摘要 關(guān)系性理解是指兒童對數(shù)學(xué)知識的意義和獲得意義的途徑、規(guī)則的邏輯依據(jù)有深刻的認(rèn)識，能理清數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)各組成要素之間相互聯(lián)系、相互作用的方式。關(guān)系性理解是學(xué)生具備良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，也是學(xué)生成長和發(fā)展的必備能力，教師應(yīng)當(dāng)通過有層次、系統(tǒng)化的課堂教學(xué)，幫助學(xué)生形成關(guān)系性理解的能力。

關(guān)? 鍵? 詞 關(guān)系性理解 整體教學(xué) 小學(xué)數(shù)學(xué)

引用格式 朱俊華.指向兒童關(guān)系性理解的數(shù)學(xué)整體教學(xué)[J].教學(xué)與管理，2022（29）：37-39.

整體教學(xué)，是立足兒童核心素養(yǎng)發(fā)展，基于核心知識，以具有現(xiàn)實意義的數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向，凝練學(xué)習(xí)主題，建構(gòu)整體關(guān)聯(lián)的兒童學(xué)習(xí)生態(tài)。小學(xué)數(shù)學(xué)整體教學(xué)兼顧兒童經(jīng)驗、現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)知識的整體關(guān)聯(lián)，尤其強(qiáng)調(diào)兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位，其中比較重要的是兒童對數(shù)學(xué)知識的關(guān)系性理解。

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的抽象、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象和研究對象之間的關(guān)系。”[1]數(shù)學(xué)教學(xué)離不開關(guān)系性理解，它是指兒童對數(shù)學(xué)知識的意義和獲得意義的途徑、規(guī)則的邏輯依據(jù)有深刻的認(rèn)識，能理清數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)各組成要素之間相互聯(lián)系、相互作用的方式[2]。史寧中教授也說：“通過數(shù)學(xué)的眼光，可以從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，也能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對象，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)?！彼?，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握相關(guān)知識，更要讓他們理解知識的形成過程，并在此過程中理順知識的來龍去脈，搞清楚知識的生長點和延伸點，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知。

一、從點狀散布到整體設(shè)計，找準(zhǔn)起點布全局

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)存在著碎片化的主要原因是割裂了學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗，教師在教授每一課時內(nèi)容時，沒有梳理清楚知識的前因后果，沒有調(diào)查學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)，也不知道學(xué)生后續(xù)的發(fā)展水平。喻平教授強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分難以在單個知識點上表現(xiàn)出來，它往往隱藏在知識體系和知識結(jié)構(gòu)之中。”[3]數(shù)學(xué)教學(xué)要立足學(xué)生的經(jīng)驗，整體設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)知識與知識之間的相互聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生對現(xiàn)有知識的理解基礎(chǔ)和可能發(fā)展程度。因此，教學(xué)時要找準(zhǔn)起點布全局，力求在大概念統(tǒng)攝下開展數(shù)學(xué)教學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)是以運算學(xué)習(xí)為主線，而運算是由算法和算理兩部分組成，算法是按照一定規(guī)則制定的運算程序或步驟，算理是算法的原理。如果只是讓兒童掌握算法不理解算理，那就不能稱之為關(guān)系性理解。教學(xué)時，教師不僅要幫助學(xué)生搞清楚怎么算，更要通過各種表征方法幫助他們理解為什么要這樣算，也就是要讓兒童理解為什么有這樣的運算程序。因為，兒童只有在掌握算法過程中明晰了算理，搞清楚算法與算理之間的關(guān)系，才能達(dá)到關(guān)系性理解水平，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也才有意義。

比如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“混合運算”?！盎旌线\算”是“數(shù)的運算”教學(xué)中的節(jié)點內(nèi)容，是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)四則混合運算的起始課，也是種子課。本節(jié)課主要聚焦“運算順序”，讓學(xué)生通過自主嘗試、畫圖表征、語言表達(dá)等方式，結(jié)合生活中購買物品的場景整體理解算理和算法。在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過連加、連減、加減混合，以及乘加、乘減的混合運算，只不過二年級沒有揭示混合運算這個概念，學(xué)生也逐漸形成了“從左往右算”的思維定勢。所以，本節(jié)課的教學(xué)完全可以從學(xué)生的已有認(rèn)知起點出發(fā)，通過兩組計算題（一組是連加連減，另一組是加減、乘加混合）的對比，讓學(xué)生理解什么是混合運算，并且感受到混合運算都是有運算順序的，雖然他們只知道從左往右依次計算。教師通過創(chuàng)設(shè)購買文具的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生列綜合算式解決：“買3本筆記本和1個書包一共需要多少元？”“買1盒水彩筆，付出50元，應(yīng)找回多少元？”等問題。經(jīng)過自主探究、合作交流、集體討論等方式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式中有乘法和加減法，要先算乘法。難道以前發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是錯的？當(dāng)學(xué)生把今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容和以前的算式進(jìn)行對比，就會發(fā)現(xiàn)二年級的乘加、乘減都是乘法在前面，所以可以從左往右算，其實和今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容并不矛盾，也是先算乘法，后算加減法。

當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到矛盾時，就說明新學(xué)習(xí)的知識和學(xué)生的原有認(rèn)知產(chǎn)生了沖突，教師要舍得給予時間，放慢教學(xué)的腳步，讓學(xué)生去理順相互之間的關(guān)系，慢慢感悟，深刻理解。學(xué)生經(jīng)過辨析、表征、講理后，一定會發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，獲得新的經(jīng)驗。

二、從被動接受到發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，創(chuàng)設(shè)問題引探究

當(dāng)下，小學(xué)數(shù)學(xué)更加強(qiáng)調(diào)大概念統(tǒng)整下的整體教學(xué)。所謂大概念，并非指數(shù)學(xué)某一知識的具體概念，而是指反映數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的、相對穩(wěn)定的、有共識性和統(tǒng)領(lǐng)性的核心觀點。具體落實到課堂教學(xué)中，是引發(fā)學(xué)生持續(xù)思考和探究的核心問題，核心問題能夠?qū)挿旱拇蟾拍钆c數(shù)學(xué)具體的知識相關(guān)聯(lián)，把抽象的學(xué)科大概念“翻譯”成學(xué)生看得懂、易探究的數(shù)學(xué)問題。

比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的“釘子板上的多邊形”，是一節(jié)探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動課，對小學(xué)生而言，這節(jié)課涉及的規(guī)律相對比較隱蔽，如果直接讓學(xué)生探究，他們根本無法下手。這就需要教師在教學(xué)過程中適時創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)他們的探究欲望。為此，筆者創(chuàng)設(shè)了兩個具有進(jìn)階性的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在問題的引領(lǐng)下自然而然地開展各種數(shù)學(xué)活動。首先，提供給學(xué)生的是釘子板上的幾組平面圖形，并且這些圖形的相同點是每個圖形里面都只有一顆釘子，這時教師出示第一個問題：這些圖形的面積與圖形邊上的釘子數(shù)有關(guān)系嗎？會有什么關(guān)系呢？這個問題一下子觸發(fā)了學(xué)生研究的欲望，他們通過操作、探究、討論，發(fā)現(xiàn)所有平面圖形邊上的釘子數(shù)都是它面積的2倍，第一個規(guī)律迎刃而解。正當(dāng)學(xué)生以為完成任務(wù)時，教師趁熱打鐵，拋出二個問題：難道釘子板上圖形的面積只與圖形邊上的釘子數(shù)有關(guān)？與圖形內(nèi)部的釘子數(shù)有沒有關(guān)系呢？顯然，這個問題再一次打破了學(xué)生的固有思維，并激發(fā)他們繼續(xù)研究。這一次學(xué)生自己在釘子板上圍不同的平面圖形，有的組研究圖形內(nèi)部有2顆釘子，有的組研究圖形內(nèi)部有3顆釘子……經(jīng)過小組探究、全班交流，同學(xué)們驚喜地發(fā)現(xiàn)了圖形內(nèi)部釘子數(shù)也會影響圖形邊上釘子數(shù)和面積之間的關(guān)系，再把這些規(guī)律進(jìn)行對比、歸納、總結(jié)，最后發(fā)現(xiàn)了釘子板上平面圖形邊上釘子數(shù)與面積的關(guān)系。

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來都不是割裂的，因為數(shù)學(xué)知識之間本身就是相互關(guān)聯(lián)的統(tǒng)一體，教學(xué)就是要幫助學(xué)生找到知識之間相互聯(lián)系的“媒介”，那就是兒童的關(guān)系性理解?；陉P(guān)系性理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生克服思維惰性，主動建立知識、方法和思想之間的相互聯(lián)系，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，形成結(jié)構(gòu)體系，也能夠幫助學(xué)生主動探究知識、建構(gòu)知識，有效地掌握知識、形成技能。

三、從零敲碎打到任務(wù)關(guān)聯(lián)，抓住聯(lián)系促建構(gòu)

鄭毓信教授說：“基礎(chǔ)知識的教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián);基本技能的教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求變?！盵4]世界是一個普遍聯(lián)系的有機(jī)整體，任何事物都不可能孤立存在。尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，無論是基本概念、學(xué)習(xí)方法還是數(shù)學(xué)思想都是互相聯(lián)系的有機(jī)整體。教學(xué)時，教師既要把握數(shù)學(xué)知識體系中各要素之間的關(guān)系，使點狀的知識點成為網(wǎng)狀的知識面，再形成縱橫融通的知識體;還要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)聯(lián)，通過多元表征的思維方式，對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行系統(tǒng)的建構(gòu)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)化。要想實現(xiàn)知識和思想的關(guān)聯(lián)，課堂上就要有關(guān)聯(lián)性任務(wù)驅(qū)動學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，關(guān)聯(lián)性任務(wù)要求不同的任務(wù)之間要有關(guān)聯(lián)、要有層次，學(xué)生看似完成了幾個任務(wù)，但是這些任務(wù)具有連續(xù)性和一致性，是不斷進(jìn)階的任務(wù)群。

比如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“找規(guī)律”，本課的規(guī)律是“一一間隔排列”，學(xué)生已經(jīng)積累了大量的具有一一間隔排列規(guī)律的生活經(jīng)驗，只不過這樣的經(jīng)驗還處于無意識狀態(tài)。如何幫助學(xué)生理解與建構(gòu)一一間隔排列物體的內(nèi)在數(shù)學(xué)規(guī)律是本節(jié)課的教學(xué)重點。所以，教師要通過結(jié)構(gòu)化、進(jìn)階性數(shù)學(xué)活動幫助學(xué)生建立起知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終獲得經(jīng)驗的生長。教學(xué)時，筆者創(chuàng)設(shè)了三個有層次的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生自主探索規(guī)律。任務(wù)一（發(fā)現(xiàn)規(guī)律）：以下物體排列有什么規(guī)律？通過大量生活中排列物體，讓學(xué)生觀察、討論、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，最后他們發(fā)現(xiàn)兩種物體都是一個隔著一個間隔排列的。任務(wù)二（探索規(guī)律）：能組成一一間隔排列的兩種物體在數(shù)量上有什么要求？教師提供給學(xué)生相關(guān)研究的素材，如五名男生和幾名女生可以組成一一間隔排列？學(xué)生經(jīng)過猜想、操作、交流、展示等活動，發(fā)現(xiàn)兩種物體要么數(shù)量相差1，要么數(shù)量相等，否則就不可能一一間隔排列。任務(wù)三（理解規(guī)律）：一一間隔排列中，數(shù)量相差1或者數(shù)量相等的兩種物體排列上有什么不同？學(xué)生通過任務(wù)一的素材，經(jīng)過找一找、圈一圈、說一說等活動，發(fā)現(xiàn)兩端物體相同時數(shù)量相差1，兩端物體不同時數(shù)量相等。

數(shù)學(xué)知識本身是有邏輯結(jié)構(gòu)的，但呈現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容上卻是一個個具體的知識點，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生抓住核心知識，從大概念入手把相關(guān)知識聯(lián)系起來思考，進(jìn)行知識的系統(tǒng)梳理、概括并形成框架。當(dāng)學(xué)生能夠理順知識的前后關(guān)系，建立知識的結(jié)構(gòu)體系后，便可以理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，更好地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

四、從機(jī)械模仿到靈活運用，深度理解助遷移

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，需要避免簡單記憶和機(jī)械模仿，重要的是要讓他們經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程，并通過多種多樣的表征方式，豐富知識的外延，深刻理解知識的內(nèi)涵。整體教學(xué)的過程中必然伴隨著學(xué)生的關(guān)系性理解，包括學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念、規(guī)律、思想方法的各種關(guān)系的把握和深刻認(rèn)識。因為數(shù)學(xué)的基本概念、規(guī)律、思想方法本身就是一個有機(jī)的整體，這個整體并不是簡單的堆砌和羅列，而是前后縱橫交錯，各部分緊密關(guān)聯(lián)、螺旋上升、循序漸進(jìn)的統(tǒng)一體。

比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的“多邊形面積”，教材先后安排了平行四邊形、三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)，尤其是第一課時平行四邊形面積推導(dǎo)的方法與后面兩個圖形表面上是不一樣的，但本質(zhì)上是一致的，都是通過“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法把未知的圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形。教學(xué)時要關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解以及不同圖形之間關(guān)系的梳理。平行四邊形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)就要力求做到“立結(jié)構(gòu)”，讓學(xué)生通過猜想、操作、驗證、總結(jié)等活動，建立平行四邊形和長方形面積之間的聯(lián)系，并理解變化前后圖形相關(guān)元素之間的關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。與此同時，讓學(xué)生及時反思并總結(jié)公式推導(dǎo)的一般方法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。當(dāng)學(xué)生帶著這樣的經(jīng)驗學(xué)習(xí)三角形和梯形面積公式推導(dǎo)時就水到渠成了，此時，教師完全可以放手讓學(xué)生獨立思考，自己想辦法推導(dǎo)這兩個圖形的面積公式。比如，三角形面積計算公式推導(dǎo)，學(xué)生既可以使用“以盈補(bǔ)虛”的割補(bǔ)法，也可以將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，無論使用哪種方法，都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，都是把未知圖形轉(zhuǎn)化為已知圖形進(jìn)行知識的自主建構(gòu)。學(xué)生有了這樣豐富的經(jīng)驗，今后再學(xué)習(xí)其他平面圖形面積計算公式的推導(dǎo)就可以舉一反三，靈活遷移了。

總之，建立整體教學(xué)觀念，就是要把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心要素，幫助學(xué)生提高關(guān)系性理解的能力，建立起數(shù)學(xué)知識的“大結(jié)構(gòu)”，打通經(jīng)驗的“隔斷墻”，讓每一個孤立的知識、方法、思維相互串聯(lián)、融會貫通。

參考文獻(xiàn)

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[4] 鄭毓信.新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015：5.

[責(zé)任編輯：郭振玲]