摘? 要：以“直線與直線平行”的教學(xué)為例，闡述基于發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，需要重視對(duì)幾何模型的深度開(kāi)發(fā)，以及對(duì)幾何定理證明的深入思考.

關(guān)鍵詞：直觀想象;教學(xué)實(shí)踐;幾何模型;幾何定理

學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培育，需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視對(duì)幾何模型的深度開(kāi)發(fā)和幾何定理證明的深層次思考. 對(duì)此，筆者結(jié)合“直線與直線平行”一課的教學(xué)實(shí)踐談兩點(diǎn)反思，與大家分享.

一、備課思考

1. 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課位于人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第八章第5節(jié)，是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2和基本事實(shí)3的延續(xù)，內(nèi)容包括平行的傳遞性（基本事實(shí)4）和等角定理. 平行的傳遞性是平行直線本質(zhì)屬性（方向相同）的反映，是平面內(nèi)平行的傳遞性在空間中的推廣. 平行的傳遞性連同基本事實(shí)1、基本事實(shí)2、基本事實(shí)3和三個(gè)推論，構(gòu)成了立體幾何邏輯推理的基礎(chǔ)，是空間中判斷直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行的依據(jù). 空間等角定理是由平行的傳遞性推導(dǎo)出來(lái)的，是平面等角定理在空間中的推廣，是確定異面直線所成角、二面角的平面角的理論基礎(chǔ). 本節(jié)課的內(nèi)容中蘊(yùn)含類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的重要載體.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）能類(lèi)比平面內(nèi)平行的傳遞性猜想空間中平行的傳遞性，能借助長(zhǎng)方體模型或教室等實(shí)物加以驗(yàn)證，會(huì)用平行的傳遞性解決簡(jiǎn)單的空間幾何問(wèn)題.

（2）能通過(guò)類(lèi)比平面等角定理猜想出空間等角定理，并能利用平行的傳遞性加以證明.

（3）在平行的傳遞性與等角定理的形成與應(yīng)用過(guò)程中，感悟類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

3. 教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：平行的傳遞性的形成與應(yīng)用，等角定理.

教學(xué)難點(diǎn)：如何想到構(gòu)造三角形，利用平行的傳遞性證明等角定理.

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 復(fù)習(xí)回顧，引入課題

平面內(nèi)，兩條直線有相交與平行兩種位置關(guān)系. 平行是一種特殊的位置關(guān)系，也是我們重點(diǎn)研究的對(duì)象. 空間中，平行是一種重要的位置關(guān)系，在實(shí)際生產(chǎn)與生活中有著廣泛的應(yīng)用. 而通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道直線與平面平行包括直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行三種位置關(guān)系. 本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)第一種位置關(guān)系——直線與直線平行.

【設(shè)計(jì)意圖】回顧平面內(nèi)與空間中的平行關(guān)系，這兩者共同構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的認(rèn)知基礎(chǔ)，也是本節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn). 同時(shí)，構(gòu)建兩者之間的聯(lián)系，為把平面內(nèi)平行的傳遞性和等角定理類(lèi)比推廣到空間中做好了鋪墊. 通過(guò)介紹空間中平行關(guān)系的重要性和應(yīng)用的廣泛性，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)空間平行關(guān)系的必要性，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，而且有利于明確本單元的研究對(duì)象，引入課題.

2. 類(lèi)比猜想，形成“事實(shí)”

問(wèn)題1：平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線，并且如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行. 空間中是否也具有這樣的結(jié)論呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)初中的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)知道平面內(nèi)平行的傳遞性. 到了高中，通過(guò)立體幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠感知空間與平面的一些聯(lián)系，如球與圓、正方體與正方形等. 學(xué)生能夠通過(guò)類(lèi)比形成猜想：空間中，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行. 但是這種猜想是模糊的，學(xué)生不能判定真假，需要進(jìn)一步驗(yàn)證.

問(wèn)題2：能否借助長(zhǎng)方體教室（如圖1）驗(yàn)證你的猜想？

【設(shè)計(jì)意圖】空間中平行的傳遞性作為基本事實(shí)，不需要嚴(yán)格的證明，只需要借助空間幾何體或生活中的事物舉出豐富的例子驗(yàn)證猜想，進(jìn)而歸納、概括出基本事實(shí)4，然后用三種語(yǔ)言（圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言）表征，為應(yīng)用做鋪墊.

練習(xí)1：如圖2，把一張矩形紙片對(duì)折幾次，然后打開(kāi)，得到的折痕互相平行嗎？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)猜想、驗(yàn)證、歸納、概括及表征，對(duì)空間平行的傳遞性有了一定的認(rèn)識(shí). 通過(guò)折紙，讓學(xué)生體會(huì)：要判定“折痕”平行，需要借助“折痕”與相對(duì)的矩形紙片的一邊平行，感悟平行的傳遞性所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想.

3. 學(xué)以致用，深化理解

例? 如圖3，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn). 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

追問(wèn)：什么是空間四邊形？它與平面四邊形有何不同？

思考：在該例中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？

【設(shè)計(jì)意圖】例題是平行的傳遞性在解決較復(fù)雜問(wèn)題中的應(yīng)用. 雖然學(xué)生對(duì)平面四邊形的認(rèn)識(shí)深刻，但是對(duì)空間四邊形的認(rèn)識(shí)不足，因此借助追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生對(duì)空間四邊形的思考，然后借助把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，形成空間四邊形的表象，為解決例題搭設(shè)臺(tái)階. 接著引導(dǎo)學(xué)生從平行四邊形的判定出發(fā)，構(gòu)造第三個(gè)幾何量（連接[BD]），再利用三角形的中位線性質(zhì)和平行的傳遞性解決問(wèn)題. 思考是對(duì)例題的深化.

4. 借助“事實(shí)”，證明定理

問(wèn)題3：在平面內(nèi)，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角的關(guān)系如何？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平面等角定理，回答這個(gè)問(wèn)題不難. 接著要引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出滿足條件的兩個(gè)角的所有情況，并回顧證明方法，為類(lèi)比猜想空間等角定理和尋找證明方法做鋪墊.

問(wèn)題4：在空間中，這一結(jié)論是否仍然成立？如果成立，試給出證明.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類(lèi)比，猜想空間等角定理. 再讓學(xué)生類(lèi)比平面等角定理，畫(huà)出符合條件的兩個(gè)角的所有情況，并對(duì)這幾種情況進(jìn)行分析，形成只需證明其中一種情況（兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同）即可的結(jié)論. 然后引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：要證明兩個(gè)角相等，只需要證明對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而想到構(gòu)造以這兩個(gè)三角形為上、下底面的三棱柱. 而平行的傳遞性在證明的過(guò)程中扮演著關(guān)鍵角色（三棱柱的三條側(cè)棱之間的平行的傳遞性）.

5. 課堂練習(xí)，鞏固定理

練習(xí)2：如圖4，AA，BB，CC不共面，且有AA∥BB，AA=BB，BB∥CC，BB=CC. 求證：△ABC≌△ABC.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)新知后應(yīng)用新知是必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié). 練習(xí)是理解新知、鞏固新知的一種重要的手段和形式. 練習(xí)2是對(duì)平行的傳遞性和等角定理的應(yīng)用，既可以利用三邊對(duì)應(yīng)相等證明，也可以利用兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等證明.

6. 課堂小結(jié)，總結(jié)提升

（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些思想方法？

（2）學(xué)習(xí)“基本事實(shí)4”的一般思路是什么？等角定理呢？

（3）根據(jù)“直線與直線平行”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能說(shuō)說(shuō)下節(jié)課我們應(yīng)該學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容嗎？你能設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的一般思路嗎？它們與本節(jié)課有何聯(lián)系？

【設(shè)計(jì)意圖】從基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法及研究問(wèn)題的思路三個(gè)方面加以提煉、總結(jié)，并從前后聯(lián)系的角度設(shè)計(jì)第三個(gè)問(wèn)題，為下節(jié)課預(yù)熱.

三、教后反思

直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一. 它不是幾何直觀與空間想象的簡(jiǎn)單組合，而是空間想象、空間觀念與幾何直觀的有機(jī)整合. 就本節(jié)課而言，基于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，還有需要提升的地方.

1. 對(duì)幾何模型的開(kāi)發(fā)有待進(jìn)一步深化

表象是人腦對(duì)當(dāng)前沒(méi)有直接作用于感覺(jué)器官的、以前感知過(guò)的事物形象的反映. 學(xué)生頭腦中的幾何圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式等都是數(shù)學(xué)表象. 數(shù)學(xué)表象是幾何直觀的結(jié)果，也是空間想象的開(kāi)始. 直觀想象形成的一個(gè)重要階段就是把學(xué)生已有的數(shù)學(xué)表象經(jīng)過(guò)加工、改造形成新的數(shù)學(xué)表象. 在這個(gè)過(guò)程中，需要經(jīng)過(guò)平行、旋轉(zhuǎn)、分拆、重組等一系列的操作，并且表象操作的豐富程度直接影響新表象的存儲(chǔ)與提取.

在本節(jié)課之前，學(xué)生頭腦中呈現(xiàn)的平行的傳遞性是二維狀態(tài)下的，現(xiàn)在要把它推廣到三維空間，中間需要經(jīng)過(guò)舉證豐富的例子. 所舉例子的質(zhì)量與豐富程度對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)空間中平行的傳遞性的形成與應(yīng)用影響很大. 在本節(jié)課上，筆者利用GeoGebra軟件展示長(zhǎng)方體（圖1），在學(xué)生給出“因?yàn)锳A∥BB，CC∥BB，所以AA∥CC”之后，筆者就把學(xué)生的視線引到教室中. 顯然，這樣做沒(méi)有充分發(fā)揮長(zhǎng)方體模型的作用. 事實(shí)上，長(zhǎng)方體有12條棱，把相對(duì)的4條棱作為一組. 在該組內(nèi)，它們兩兩平行，因此可以把任意三條棱作為空間中平行的傳遞性的例子. 也可以把相對(duì)（或相鄰）的2條棱的中點(diǎn)連接起來(lái)，把對(duì)應(yīng)的面對(duì)角線也連接起來(lái)，構(gòu)成所需要的例子. 當(dāng)然，借助教室舉例，不只是舉相鄰的兩面墻的交線平行的例子，也可以以桌子、電棒等進(jìn)行舉例. 更進(jìn)一步，還可以把學(xué)生的眼光從教室內(nèi)移到校園內(nèi)，甚至校園外，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力，引導(dǎo)學(xué)生舉出豐富而又合適的例子. 例證的載體從圖形到實(shí)物再到幾何表象，真正放飛學(xué)生的直觀與想象，把直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.

2. 對(duì)幾何命題的證明有待進(jìn)一步考量

在“借助‘事實(shí)，證明定理”環(huán)節(jié)，為了啟迪學(xué)生證明空間等角定理的思路，筆者讓學(xué)生先回答平面等角定理，再畫(huà)出符合條件的圖形（圖5），并把四種情況歸為第一種情況（圖5（a））.

然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生給出了如下證明.

已知：如圖5（a），AB∥AB，AC∥AC，求證：∠BAC=∠BAC.

證明：如圖6，分別在∠BAC和∠BAC的兩條邊上截取線段AB，AC，AB，AC，使得AB=AB，AC=AC.連接BC，BC，只需證明△ABC≌△ABC.

再連接AA，BB，CC.

因?yàn)锳B∥AB，AB=AB，AC∥AC，AC=AC，

所以四邊形[AABB]和四邊形AACC都是平行四邊形.

所以AA∥BB且AA=BB，AA∥CC且AA=CC.

所以BB∥CC且BB=CC.

所以四邊形BBCC是平行四邊形.

所以BC=BC.

所以△ABC≌△ABC.

所以∠BAC=∠BAC.

最后，類(lèi)比上述證明過(guò)程，讓學(xué)生自主探究空間等角定理的證明方法.

然而，從課堂反饋來(lái)看，教學(xué)效果并不理想. 一方面，雖然筆者不斷引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建證明問(wèn)題的思路，但是基本上都是自問(wèn)自答，學(xué)生很少響應(yīng);另一方面，由于這個(gè)證明的過(guò)程花費(fèi)時(shí)間較多，導(dǎo)致能夠用于空間等角定理生成的時(shí)間較少，沒(méi)有充分的時(shí)間展開(kāi)后面的教學(xué)環(huán)節(jié).

在評(píng)課環(huán)節(jié)，專家也指出了這個(gè)問(wèn)題：該證明方法并非初中學(xué)生所學(xué)的平面等角定理的證明方法，盡管能夠證明平面等角定理，但是并非最優(yōu)選擇. 這也暴露出筆者在沒(méi)有深入研究初、高中相關(guān)內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系的情況下，強(qiáng)行植入“創(chuàng)造”的證明方法，沒(méi)有真正領(lǐng)會(huì)類(lèi)比的精髓. 為了類(lèi)比而類(lèi)比，無(wú)疑加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 這個(gè)問(wèn)題值得深刻反思.

事實(shí)上，空間等角定理是平面等角定理的推廣，兩者既有聯(lián)系也有差異. 在內(nèi)容上，雖然兩者都是“如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，但是平面等角定理強(qiáng)調(diào)的是二維平面，空間等角定理強(qiáng)調(diào)的是三維空間. 在證明方法上，雖然兩者都是把四種情況（圖5）化歸為一種情況（圖5（a）），但是平面等角定理是連接兩個(gè)角的頂點(diǎn)構(gòu)造同位角來(lái)解決，空間等角定理是連接兩個(gè)角的頂點(diǎn)及對(duì)應(yīng)邊的點(diǎn)構(gòu)造三棱柱進(jìn)行處理.

總之，基于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，教師要認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生、研究技術(shù)、研究教學(xué)，合理設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中去，讓學(xué)生在收獲知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]柳軍，安振亞. 從一道幾何題談直觀想象素養(yǎng)的落實(shí)[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（5）：56-59.

[2]戴麗云，謝惠良. 表象[?]直感[?]想象：形象思維能力培養(yǎng)的教學(xué)研究[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2014（12）：9-12.

[3]馮靜，許亞桃，吳立寶. 高中生直觀想象素養(yǎng)的形成機(jī)制研究[J]. 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，35（8）：27-31，35.