福建省福清第三中學(xué) (350315) 唐 洵

近日，筆者有幸受到某考試機(jī)構(gòu)的邀請(qǐng)，參與其聯(lián)考試卷的命題工作.期間，以函數(shù)導(dǎo)數(shù)為背景，命制了文科解答題的壓軸題，試題以導(dǎo)數(shù)為工具，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，并在不等式恒成立的背景下求解參數(shù)的取值范圍，此題雖然作為全卷的壓軸，但由于高三學(xué)生一輪復(fù)習(xí)尚未結(jié)束，知識(shí)體系尚未建構(gòu)完整，因此考試機(jī)構(gòu)給出的命題要求是，試題難度不可太大，解題應(yīng)注重通性通法，但試題要具有一定的區(qū)分度，盡可能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)以及近年全國(guó)卷的命題趨勢(shì)與命題風(fēng)格.

題目已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+2.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若關(guān)于x的不等式2f(x)+n(x2+4x)≥0在[0,+∞)上恒成立，其中n≥0，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

本題擬考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及不等式等問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及分類(lèi)與整合思想.

首先，先命制壓軸部分與不等式相關(guān)的問(wèn)題，考慮到難度因素，我們選擇了最簡(jiǎn)單的一個(gè)不等關(guān)系，x2≥0，這對(duì)任意x∈R恒成立，于是將初始函數(shù)設(shè)定為f1(x)=x2.其具體命制過(guò)程如下：

步驟一：化歸與轉(zhuǎn)化思想定向.

由于近年來(lái)新課標(biāo)I卷的導(dǎo)數(shù)試題都與ex、lnx之間建立了密不可分的聯(lián)系，于是我們考慮在x2≥0的不等關(guān)系下，融入ex≥x+1，使得試題具有一定的難度.

步驟二：數(shù)形結(jié)合思想引航.

第(1)小題是后續(xù)試題的雛形，考慮到即使是文科，本題難度也略顯簡(jiǎn)單，學(xué)生在求解時(shí)可以直接通過(guò)放縮直接得到答案，不足以作為壓軸部分，我們考慮擴(kuò)大不等式成立的區(qū)間.通過(guò)幾何畫(huà)板構(gòu)造函數(shù)f3(x)的圖像如圖1所示，觀察可知，函數(shù)f3(x)的圖像始終不落在x軸的下方，于是得到第(2)小題：求證：f3(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立.

圖1

步驟三：分類(lèi)與整合思想延伸.

步驟四：函數(shù)與方程思想點(diǎn)睛.

為了照顧數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“弱勢(shì)群體”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣及信心，問(wèn)題(1)的設(shè)定尤為關(guān)鍵，命題的主干思想是通過(guò)檢測(cè)學(xué)生導(dǎo)數(shù)工具的基本使用能力，進(jìn)而達(dá)到對(duì)函數(shù)與方程思想的考查，于是我們將函數(shù)f5(x)中沒(méi)有參數(shù)的部分抽出，得到函數(shù)f(x)=(x-2)ex+2，進(jìn)而研究函數(shù)f(x)的極值，于是便得到了文章開(kāi)頭所呈現(xiàn)的試題.

下面給出試題的解析過(guò)程：第(1)小題的解答比較簡(jiǎn)單，其解題步驟如下：

依題意，f′(x)=(x-1)ex，令f′(x)=0解得x=1；當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；從而當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值f(1)=2-e，無(wú)極大值.

第(2)小題：涉及含參不等式的解法，解題時(shí)入口較多，我們提供如下解法以供大家參考.

方法一：(整體構(gòu)造)設(shè)h(x)=2f(x)+n(x2+4x)=(2x-4)ex+n(x2+4x)+4，故h(x)≥0.因?yàn)閔′(x)=(2x-2)ex+2n(x+2)=m(x)，令m′(x)=2xex+2n， 因?yàn)閚≥0，有m′(x)≥0，此時(shí)m(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，則m(x)≥m(0)=4n-2.

圖2

圖3

基于上述命題手法，我們?cè)倬幹苾傻涝囶}與大家共賞：

題1 若關(guān)于x的不等式(x+2)lnx-ax2+(1-a)x-1≥0在[1,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題2 若關(guān)于x的不等式(x+1)sinx-axex≥0在[0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.