福建省石獅市石光中學(xué) (362700) 許麗拉

解后反思指的是學(xué)生在問題解決之后，對(duì)解題思路、解題過程、解題結(jié)果、解題實(shí)質(zhì)進(jìn)行自我監(jiān)控、自我評(píng)價(jià)和我調(diào)節(jié)的過程.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中11次提到反思，如“做題是解決問題的過程，包括描述問題、教學(xué)表達(dá)、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善等”[1]；“體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面有情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思”[1]等等.數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過：通過回顧所完成的解決問題的過程，通過思考與檢驗(yàn)結(jié)果，回顧解題思路，能鞏固學(xué)生的知識(shí)，提升學(xué)習(xí)能力.

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師地引領(lǐng)下，深度參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并將原有的知識(shí)遷移到新的情境中解決問題的學(xué)習(xí)[2].深度學(xué)習(xí)關(guān)注學(xué)生的深度理解、反思、體驗(yàn)及問題解決與遷移運(yùn)用，重在引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗(yàn)與深入的反思，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和知識(shí)意義的滲透理解[2].教學(xué)實(shí)踐表明，培養(yǎng)學(xué)生解后反思的習(xí)慣，有助于學(xué)生辯析、厘清、歸納與之相關(guān)的問題，促使他們?nèi)轿?、多角度地?duì)問題及思維過程進(jìn)行再驗(yàn)證、再認(rèn)識(shí),培養(yǎng)元認(rèn)知能力，使其對(duì)問題的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

1 反思解題結(jié)果，在“再認(rèn)知”中提升自我監(jiān)控能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：對(duì)于錯(cuò)題，教師雖反復(fù)講評(píng)，卻收效甚微，其主要原因是這種灌輸式的、平鋪直敘的講評(píng)使得有錯(cuò)誤的學(xué)生沒有真正領(lǐng)悟問題的實(shí)質(zhì)，無(wú)法將課本內(nèi)容內(nèi)化為自己的理解[3].事實(shí)上，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤不能只依賴教師正面的示范與重復(fù)的訓(xùn)練，而是學(xué)生“自我否定”的一個(gè)過程，即應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自我反思，在反思體驗(yàn)中真正弄清錯(cuò)誤原因，自我糾錯(cuò).因此教師應(yīng)精選典型問題，引導(dǎo)學(xué)生解后反思，克服思維的盲目性，提升批判性思維能力.

案例1 已知ab<0,a+b=1,二項(xiàng)式(a+b)9展開式按a的降冪排列，第三項(xiàng)不小于第二項(xiàng)，則a的取值范圍是.

很多學(xué)生的解題過程如下：

同學(xué)們非常驚訝：“結(jié)果和題設(shè)ab<0矛盾，為什么會(huì)這樣？”教師覺得這時(shí)正是培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)的契機(jī)，因此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：

反思1：?jiǎn)栴}給出的條件ab<0,a+b=1,得到充分利用了嗎？

反思2：由ab<0,a+b=1能得到a的一個(gè)取值范圍嗎？此范圍和以上解題結(jié)果相同嗎？

不經(jīng)過解后反思，是難以察覺這個(gè)錯(cuò)誤的.在教學(xué)中，教師應(yīng)該把學(xué)生認(rèn)識(shí)上的偏差當(dāng)作反面教材，引導(dǎo)其反思，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性與嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生自我評(píng)價(jià)與自我監(jiān)控能力，從而達(dá)成對(duì)自我數(shù)學(xué)認(rèn)知的再認(rèn)知，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

2 反思解題思路，在導(dǎo)問中孕育“生成”

一個(gè)問題往往因思考的角度不同具有多種解決思路，因此解決了一個(gè)問題后不應(yīng)該就此止步不前，要引領(lǐng)學(xué)生反思.反思不是簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)，而是引領(lǐng)學(xué)生依據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，從解題方法、解題思路等進(jìn)行全方位、多角度的思考：你是如何思考的？選擇哪一條途徑？為何這樣思考？解題的關(guān)鍵在哪一步？該題是否還有其它解法？這些方法哪一種最簡(jiǎn)便？哪一種最巧妙？哪一種最典型？解題過程滲透了哪幾種數(shù)學(xué)思想方法？問題是否可以變式、拓展、引申？堅(jiān)持這樣的反思，能促進(jìn)學(xué)生深度思維，拓寬解題思路，并積累具有規(guī)律性的解題經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)課堂有效生成.

案例2 “三角函數(shù)復(fù)習(xí)課”教學(xué)片斷

經(jīng)過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了本題的多種方法，教師展示各種解法.

為了提高問題的教育價(jià)值，教師沒有急于進(jìn)入下一題，而是提出以下問題，讓學(xué)生反思.

反思1：請(qǐng)大家比較以上幾種方法，并提煉出解題過程中所滲透的數(shù)學(xué)思想.

生1：思路1利用構(gòu)造法,通過構(gòu)造方程，聯(lián)立方程組求解，思路自然，但運(yùn)算量較大；思路2運(yùn)用“1”的代換轉(zhuǎn)化成齊次分式得到tana的值，蘊(yùn)涵著方程思想；思路3借助三角函數(shù)輔助角公式，把未知化歸成已知.

反思2：該題是否還有其它的方法？能否另辟蹊徑？

生2：可以運(yùn)用柯西不等式(cosα+2sinα)2≤(sin2α+cos2α)(12+22)=5，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)2cosα=sinα?xí)r成立，恰好滿足題設(shè)，故tana=2.

師：很好！利用柯西不等式，并運(yùn)用了等號(hào)成立時(shí)的情況.

反思3：數(shù)形結(jié)合是我們解題給出中經(jīng)常采用的思想方法，該題可以利用數(shù)形結(jié)合思想解決嗎？

師：太棒了!生3利用數(shù)形結(jié)合思想把問題化歸成直線和圓的位置關(guān)系問題求解,非常簡(jiǎn)便，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

教師引導(dǎo)學(xué)生站在新的高度去審視問題，從不同視角探詢解題思路，在多種思想與方法的碰撞中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，思維的靈活性與深刻性獲得發(fā)展，提升了直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，達(dá)到了深度學(xué)習(xí).

3 反思解題實(shí)質(zhì)，在“頓悟”中實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”解完一道題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思，它是對(duì)問題的“再認(rèn)知”，是解題的進(jìn)一步深化，有利于“織題成網(wǎng)，串題成鏈”，使零散的數(shù)學(xué)知識(shí)串成有機(jī)整體.這樣學(xué)生所收獲的不僅僅是一道題目的解法，而是一類問題的解決方法，有助于發(fā)展與完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，形成有效的“思維鏈”.

案例3 “圓錐曲線復(fù)習(xí)課”教學(xué)片斷

完成了本題后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思.

反思1：若把問題中的距離的比變成1，則點(diǎn)M的軌跡是什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生探究得：當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是個(gè)圓.

師：此結(jié)論是數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故該圓叫做“阿波羅尼斯圓”，它的應(yīng)用非常廣泛.

反思4：設(shè)A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|·|MB|為定值，那么點(diǎn)M的軌跡是什么？

反思5：設(shè)A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|2+|MB|2為定值，那么點(diǎn)M的軌跡是什么？

反思6：設(shè)A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足||MA|2-|MB|2|為定值，則點(diǎn)M的軌跡是什么？

反思7：平面內(nèi)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和是定值的點(diǎn)的軌跡是什么？

案例3從教材習(xí)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，挖掘其教學(xué)功能.通過循序漸進(jìn)、逐步深入的反思，讓學(xué)生有效地體悟、內(nèi)化相關(guān)知識(shí)，使學(xué)習(xí)活動(dòng)產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”，形成有序化、條理化的一個(gè)有機(jī)體系.在問題解決中，學(xué)生積累了用代數(shù)方法研究解析幾何問題的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了從有效教學(xué)到深度學(xué)習(xí)的過渡，助推數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.

4 結(jié)語(yǔ)

總之，解后反思對(duì)驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思考、提升學(xué)生核心素養(yǎng)乃至教師的專業(yè)發(fā)展都有著重要作用，但學(xué)生反思習(xí)慣的形成決非朝夕之功，需要循序漸進(jìn)、日積月累、螺旋上升.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行反思意識(shí)、反思方法的滲透，使反思內(nèi)化為學(xué)生的一種自覺學(xué)習(xí)行為；解決問題之后，應(yīng)留給學(xué)生反思的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生通過反思解題思路、解題結(jié)果、解題實(shí)質(zhì)，不斷剖析自我，克服錯(cuò)誤現(xiàn)象，提煉解題經(jīng)驗(yàn)，追求解法優(yōu)化，提高學(xué)習(xí)能力.這樣的反思，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、形成學(xué)習(xí)策略，促進(jìn)學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí).因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)擯棄“他律”狀態(tài)下的機(jī)械灌輸，凸顯“自律”意義上的生命體征，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)搭好“腳手架”，使他們?cè)趯?duì)問題的“再認(rèn)知”中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，從“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”走向“會(huì)當(dāng)臨絕頂，一覽眾山小”的境界，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.