摘要 “量與計(jì)量”是人教版數(shù)學(xué)教材的重要組成部分。在厘清小學(xué)階段“量與計(jì)量”各知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系，對(duì)“量與計(jì)量”教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類比較后，結(jié)合這部分內(nèi)容在教學(xué)方法上的相似性，實(shí)現(xiàn)教法和學(xué)法的結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而努力建構(gòu)起“量與計(jì)量”的結(jié)構(gòu)體系，組織相應(yīng)的學(xué)習(xí)系統(tǒng)，從而促進(jìn)知識(shí)、思維、方法上的整體建構(gòu)。

關(guān)? 鍵? 詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 量與計(jì)量 知識(shí)結(jié)構(gòu)化 內(nèi)容結(jié)構(gòu)化 教法結(jié)構(gòu)化 學(xué)法結(jié)構(gòu)化

引用格式 王海巧.小學(xué)數(shù)學(xué)“量與計(jì)量”的結(jié)構(gòu)化教與學(xué)[J].教學(xué)與管理，2022（29）：40-43.

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是根據(jù)知識(shí)的形成規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，通過(guò)溝通各元素間的聯(lián)系來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)的一種方法[1]?！傲颗c計(jì)量”是人教版數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，其教學(xué)內(nèi)容繁多，分布于各冊(cè)數(shù)學(xué)教材，又因其大多呈“小單元”編排，教學(xué)時(shí)極易出現(xiàn)浮于表面、重復(fù)零散化、忽略教材聯(lián)系等低效現(xiàn)象。數(shù)學(xué)是一門有結(jié)構(gòu)的學(xué)科，教師如何關(guān)聯(lián)統(tǒng)整“量與計(jì)量”各版塊的知識(shí)、思維和方法，合理劃分教學(xué)內(nèi)容？教學(xué)方法是相似的，如何從不同的視角出發(fā)，采用靈活的處理方式，合理架構(gòu)各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的活動(dòng)序列？如何突破“量與計(jì)量”的教學(xué)難點(diǎn)？本文試著從這些方面入手，提高全景維度上的整合能力，努力建構(gòu)起“量與計(jì)量”的結(jié)構(gòu)體系，組織相應(yīng)的學(xué)習(xí)系統(tǒng)，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)力、實(shí)踐力的整體提升。

一、綜觀全局，整體梳理

1.從“點(diǎn)狀”到“網(wǎng)狀”的知識(shí)結(jié)構(gòu)化

在人教版數(shù)學(xué)教材中，“量與計(jì)量”的內(nèi)容呈“散點(diǎn)式”分布于各冊(cè)教材。教材從一年級(jí)下冊(cè)開(kāi)始編排相關(guān)內(nèi)容，由淺入深又相互關(guān)聯(lián)，1—3年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容主要與數(shù)量運(yùn)算相關(guān)，4—6年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容主要與圖形測(cè)量有關(guān)?！傲颗c計(jì)量”的學(xué)習(xí)內(nèi)容抽象且零散，如果教師在教學(xué)中只注意一個(gè)課時(shí)，只關(guān)注一個(gè)點(diǎn)，忽略教材內(nèi)容的上下聯(lián)通，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生碎片化地理解知識(shí)。教師應(yīng)站在更高更全面的角度去剖析教材中的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，找到其中的相同和不同之處，找尋其中的關(guān)聯(lián)（見(jiàn)表1）。

（1）同一體系的連續(xù)性?？v向上看，二年級(jí)上冊(cè)的厘米、米和三年級(jí)上冊(cè)的分米、毫米、千米同屬長(zhǎng)度單位這一體系，往長(zhǎng)遠(yuǎn)看，長(zhǎng)度、面積、體積單位的知識(shí)從一維到二維、三維螺旋上升、層層遞進(jìn)，屬于同一體系，具有連續(xù)性。長(zhǎng)度是測(cè)量一維空間，主要測(cè)量線段，出現(xiàn)曲線時(shí)，需要化曲為直。“線—面—體”的形成過(guò)程，則對(duì)應(yīng)一維、二維、三維的空間觀念。同時(shí)，三者的度量又以一維的長(zhǎng)度測(cè)量為基礎(chǔ)，先學(xué)會(huì)測(cè)量長(zhǎng)，再測(cè)量二維的長(zhǎng)、寬，再到測(cè)量三維的長(zhǎng)、寬、高。

（2）不同體系的統(tǒng)一性。單位的出現(xiàn)源于人類發(fā)展的需要，計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)歷了多樣性，比如“一拃”“一庹”“一步”等，最后計(jì)量單位產(chǎn)生了統(tǒng)一的必要性。不同的體系有不同的計(jì)量工具，如尺、秤、量角器、鐘表等，盡管屬性各異，但計(jì)量工具上都有度量起點(diǎn)“0”、刻度、數(shù)量這三個(gè)要素。

（3）不同領(lǐng)域的相融性。度量包括計(jì)量和計(jì)數(shù)，計(jì)量注重量感的形成，是具體化的度量;計(jì)數(shù)注重?cái)?shù)感的形成，是抽象的度量。把量抽象化、符號(hào)化后可用數(shù)來(lái)表示;數(shù)是由量抽象而來(lái)的，把數(shù)具體化，可用量來(lái)表達(dá)[2]。計(jì)量和計(jì)數(shù)屬于不同的領(lǐng)域，但是他們的單位也是相通的。

2.從“局部”到“整體”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化

“量與計(jì)量”包含的七種量按照內(nèi)容分類劃分，可分為三大類：經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)型（貨幣、時(shí)間、質(zhì)量）、度量操作型（長(zhǎng)度、面積、體（容）積）、抽象勾連型（角），七種量的進(jìn)率既有區(qū)別又有聯(lián)系。

（1）經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)型?！傲颗c計(jì)量”中的貨幣、時(shí)間、質(zhì)量的學(xué)習(xí)都要聯(lián)系日常生活，其中貨幣、時(shí)間重在生活中提前孕伏，在課前布置預(yù)習(xí)單（如年月日的認(rèn)識(shí)），讓學(xué)生積極去認(rèn)識(shí)單位以及相互間的換算，并最終應(yīng)用于解決實(shí)際情境中的問(wèn)題。而質(zhì)量的學(xué)習(xí)重在建立生活經(jīng)驗(yàn)，除了認(rèn)識(shí)質(zhì)量單位和換算，還要學(xué)會(huì)用測(cè)量工具比較和測(cè)量物體質(zhì)量，并學(xué)會(huì)估計(jì)。

（2）度量操作型?！傲颗c計(jì)量”中的長(zhǎng)度、面積、體積同屬度量操作范疇，需要學(xué)生經(jīng)歷多次測(cè)量活動(dòng)，使他們體驗(yàn)從具體到抽象的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。長(zhǎng)度的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生體會(huì)尺子的產(chǎn)生過(guò)程。面積單位的學(xué)習(xí)中主要是平方米和平方厘米，其中平方千米和公頃是難點(diǎn)，需要引入“平方十米”，突破學(xué)生思維的斷層，順利和長(zhǎng)度單位鏈接。比如由面積單位中的1平方米很容易想到對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位1米，1平方分米想到1分米，1平方厘米想到1厘米，1平方千米想到1千米。而1公頃的出現(xiàn)，學(xué)生不知道與它對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位是什么。其實(shí)，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解面積1公頃的正方形的邊長(zhǎng)是100米，需要引入“1十米”，學(xué)生就比較容易理解1公頃。1公頃介于“1平方十米”和1平方千米之間，相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位也介于“1十米”和1千米之間。體積是抽象的，指物體所占空間的大小，可以從外面去測(cè)量;容積是學(xué)生日常生活中接觸到的量，指容器能容納物體的大小，從容器的里面去測(cè)量。體積單位和容積單位相互區(qū)別又相互聯(lián)系，計(jì)量杯子的容積時(shí)一般就用所盛液體的體積單位，杯子內(nèi)水的體積就是杯子的容積。

（3）抽象勾連型。“量與計(jì)量”中的角無(wú)體系，需和長(zhǎng)度、面積發(fā)生勾連。比如“認(rèn)識(shí)厘米”和“角的度量”可以聯(lián)系起來(lái)，教學(xué)“認(rèn)識(shí)厘米”時(shí)有三問(wèn)：測(cè)量線段的工具是什么？怎樣測(cè)量線段？為什么不同的測(cè)量方法都可以量出線段？這三問(wèn)同樣適合于“角的度量”的教學(xué)，二者的測(cè)量工具構(gòu)造原理一樣，尺子的產(chǎn)生過(guò)程是量角器誕生的基礎(chǔ)。

七種量的進(jìn)率都不同，其中長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位同屬一體系，進(jìn)率分別是10、100和1 000。角的單位是度，和其他沒(méi)有關(guān)聯(lián)。時(shí)間單位的進(jìn)率比較特殊，有60、24、28、29、30、31、12，還有一年=365/366天。進(jìn)率都是10的是長(zhǎng)度和貨幣單位，因此長(zhǎng)度單位的學(xué)習(xí)需與貨幣單位相關(guān)聯(lián);體（容）積和質(zhì)量單位的進(jìn)率是1 000，容積與質(zhì)量相關(guān)，比如1升水重1千克。人民幣的學(xué)習(xí)中學(xué)生在理解等價(jià)關(guān)系1元=10角，10元=100角的基礎(chǔ)上，漸漸理解十進(jìn)制關(guān)系，在學(xué)習(xí)元、角、分的進(jìn)率時(shí)可以和一年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的數(shù)位順序表百位、十位、個(gè)位相對(duì)應(yīng)，這樣學(xué)生更好理解。

對(duì)“量與計(jì)量”教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行劃分比較，可以厘清其間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，整體把握教材，使教學(xué)過(guò)程既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林。

二、整體考慮，長(zhǎng)遠(yuǎn)設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是整體化的思考，是對(duì)六年小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的通盤考慮，雖然知識(shí)模塊不同，但是計(jì)量的本質(zhì)思想是一致的。在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，可思考以下問(wèn)題：你能想到和此內(nèi)容有關(guān)的已學(xué)和未學(xué)內(nèi)容嗎？這些聯(lián)系對(duì)此內(nèi)容有什么作用？怎樣去設(shè)計(jì)有結(jié)構(gòu)的教學(xué)？思考清楚這些問(wèn)題后，再以統(tǒng)籌的視角整體考慮

1.從“一課”到“整體”的教法結(jié)構(gòu)化

（1）基于課時(shí)視角，把握本質(zhì)元素。學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備靠日常教學(xué)中一課時(shí)一課時(shí)的積累獲得。基于課時(shí)的視角，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)是碎片化，處于撕裂狀態(tài)的，而應(yīng)放在整個(gè)單元整體中去理解每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，把握每課時(shí)的本質(zhì)要素，打開(kāi)認(rèn)知通道[3]。

（2）基于單元視角，挖掘關(guān)聯(lián)元素。如果把課時(shí)內(nèi)容看成一個(gè)點(diǎn)，那么單元內(nèi)容就是一條線。教師需要引導(dǎo)學(xué)生從課時(shí)走向單元，單元間有些課時(shí)是相通的，深入挖掘種子課的教學(xué)，加以發(fā)散，漸至“少教”甚至“不教”，可以以主題種子課覆蓋同領(lǐng)域的其他內(nèi)容。例如長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)中，起始課是二年級(jí)上冊(cè)的認(rèn)識(shí)厘米，認(rèn)識(shí)厘米和米在同一單元，分米和毫米在三年級(jí)上冊(cè)的同一單元，有了種子課的模式，可用種子課的方法遷移到米、分米、毫米的認(rèn)識(shí)中。

（3）基于整體視角，注重體系建構(gòu)。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是整體化的思考，將知識(shí)點(diǎn)成鏈成網(wǎng)，縱向從點(diǎn)、線、面、體去深入挖掘，橫向從知識(shí)、思維、能力去深度思考，發(fā)現(xiàn)計(jì)量單位的教學(xué)基本上是相似的。如教學(xué)步驟的安排：體會(huì)統(tǒng)一計(jì)量單位的必要性;認(rèn)識(shí)計(jì)量單位;建立計(jì)量單位的表象;單位選擇的思考;用單位進(jìn)行度量;進(jìn)行單位換算。

涉及到具體領(lǐng)域，活動(dòng)板塊之間可以調(diào)整，合理架構(gòu)活動(dòng)序列。例如在長(zhǎng)度單位的學(xué)習(xí)中，可以按“感受多樣的度量方法—思考統(tǒng)一度量單位的必要性—建構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)量的表象—認(rèn)識(shí)度量工具—認(rèn)識(shí)度量單位—在實(shí)際中使用”的模式展開(kāi)學(xué)習(xí)，面積、體積的學(xué)習(xí)也適用。

2.從“淺表”到“深化”的學(xué)法結(jié)構(gòu)化

構(gòu)建結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的框架是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的關(guān)鍵性一步。它們有學(xué)習(xí)方法的共性，雖然內(nèi)容不同，但在整體結(jié)構(gòu)上是相通的，綜觀計(jì)量單位的教學(xué)，都可以通過(guò)以下步驟展開(kāi)教學(xué)：體會(huì)統(tǒng)一計(jì)量單位的必要性;認(rèn)識(shí)計(jì)量單位;建立計(jì)量單位的表象;單位選擇的思考;用單位進(jìn)行度量;進(jìn)行單位換算[4]。

（1）認(rèn)識(shí)計(jì)量單位，由“多樣”走向“統(tǒng)一”。認(rèn)識(shí)計(jì)量單位，需要學(xué)生感受度量方法的多樣性，在感受、比較后，體會(huì)統(tǒng)一計(jì)量單位的必要性。比如“認(rèn)識(shí)面積”第一課時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷小正方形、小長(zhǎng)方形、小圓形度量面積的過(guò)程，初步體會(huì)用正方形作面積單位的優(yōu)點(diǎn)（如圖3）。引發(fā)認(rèn)知沖突一般是第二課時(shí)的內(nèi)容，6個(gè)正方形比20個(gè)正方形的面積大（如圖4），讓學(xué)生充分體會(huì)統(tǒng)一面積單位的必要性。以結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的視角來(lái)看，可以把兩課時(shí)的內(nèi)容放整合在一節(jié)課上去學(xué)習(xí)。

（2）建立單位表象，由“一個(gè)”走向“多個(gè)”。建立計(jì)量單位的表象，首先要建立“一個(gè)單位”的概念，這是學(xué)生學(xué)習(xí)關(guān)于“量”的知識(shí)的基礎(chǔ)。通過(guò)動(dòng)手操作建立表象還不夠，還需要和直觀觀察、想象記憶、舉實(shí)例、現(xiàn)場(chǎng)活動(dòng)等結(jié)合。制作面積單位1平方厘米、1平方分米、1平方米的實(shí)例是最基礎(chǔ)的，學(xué)生在多維的活動(dòng)表征中，初步建立較準(zhǔn)確的表象。通過(guò)做、摸、想、比、說(shuō)、估等多重表征方式，讓學(xué)生有實(shí)物可依，初步感知、存儲(chǔ)“參照物”，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

其次，豐富對(duì)“幾個(gè)單位”的體驗(yàn)。比如在認(rèn)識(shí)了“1平方厘米有多大”后，可以請(qǐng)學(xué)生畫10平方厘米、估計(jì)自己的橡皮有多大（4平方厘米），在學(xué)生逐漸對(duì)1平方厘米、4平方厘米、10平方厘米有所感悟后，再猜數(shù)學(xué)書(shū)的表面有多大、課桌的表面有多大、黑板的表面有多大。通過(guò)畫、猜、量等來(lái)定量刻畫，讓學(xué)生更加充分地去感知。有了實(shí)物的體驗(yàn)，也為接下來(lái)脫離實(shí)物在頭腦中進(jìn)行抽象操作打下基礎(chǔ)。建立單位表象，由“一個(gè)單位”走向“多個(gè)單位”，也由靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)。

（3）運(yùn)用度量單位，由“抽象”走向“直觀”。 運(yùn)用度量單位包括對(duì)單位的選擇和用單位進(jìn)行度量。學(xué)生通過(guò)建立表象，不斷地豐富參照物和直觀模型。在運(yùn)用度量單位時(shí)，拉長(zhǎng)、細(xì)化相關(guān)的直觀體驗(yàn)，從“抽象”走向了“直觀”。

（4）進(jìn)行單位換算，由“尋?！弊呦颉办`動(dòng)”。認(rèn)識(shí)計(jì)量單位和計(jì)量單位間的關(guān)系，換算才有依據(jù)。比如長(zhǎng)度和加法、減法相關(guān)，長(zhǎng)度可看成是幾個(gè)作為計(jì)量單位的長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行加、減的結(jié)果;面積要和加法、乘法相聯(lián)系;體積要和乘法相聯(lián)系。計(jì)量單位除了和加法、減法有關(guān)，也和乘法、除法相關(guān)，在化、聚時(shí)，既可看成是單位量的累加，也可看成是包含除的拆出單位量?！皩こ！钡膯挝粨Q算，因?yàn)橛辛思?、減，有了乘、除，變得更為“靈動(dòng)”。

三、突破“量與計(jì)量”教學(xué)難點(diǎn)

1.估計(jì)的策略

估計(jì)往往和測(cè)量相結(jié)合。估計(jì)難，難在沒(méi)有參照物和對(duì)比量。學(xué)會(huì)估計(jì)，首先要建立“一個(gè)單位”，用單位量去估;其次當(dāng)單位量過(guò)小時(shí)，要用身邊熟悉的常用典型物品去估，可將測(cè)量和估計(jì)活動(dòng)前置或后移，讓學(xué)生有時(shí)間做準(zhǔn)備，并在班級(jí)群中分享測(cè)量和估計(jì)的過(guò)程。雖然估計(jì)結(jié)果存在個(gè)體的差異性，但是結(jié)果卻有相似性，這樣可以進(jìn)一步加深抽象數(shù)字和具體數(shù)量間的聯(lián)系。估計(jì)對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、培養(yǎng)思維靈活性有重要作用。比如在“克和千克”的教學(xué)中，4人為一小組，教師事先把桌子上的5袋物品按從重到輕排一排，學(xué)生在粗略感知輕重后，著重對(duì)4號(hào)（1千克）、2號(hào)（14克）進(jìn)行教學(xué)，在之后的練習(xí)中讓小朋友運(yùn)用剛才建立的單位量來(lái)估估其他3個(gè)袋子各重多少，并把結(jié)果記錄在學(xué)習(xí)單上。通過(guò)對(duì)1千克的感知，學(xué)生能大致推斷出2千克和500克，而物品1和單位量1克相去甚遠(yuǎn)，和物品2的重量14克相比也難以判斷，就需要靠身邊熟悉常用的物品——一包瓜子100克、一包餅干110克這些典型物品來(lái)估。

2.選擇計(jì)量單位的策略

計(jì)量單位的選擇是易錯(cuò)點(diǎn)也是難點(diǎn)，首先要分清領(lǐng)域，心中有底。比如這樣一道判斷題：邊長(zhǎng)是4分米的正方形，周長(zhǎng)和面積相等。有相當(dāng)一部分學(xué)生認(rèn)為是對(duì)的，因?yàn)闆](méi)有抓住本質(zhì)屬性，只知道答案都是16，而沒(méi)有細(xì)究下去。其次對(duì)單位量要熟悉，在碰到較大的數(shù)據(jù)時(shí)，可通過(guò)拆分分解或推算想象等活動(dòng)加以理解。比如，操場(chǎng)的面積是10 000（? ? ?）一題，學(xué)生已建立了1平方米、1平方分米、1平方厘米的表象，但是數(shù)據(jù)加大后卻無(wú)從下手，無(wú)法正確地想象10 000后面的單位應(yīng)是什么。這時(shí)可以把10 000看成200×50，學(xué)生聯(lián)系實(shí)際自然想到長(zhǎng)200米和寬50米，10 000后的單位自然就是平方米。

3.小數(shù)量、分?jǐn)?shù)量的理解

小數(shù)量、分?jǐn)?shù)量的理解對(duì)“量與計(jì)量”的教學(xué)來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，沒(méi)有直接可出示的生活實(shí)例，對(duì)意義的理解比較抽象。此時(shí)可用畫圖的方法幫助學(xué)生理解，如數(shù)軸、平面圖形（正方形）、立體圖形（正方體）。比如4.15分米可以通過(guò)畫數(shù)軸草圖來(lái)理解，確定其大致范圍在4和5之間，4.1分米后面的0.1分米就是把1分米平均分成10分，其中的一份也就是4后面1厘米的位置。同理，4.15分米后面的0.05分米就是4分米1厘米后面5毫米的位置。

4.小數(shù)量、分?jǐn)?shù)量與整數(shù)量的互化

小數(shù)量、分?jǐn)?shù)量與整數(shù)量的互化，特別是低單位換算為高一級(jí)單位或者復(fù)合單位是一個(gè)難點(diǎn)，需要考慮化、聚和進(jìn)率。小數(shù)和分?jǐn)?shù)量是可以相互轉(zhuǎn)化的，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)和整數(shù)的意義相同，右邊的數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義相同，小數(shù)從分?jǐn)?shù)中來(lái)，十分之幾就是零點(diǎn)幾，反過(guò)來(lái)，零點(diǎn)幾幾就是百分之幾，三位小數(shù)就是千分之幾。化、聚法兩者互逆，同類的計(jì)量單位間，由高到低，要乘進(jìn)率;而由低到高，則要除以進(jìn)率。

結(jié)構(gòu)化教學(xué)站在整體的高度，注重知識(shí)板塊之間的結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性，將多個(gè)看似零碎散亂的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行關(guān)聯(lián)統(tǒng)整，以簡(jiǎn)馭繁，提高教學(xué)效能。教師要靈活運(yùn)用結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，不斷向深度和廣度推進(jìn)，提升他們的學(xué)習(xí)力、實(shí)踐力，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]