王銳　曲巍　吳麗華

摘? 要：2022年高考對概率與統(tǒng)計的考查，突出《中國高考評價體系》“一核、四層、四翼”的功能與要求，立足“四基”“四能”，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 試題對學(xué)生的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)提出了較高要求，發(fā)揮了正確的育人導(dǎo)向作用.

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計;計數(shù)原理;高考數(shù)學(xué);核心素養(yǎng)

概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程之中. 與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》相比，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中概率與統(tǒng)計部分課程內(nèi)容的設(shè)置有所增加，要求有所提升. 2022年高考數(shù)學(xué)全國卷（全國甲卷文、理科，全國乙卷文、理科，全國新高考Ⅰ卷，全國新高考Ⅱ卷）和地方卷（天津卷、北京卷、浙江卷、上海卷）對概率與統(tǒng)計知識的考查，沿襲了近幾年的特點. 基于《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》），聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，結(jié)合人類生產(chǎn)和生活實際，以豐富的實際背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，考查學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力.

一、考查內(nèi)容分析

2022年高考概率與統(tǒng)計試題堅持知識為基、能力為重、素養(yǎng)導(dǎo)向和價值引領(lǐng)的命題原則，深化基礎(chǔ)性，增強開放性和靈活性，對學(xué)生的邏輯思維、運算求解、數(shù)學(xué)建模和創(chuàng)新等關(guān)鍵能力進行了全面考查.

1. 考查內(nèi)容概述

2022年高考概率與統(tǒng)計試題的主要考查內(nèi)容，如表1所示.

從考查內(nèi)容的特點來看，試題緊緊圍繞概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，著力考查學(xué)生運用概率與統(tǒng)計的知識與方法分析問題和解決問題的能力，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出綜合性和應(yīng)用性. 較好地檢驗了學(xué)生是否已經(jīng)具備運用概率與統(tǒng)計的基本思想和方法解決實際問題的能力.

2. 具體考點分析

2022年高考概率與統(tǒng)計試題的具體考查情況，如表2所示.

（1）考點較為集中，差異小幅度提升.

從表2可以看出，6份全國卷中，除全國新高考Ⅱ卷外，其余5份試卷都對古典概型進行了考查;有4份試卷（全國甲卷文科，全國乙卷文、理科，全國新高考Ⅱ卷）考查了用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征. 與2021年相比，全國甲卷文、理科的解答題差異化較明顯（2021年完全相同）. 北京卷、天津卷、浙江卷繼續(xù)對二項式定理進行了考查（此內(nèi)容近年來已連續(xù)出現(xiàn)），浙江卷和北京卷持續(xù)考查了隨機變量的分布列和期望.

（2）分值保持相等，題型比較全面.

6份全國卷中，概率與統(tǒng)計試題所占分值均為22分，均設(shè)有兩道客觀題和一道主觀題，與2021年基本持平. 4份地方卷中，概率與統(tǒng)計試題所占分值略有不同：上海卷最少，僅為5分;北京卷18分;浙江卷12分，與2021年概率與統(tǒng)計試題所占的分值相比無明顯變化;天津卷則有所下降，2022年10分，2021年15分.

6份全國卷中，概率與統(tǒng)計試題均涵蓋了選擇題、填空題和解答題，題型較全面，與2021年相比有所變化（2021年均未涉及填空題）;地方卷則延續(xù)了2021年的題型設(shè)置，僅北京卷在解答題中出現(xiàn)，上海卷、天津卷和浙江卷全部以填空題為主要考查形式.

（3）難度總體穩(wěn)定，突出通性、通法.

2022年高考概率與統(tǒng)計試題注重對“四基”“四能”的考查，關(guān)注學(xué)生未來發(fā)展所需的必備品格與關(guān)鍵能力. 試題面向全體學(xué)生，難度適中，多為中檔偏下試題，突出用基本概念、公式、定理解決問題的常規(guī)方法，注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

2022年高考概率與統(tǒng)計試題緊緊圍繞生產(chǎn)與生活實際，落實立德樹人根本任務(wù)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 例如，試題中既有公益講座、垃圾分類、社區(qū)服務(wù)和環(huán)境治理等凸顯社會主義核心價值觀的背景，又有比賽結(jié)果預(yù)測、患病預(yù)測等數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的背景，具有鮮明的時代特色和應(yīng)用性. 試題較全面地考查了概率與統(tǒng)計內(nèi)容的核心思想和概念，較好地檢測了學(xué)生的“四基”“四能”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1. 立足夯實“四基”，強化理解記憶

對于基礎(chǔ)的考查，永遠(yuǎn)都不會停滯. 在時代發(fā)展的需求下，考查方式與時俱進，推陳出新，更加靈活多變. 因此，在教學(xué)與復(fù)習(xí)中，要以夯實學(xué)生“四基”為首要任務(wù)，依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，開展針對性的精準(zhǔn)復(fù)習(xí). 要強化學(xué)生對基本概念、基本原理和基本性質(zhì)的理解性記憶，幫助學(xué)生掌握解決問題的基本方法. 對于基礎(chǔ)性問題（如計數(shù)原理），不要人為提高難度.

在此過程中，要特別注重對教材的使用. 作為高考數(shù)學(xué)命題的重要參考之一，教材在復(fù)習(xí)中具有不可替代的作用. 教師要利用好教材的引領(lǐng)功能：在重現(xiàn)教材例題的過程中規(guī)范答題步驟與格式，在重練教材重點習(xí)題的過程中夯實通性、通法. 同時，要關(guān)注教材內(nèi)容的變化. 例如，相關(guān)系數(shù)公式的推導(dǎo)，在新教材中已經(jīng)完整給出，這為學(xué)生深入理解公式提供了源泉.

2. 立足發(fā)展“四能”，強化思想提升

近年來，高考數(shù)學(xué)試題的命制正在朝著淡化解題技巧的“反套路”方向邁進，對學(xué)生“四能”的要求逐步提升. 而概率與統(tǒng)計試題正是發(fā)展學(xué)生“四能”的有效載體. 該專題的復(fù)習(xí)切忌題型套路的教學(xué). 否則，學(xué)生一旦面對新的問題情境，就會顯得茫然不知所措. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生隨機思想、抽樣思想和統(tǒng)計推斷思想等概率統(tǒng)計思想的提升，注重引導(dǎo)學(xué)生用概率統(tǒng)計的思想分析問題，真正理解問題的本質(zhì). 例如，用樣本信息估計總體信息是統(tǒng)計學(xué)的基本思想，也是近幾年高考中的高頻考點. 我們不僅可以通過畫圖、列表和計算等方式發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的規(guī)律，提取樣本數(shù)據(jù)中的全部信息，還可以通過計算概率來判斷一個推斷正誤的概率，這都是統(tǒng)計推斷思想的應(yīng)用;要圍繞抽象、推理和模型這三個數(shù)學(xué)基本思想的核心要素逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)、建立學(xué)生用概率與統(tǒng)計思想分析、解決問題的能力和習(xí)慣;要結(jié)合實際，使用不同的方法選擇、統(tǒng)計和分析數(shù)據(jù)，建立合適的數(shù)學(xué)模型，切實提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

3. 立足體系架構(gòu)，強化融會貫通

復(fù)習(xí)中要著重加強對知識的梳理，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念的內(nèi)涵和外延，將零散的知識點排序歸類，集點成線、集線成面、集面成體，構(gòu)建完整的知識框架，厘清各知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成清晰的知識體系. 以統(tǒng)計為例，必修課程內(nèi)容主要是關(guān)于單變量總體的估計，如通過樣本數(shù)據(jù)的均值、方差和百分位數(shù)估計總體相應(yīng)的數(shù)字特征;而在選擇性必修課程中，仍然沿用樣本估計總體的基本思想展開研究，只是數(shù)據(jù)由一維變?yōu)槎S，總體由單變量變成雙變量. 通過樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的關(guān)系，通過[K2]統(tǒng)計量檢驗兩個分類變量的獨立性，都是關(guān)于兩個變量的總體估計.

4. 立足核心素養(yǎng)，強化數(shù)學(xué)本質(zhì)

高考概率與統(tǒng)計試題的命制常以現(xiàn)實生活中的實際背景為情境，文字量大，信息眾多，對學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有較高要求. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)概念解讀具體問題和提煉數(shù)學(xué)信息的能力，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，著力增強學(xué)生對概率事件的識別與計算能力，強化學(xué)生的統(tǒng)計推斷思維，重視學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升.

四、典型模擬題

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