn)識能力，是直接影響解決問題效果的前奏和序曲. 該題看似閱讀量不大，但閱讀題目中“規(guī)定”的難度并未降低，對學(xué)生的閱讀、思考和創(chuàng)新思維要求較高. 該題設(shè)計的背景和知識考點與歷年高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題完全不同，面貌煥然一新. 以北京大興機場的建筑設(shè)計、微分幾何中的曲率為背景，用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定了多面體頂點的曲率和多面體總曲率. 這種試題設(shè)計的呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式與眾不同，要求即將進入高校的學(xué)生在新穎或陌生的情境中主動思考，完成數(shù)學(xué)探究性任務(wù)，測試與評價了學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論的水平. 該題的設(shè)計意在引導(dǎo)教師在教學(xué)中重視提高學(xué)生的思維品質(zhì)，為適應(yīng)新時代發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).

3. 貫徹科學(xué)探索精神，體現(xiàn)以文化人理念

該題從正四面體的曲率出發(fā)，探索一般多面體的曲率問題，滲透了由特殊到一般的思想方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生用更長遠的眼光尋找該題的規(guī)律與本質(zhì). 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾說，對于復(fù)雜的問題要善于“退”，先足夠地“退”到我們最容易看清楚問題的地方，認(rèn)透了、鉆深了，然后再上去. 事實上，就是將復(fù)雜問題簡單化、特殊化，通過特殊情況將問題認(rèn)識透徹，再探索一般的方法來解決原問題. 該題的探索和解決需要學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)科一般觀念的指導(dǎo)下，科學(xué)合理地運用數(shù)學(xué)通性、通法和解決數(shù)學(xué)問題的思維策略，統(tǒng)攝數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)知識，運用數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力，高質(zhì)量、高水平地理解問題、分析問題、解決問題和反思問題，使高三學(xué)生適應(yīng)新時代要求并獲得支撐終身發(fā)展的能力.

源于具體的實際問題，需要學(xué)生進行審題分析、提煉、翻譯，挖掘問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的考查，滲透解決數(shù)學(xué)問題的統(tǒng)攝性思想——普遍性寓于特殊性之中. 抽象并進行數(shù)學(xué)建模，讓問題數(shù)學(xué)化，使錯綜復(fù)雜的實際應(yīng)用問題更加直觀化和邏輯化.

數(shù)學(xué)文化是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要組成部分. 在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)和高考數(shù)學(xué)命題中，應(yīng)堅持文理互補的數(shù)學(xué)教育理念，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、精神品質(zhì)和正確價值觀的形成. 該題在考查相關(guān)知識的同時弘揚了科學(xué)精神，在展現(xiàn)社會主義建設(shè)成就的同時增強了學(xué)生的文化自信與民族自豪感，將數(shù)學(xué)知識、思想方法和文化精神等融為一“題”，促進了學(xué)生的全面發(fā)展，貫徹了全面育人的要求.

從近幾年全國卷的高考數(shù)學(xué)試題可以看出，教育部考試中心已經(jīng)把在高考試題中滲透數(shù)學(xué)文化作為高考試題改革的一個重要方面. 而這類試題閱讀量較大，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科綜合素養(yǎng). 以社會生活實際情境為載體，注重跨學(xué)科融合試題的命制，在考查“四基”的同時，著力考查學(xué)生的“四能”及數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力、創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，把“五育并舉”的價值觀融入試題內(nèi)容中，讓學(xué)生切身體會數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值. 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要建立在數(shù)學(xué)文化的基礎(chǔ)上，而數(shù)學(xué)文化教育需要教師在教學(xué)過程中傳承、滲透數(shù)學(xué)文化，通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的育人功能，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng). 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中研究一些經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，如“哥尼斯堡七橋問題”“多面體的歐拉定理”等來領(lǐng)略數(shù)學(xué)家解題時的辯證思維，感受數(shù)學(xué)家的哲學(xué)智慧，有助于學(xué)生突破固定的形式邏輯思維，自覺運用多元、變化和發(fā)展的眼光看問題，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

總之，該題堅持高考的核心價值，考點新、命題新，突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，注重考查學(xué)生的獨立思考能力、閱讀理解能力、提取信息能力、分析問題與解決問題的能力，注重數(shù)學(xué)建模、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，命題理念從原來的“知識立意、能力立意”向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”轉(zhuǎn)變. 新高考數(shù)學(xué)試卷在縱橫交錯考查數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識的同時，注重了對數(shù)學(xué)思想方法、關(guān)鍵能力及核心素養(yǎng)的考查，展示了數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)價值和人文價值，同時兼顧了數(shù)學(xué)試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)了思維的流暢性、深刻性，以及方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性. 試題設(shè)問間有層次性，合理調(diào)控綜合程度，很好地把握了穩(wěn)定與創(chuàng)新的關(guān)系，體現(xiàn)了課程改革的精神，充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用. 同時，注重考查大多數(shù)學(xué)生進入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，對探索新高考的模式、推進高考綜合改革、引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)都將會發(fā)揮積極的作用.

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