王祥芬

摘? 要：2021年高考數(shù)學(xué)試題很好地實現(xiàn)了從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變. 以2021年平面向量及其應(yīng)用、概率與統(tǒng)計高考試題為例，論述了考查目的從關(guān)注知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)科育人、考查目標從問題解決轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄磕芰Α⒖疾榍榫硰膶W(xué)科知識轉(zhuǎn)變?yōu)檎鎸嵡榫?、試題條件從結(jié)構(gòu)良好轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)不良、試題要素從單一因素轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)合因素、試題結(jié)構(gòu)從知識碎片轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)整體等六個方面.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);素養(yǎng)導(dǎo)向;思路分析;試題評析

為全面貫徹落實全國教育大會精神，教育部考試中心發(fā)布了《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》），提出了“四層”高考考查內(nèi)容，即核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識.《體系》確立了高考學(xué)科素養(yǎng)的考查目標，成為高考命題和備考的重要指南. 與以往的考試大綱相比，《體系》不僅考查學(xué)生對知識的理解和學(xué)生能力的提升，更注重考查對學(xué)生素養(yǎng)的培育，考查學(xué)生在德智體美勞方面的綜合素質(zhì)，關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展、全面培養(yǎng).《體系》標志著高考正在實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變.

2021年共有10套高考數(shù)學(xué)試卷，分別為全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷、天津卷、北京卷、上海卷和浙江卷. 試卷中的平面向量及其應(yīng)用、概率與統(tǒng)計試題考查了向量運算、向量基本定理、向量的應(yīng)用、計數(shù)原理、概率、統(tǒng)計等重點內(nèi)容，重視考查學(xué)生理性思維、核心素養(yǎng)、綜合能力，注重聯(lián)系實際、學(xué)以致用，圍繞現(xiàn)代化建設(shè)新成就和科學(xué)技術(shù)發(fā)展新成果設(shè)計真實問題情境，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，等等. 同時，這些試題增加了開放性和探究性，以及多項選擇題、數(shù)據(jù)分析題、結(jié)構(gòu)不良題和雙空填空題等題型，在結(jié)構(gòu)上有所創(chuàng)新，打破了固有模式，聚焦了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出了對關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和育人導(dǎo)向.

與以往高考數(shù)學(xué)試題相比，2021年高考數(shù)學(xué)試題從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變體現(xiàn)在如下六個方面.

一、考查目的從關(guān)注知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)科育人

2021年高考數(shù)學(xué)試題不僅注重對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的考查，還更多地關(guān)注學(xué)生的核心價值、道德品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感，倡導(dǎo)學(xué)生積極參與社會公共事務(wù)，并能結(jié)合熟悉的知識嫁接文本信息解答實際問題. 例如，全國新高考Ⅰ卷第18題以“一帶一路”知識競賽為背景與國事關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)了立德樹人的命題原則;全國乙卷理科第6題以北京冬奧會為背景考查排列組合內(nèi)容;天津卷第14題以學(xué)生熟知的傳統(tǒng)猜謎語活動為背景考查概率問題;等等. 這些試題的考查目的從關(guān)注知識轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注學(xué)生的價值觀、思維品質(zhì)，落實德智體美勞全面發(fā)展的教育方針.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·18）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束. A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記[X]為小明的累計得分，求[X]的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

思路分析：（1）由題意，若小明先回答A類問題，得分[X]的所有可能取值為[0]，[20]，[100]，分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列即可.

（2）如果小明先回答B(yǎng)類問題，求出得分的分布列和數(shù)學(xué)期望，比較兩個隨機變量數(shù)學(xué)期望的大小.

【評析】此題以“一帶一路”知識競賽為情境，倡導(dǎo)學(xué)生關(guān)注國家發(fā)展戰(zhàn)略，關(guān)注我國經(jīng)濟建設(shè)、科技發(fā)展和大國外交等領(lǐng)域的成就，增強學(xué)生的家國情懷、民族自豪感與自信心. 考查學(xué)生對離散型隨機變量的概率分布及其數(shù)字特征期望的理解，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的意義解答實際問題. 從學(xué)生答題情況來看，得分并不高. 該題并不是一道容易題，而是一道考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的中檔題，只有平時腳踏實地學(xué)習(xí)、勤于思考的學(xué)生才能得滿分，體現(xiàn)出高考考查目的從關(guān)注知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)科育人.

例2 （全國乙卷·理6）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（? ? ）.

（A）60種 ? ? ? （B）120種

（C）240種 ? （D）480種

思路分析：根據(jù)題意，共有[C25×A44=240]種不同的分配方案. 故答案選C.

【評析】以北京冬奧會志愿者的培訓(xùn)方案為命題背景，具有鮮明的時代氣息，體現(xiàn)了中國的志愿精神，倡導(dǎo)學(xué)生承擔(dān)社會責(zé)任. 同時，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注冬奧會，關(guān)注體育運動，加強體育鍛煉，強健體魄，實現(xiàn)高質(zhì)量的學(xué)習(xí)和生活，具有積極的教育意義. 在考查排列組合的應(yīng)用的同時，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了高考對核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查要求.

例3 （天津卷·14）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局. 已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為[56]和[15]，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為________;3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為________.

思路分析：根據(jù)題意可得，一次活動中，甲獲勝的含義為甲猜對且乙猜錯，所以概率為[56×45=23]. 因此，在3次活動中，甲至少獲勝2次分為兩種情況，概率為[C23×232×13+233=2027]. 故答案為[23]和[2027].

【評析】以學(xué)生熟知的傳統(tǒng)猜謎語活動為背景考查互斥的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式.

二、考查目標從問題解決轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄磕芰?/p>

素養(yǎng)導(dǎo)向的高考試題注重對學(xué)生探究能力的考查，考查學(xué)生面對生活實踐或?qū)W習(xí)探究情境時，組織整合相應(yīng)的知識與能力、運用不同的方法探究問題的綜合品質(zhì). 全國新高考Ⅱ卷第18題中的存在性問題，需要學(xué)生根據(jù)題目條件，判斷符合條件的對象是否存在，變換了題目的設(shè)問角度，考查了學(xué)生的邏輯推理能力和探究能力;全國新高考Ⅱ卷第21題通過探究微生物臨近滅絕的概率與三次方程根的關(guān)系，得出期望，以滅絕概率與1的大小關(guān)系解決關(guān)系問題后，又追問結(jié)論的實際含義，層層遞進地考查了學(xué)生獲取信息、加工信息的探究能力;全國甲卷文（理）科第17題、全國乙卷文（理）科第17題都設(shè)置了新的問題，學(xué)生不僅要解決問題，還要分析結(jié)果，提出新觀點或發(fā)現(xiàn)新問題，培養(yǎng)探究問題的能力.

例4 （全國新高考Ⅱ卷·21）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第[0]代，經(jīng)過一次繁殖后為第[1]代，再經(jīng)過一次繁殖后為第[2]代，……，該生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)[X]表示[1]個微生物個體繁殖下一代的個數(shù). [PX=i=pi i=0，1，2，3].

（1）已知[p0=0.4]，[p1=0.3]，[p2=0.2]，[p3=0.1]，求[EX];

（2）設(shè)[p]表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，[p]是關(guān)于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一個最小正實根，求證：當(dāng)[EX≤1]時，[p=1]，當(dāng)[EX>1]時，[p<1];

（3）根據(jù)你的理解說明第（2）小題結(jié)論的實際含義.

思路分析：（1）[E（X）=1].

（2）不妨設(shè)[fx=p3x3+p2x2+p1-1x+p0]. 由[p3+][p2+p1+p0=1]，可得[fx=p3x3+p2x2-p2+p0+p3x+p0]. 這樣就把方程的最小正實根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題. 研究導(dǎo)函數(shù)[fx=3p3x2+2p2x-p2+p0+p3]的零點，找出原函數(shù)[fx]的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合[f1=0]及極值點的范圍，可得[fx]的最小正零點.

（3）意義：當(dāng)1個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)小于或等于1時，若干代后該種微生物必然滅絕;當(dāng)繁殖后代的平均數(shù)超過1時，則若干代后該種微生物還有繼續(xù)繁殖的可能.

【評析】該題以生命科學(xué)中某種微生物的自身繁殖為背景，探究若干代后這種微生物存在的條件或滅絕的原因. 試題情境來源于生命科學(xué)中的真實問題，體現(xiàn)了概率知識在生命科學(xué)中的具體應(yīng)用. 試題考查學(xué)生是否理解1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)[X]的分布列和數(shù)學(xué)期望的含義，理解微生物滅絕的概率[p]和數(shù)學(xué)模型[p0+p1x+][p2x2+p3x3=x]的含義;考查了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，以及綜合應(yīng)用概率、方程、函數(shù)和不等式等知識解決實際問題的探究能力. 該題考查知識跨度較大，對學(xué)生的綜合探究能力要求較高，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平有較好的檢測和區(qū)分度.

例5 （全國乙卷·理 / 文17）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如表1所示.

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為[x]和[y]，樣本方差分別記為[s21]和[s22].

（1）求[x，y，s21，s22];

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高.（如果[y-x≥2s21+s2210]，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高.）

思路分析：（1）由平均數(shù)和樣本方差的定義可知[x=10，y=10.3，s21=0.036，s22=0.04].

（2）根據(jù)題目判斷新設(shè)備是否有顯著提高的依據(jù)，并結(jié)合第（1）小題的結(jié)論計算[y-x]與[2s21+s2210]的結(jié)果，可知新設(shè)備的指標均值較舊設(shè)備有顯著提高.

【評析】試題以生產(chǎn)高精產(chǎn)品的新、舊設(shè)備為原型，應(yīng)用統(tǒng)計的數(shù)字特征解決問題，根據(jù)新、舊設(shè)備各生產(chǎn)同樣多的產(chǎn)品得到的指標數(shù)據(jù)，將判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標與舊設(shè)備比較是否有顯著提高的問題轉(zhuǎn)化為判斷[y-x≥2s21+s2210]是否成立的問題. 該題考查學(xué)生對平均數(shù)和方差公式的理解與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注科技生產(chǎn)和發(fā)展，體會科技創(chuàng)新的必要性.

例6 （全國新高考Ⅱ卷·18）在[△ABC]中，角[A，][B，C]所對的邊長分別為[a，b，c，b=a+1，c=a+2.]

（1）若[2sinC=3sinA]，求[△ABC]的面積;

（2）是否存在正整數(shù)[a]，使得[△ABC]為鈍角三角形？若存在，求出[a]的值;若不存在，說明理由.

思路分析：（1）由正弦定理，可得[2c=3a]. 結(jié)合已知條件求出[a]的值，進一步求得[b]和[c]的值，利用余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出[sinB]，再利用三角形面積公式可以求得結(jié)果.

（2）分析可知，角[C]為鈍角. 由[cosC<0]，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，可以求得整數(shù)[a]的值為[2].

【評析】該題的背景是三角形的邊長、面積問題及三角形形狀的判定，內(nèi)容貼近學(xué)生的認知. 已知[△ABC]的邊長分別為[a，a+1，a+2]，結(jié)合余弦定理即可求解三角形的面積;第（2）小題判斷是否存在正整數(shù)[a]使得[△ABC]是鈍角三角形，并進行推理和說明理由. 試題設(shè)計具有探究性和開放性，重點考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

三、考查情境從學(xué)科知識轉(zhuǎn)變?yōu)檎鎸嵡榫?/p>

情境是實現(xiàn)價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基的綜合考查的載體. 情境即問題情境，是真實的問題背景，情境要源于學(xué)生的生活實際，要與學(xué)生的經(jīng)驗相聯(lián)系. 對于學(xué)生而言，真實可信的情境可以使學(xué)生產(chǎn)生研究問題的動力，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題. 全國甲卷理科第8題和全國乙卷理科第9題通過選取測量珠穆朗瑪峰和海島的高度等真實素材，再現(xiàn)學(xué)科產(chǎn)生的場景或現(xiàn)實的情境，學(xué)生在真實存在的情境的背景下運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，全面而綜合地展現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);北京卷第18題以新冠病毒、核酸檢測研究為題材，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會熱點，增強社會責(zé)任感.

例7 （全國甲卷·理8）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8 848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一. 如圖1，是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有[A，B，C]三點，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]滿足[∠AC′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由點[C]測得點[B]的仰角為[15°]，[BB]與[CC]的差為100;由點[B]測得點[A]的仰角為[45°]，則[A，C]兩點到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]約為（? ? ）.（[3≈1.732].）

思路分析：通過添加輔助線，將所求量[AA-CC]轉(zhuǎn)化到直角三角形中. 通過分析可知將所求量[AA-CC]轉(zhuǎn)化為求[AB+100]的長度，借助正弦定理求得[AB]，進而得到答案為B.

【評析】該題以中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰高度為背景設(shè)計解三角形問題，這是我國第三次公布地球最高峰的海拔數(shù)據(jù)，向世界展示了中國的登山實力和測量水平. 該題考查學(xué)生看圖和厘清數(shù)量關(guān)系的能力，用此測量法計算點[A，C]到水平面[ABC]的高度差的問題. 題目背景真實，聯(lián)系實際，要求學(xué)生應(yīng)用線線關(guān)系、線面關(guān)系和點面關(guān)系等幾何知識建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生運用正弦定理解決實際問題的能力.

例8 （全國乙卷·理9）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高. 如圖2，點[E]，[H]，[G]在水平線[AC]上，[DE]和[FG]是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，[EG]稱為“表距”，[GC]和[EH]都稱為“表目距”，[GC]與[EH]的差稱為“表目距的差”，則海島的高[AB]的值為（? ? ）.

（A）[表高×表距表目距的差+]表高

（B）[表高×表距表目距的差-]表高

（C）[表高×表距表目距的差+]表距

（D）[表高×表距表目距的差-]表距

思路分析：由相似三角形的性質(zhì)，知[DEAB=EHAH]，[FGAB=CGAC]. 而已知[DE=FG]，所以由比例的性質(zhì)得到[DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH]. 而[CH=CE-EH=][CG-EH+EG]，即[AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+][DE=表高×表距表目距的差][+]表高. 故答案選A.

【評析】該題是我國古代數(shù)學(xué)文化的經(jīng)典問題——重差，出自魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》. 以著作中的測量方法為背景，考查學(xué)生根據(jù)測量中的相關(guān)條件推出海島高度的計算公式，以及運用知識解決問題的能力，讓學(xué)生感悟我國古代數(shù)學(xué)家的智慧. 將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化作為真實情境鑲嵌于數(shù)學(xué)問題之中，是近幾年高考數(shù)學(xué)試題的新特點，需要學(xué)生具備較好的數(shù)學(xué)閱讀能力，理解題意并注意試題的各種表述.

例9 （北京卷·18）在核酸檢測中，“[k]合1”混采核酸檢測是指：先將[k]個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這[k]個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果為陰性，檢測結(jié)束;如果這[k]個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.

（1）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

① 如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);

② 已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為[111]. 設(shè)[X]是檢測的總次數(shù)，求[X]的分布列與數(shù)學(xué)期望[EX.]

（2）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測，設(shè)[Y]是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望[EY]與（1）中[EX]的大小.（結(jié)論不要求證明.）

思路分析：（1）① 對每組進行檢測，需要10次. 再對結(jié)果為陽性的組中的每個人進行檢測，需要10次. 因此總檢測次數(shù)為20次.

② 由題意，得[X]可以取20，30.

所以[PX=20=111]，[PX=30=1-111=1011].

所以[EX=20×111+30×1011=32011].

（2）由題意，得[Y]可以取25，30.

所以兩名感染者在同一組的概率為[P1=20×C22×C398C5100=][499]，不在同一組的概率為[P2=9599].

則[EY=25×499+30×9599=2 95099>EX].

【評析】新冠病毒核酸“[k]合1”混采檢測技術(shù)的研發(fā)大幅度提高了檢測效率. 該題以此為背景進行設(shè)計，目的是讓學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計知識解釋大規(guī)模核酸檢測中混采技術(shù)的原理，體會數(shù)學(xué)在科學(xué)防疫方面的應(yīng)用價值. 真實的問題情境展示了我國科學(xué)抗疫的智慧和成果.

四、試題條件從結(jié)構(gòu)良好轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)不良

學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的試題一般是結(jié)構(gòu)良好試題，條件不多不少，需要解決的問題目標明確，有規(guī)范的思路和解法. 然而，現(xiàn)實生活中的問題多是結(jié)構(gòu)不良型，具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等特點，需要學(xué)生多角度綜合地思考問題. 近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中逐漸出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問題. 例如，全國新高考Ⅱ卷第14題、全國甲卷理科第18題和北京卷第16題等設(shè)置了結(jié)構(gòu)不良試題，在給出的幾個條件中要求學(xué)生先選擇后補充，體現(xiàn)了一定程度上的開放性. 開放性試題的設(shè)置較好地體現(xiàn)了新課程的理念，更全面地考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例10 （北京卷·16）在[△ABC]中，[c=2bcosB，][∠C=2π3].

（1）求[∠B];

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使[△ABC]存在且唯一確定，求[BC]邊上中線的長.

條件①：[c=][2b];條件②：[△ABC]的周長為[4+][23];條件③：[△ABC]的面積為[334].

思路分析：（1）根據(jù)題意，可求得[∠B=π6].

（2）若選擇條件①：由正弦定理求解，可得[cb=][3]，與[c=2b]矛盾，故這樣的三角形不存在;若選擇條件②：由正弦定理結(jié)合周長得出[a=b=2，c=23]，再由余弦定理可以求得邊[BC]上的中線的長度為[7];若選擇條件③：由面積公式可以求得邊長[a=b=3]，再由余弦定理求得邊[BC]上的中線的長度為[212].

【評析】以解三角形為背景設(shè)置結(jié)構(gòu)不良試題，題目給出的其實是“已知三角形的三個角度，再選擇附加的條件求邊長”的問題. 試題所給的三個不確定條件是平行的，即無論選擇哪個條件試題的難易程度都適中，給了學(xué)生很大的可操作空間，是一道妙題. 相信這類題型將是新高考的趨勢.

五、試題要素從單一因素轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)合因素

高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會貫通，既包括同一層面的交互融合，也包括不同層面之間的融會貫通. 試題突出數(shù)學(xué)各分支內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和思想方法的貫通，從而考查知識的復(fù)合性.

例11 （天津卷·15）在邊長為1的等邊三角形[ABC]中，點[D]是線段[BC]上的動點，[DE⊥AB]且交[AB]于點[E]，[DF∥AB]交[AC]于點[F]. 則[2BE+DF]的值為? ? ? ;[DE+DF · DA]的最小值為? ? ? .

思路分析：一是通過向量的幾何屬性進行求解. 設(shè)[BE=x]，由[2BE+DF2=4BE2+4BE · DF+DF2]可以求出第一空;將[DE+DF · DA]轉(zhuǎn)化為關(guān)于[x]的關(guān)系式即可求出最值. 二是通過向量的坐標運算的代數(shù)屬性進行求解.

【評析】此題以平面幾何為背景，以平行、垂直、角度和長度為載體，考查向量的和、數(shù)乘、數(shù)量積及模的運算. 題目條件繁多，關(guān)系較為復(fù)雜，解決問題的方法多樣，給學(xué)生提供了很大的發(fā)揮空間. 通過動點位置的巧妙設(shè)計建立函數(shù)模型，將所求問題轉(zhuǎn)化為在某個范圍內(nèi)求解函數(shù)的最值問題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要求較高.

六、試題結(jié)構(gòu)從知識碎片轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)整體

2021年的高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了很多大單元的知識考查，考查知識的聯(lián)系性. 這些試題不是片面地考查某一個知識點或單一技能，而是把眾多碎片化的數(shù)學(xué)知識融合成一個整體. 這個整體可以是數(shù)學(xué)主題、觀點或思想方法. 通常通過命制多項選擇題突出數(shù)學(xué)主干知識及知識之間的聯(lián)系性，從而考查學(xué)生是否具有良好的認知結(jié)構(gòu). 例如，全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷都有四個多項選擇題，圍繞數(shù)學(xué)的大情境、大問題、大單元開展多角度、多知識、多層次的探索，將知識碎片轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)整體進行考查，以深度檢測學(xué)生的思維水平.

例12 （全國新高考Ⅰ卷·9）有一組樣本數(shù)據(jù)[x1，][x2，…，xn]，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)[y1，y2，…，][yn]，其中[yi=xi+c i=1，2，…，n]，[c]為非零常數(shù)，則（? ? ）.

（A）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

（B）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

（C）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

（D）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

思路分析：利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系[yi=xi+c]，根據(jù)公式[Ey=Ex+c]，[Dy=Dx]，可以判斷樣本的平均數(shù)和標準差是否相同，就可以判斷選項[A]和選項[C]的正誤;根據(jù)中位數(shù)、極差的概念可以判斷選項[B]和選項[D]的正誤. 故正確答案為選項[C]和選項[D].

【評析】人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊第九章“統(tǒng)計”中的“用樣本估計總體”練習(xí)的第2題和習(xí)題9.2的第4題中都推導(dǎo)了上述兩個公式. 用樣本估計總體是統(tǒng)計學(xué)的基本思想，總體集中趨勢的估計要素比較多，有平均值、中位數(shù)、眾數(shù)等，總體離散程度的估計有極差、方差、標準差等. 該題將這些知識串成一個整體進行考查.

例13 （全國新高考Ⅰ卷·10）已知點[O]為坐標原點，[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β，][A1，0]，則（? ? ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA · OP3=OP1 · OP2]

（D）[OA · OP1=OP2 · OP3]

思路分析：一是寫出[OP1， OP2， OP3， OA， AP1，][AP2]的坐標，利用坐標公式求向量的模，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和（差）公式化簡，即可判斷正誤. 二是通過向量的幾何屬性，在單位圓中構(gòu)造角度[α，β，-β，α+β]等，結(jié)合向量數(shù)量積的定義得出答案，難點在于圖形的構(gòu)造.

【評析】此題涉及兩角和的余弦公式、平面向量的數(shù)量積、向量的模，是向量單元的基本概念和基本運算，考查學(xué)生對三角函數(shù)、平面向量綜合問題的分析與解決能力. 試題聚焦知識的交會，將多個知識點融會貫通，設(shè)問新穎，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

綜上所述，教師要把握高考考查從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的六個轉(zhuǎn)變，素養(yǎng)導(dǎo)向落實“四基”，制定合適的教學(xué)策略有效備考. 在日常教學(xué)中，要立足數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系;立足精準落實基礎(chǔ)，發(fā)揮教材的引領(lǐng)功能;立足知識交會綜合，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力;立足數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);立足研究高考試題，把握數(shù)學(xué)命題趨勢，凸顯教學(xué)的實效性.

參考文獻：

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