浙江省象山縣第二中學 (315731) 林 琪

深度學習是學生發(fā)揮主觀能動性，通過體驗多樣的活動，有效建構知識，鍛煉思維，發(fā)展多種能力的數(shù)學活動.相對于傳統(tǒng)教學，深度教學可以深入知識本質(zhì)，建立知識體系，提高自主學習能力，形成數(shù)學核心素養(yǎng).數(shù)學思想是數(shù)學學習的精髓，也是深度教學的前提.數(shù)學思想的掌握和運用可以使學生學習數(shù)學知識事半功倍.而高中階段主要涉及數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、轉化與化歸等思想.本文以函數(shù)奇偶性為案例，采用“問題串”教學的形式，論述“數(shù)形結合”思想在深度學習中的運用.

1 深度的情境創(chuàng)設

興趣是影響學生課堂表現(xiàn)的重要因素，教學實踐表明，在引入新課階段創(chuàng)設合適的情境，可以激發(fā)學生的學習興趣，有利于學生后續(xù)主動融入課堂，體現(xiàn)學生主體地位，更有利于學生深度理解概念.

問題1：觀察圖1、圖2兩張圖片，在結構上有什么共同特征？

圖1 圖2

問題2：生活中還有哪些常見的軸對稱圖形？

問題3：這種對稱性在數(shù)學中是否有體現(xiàn)？我們已經(jīng)學過哪些函數(shù)的圖像也具有軸對稱性？

設計意圖：《普通高中數(shù)學課程標準(2020修訂版)》明確指出課程目標是：通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及為了發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.而數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得要求我們教師在創(chuàng)設情景時，源于生活，緊隨時代，貼近學生生活經(jīng)驗.問題1到問題3，讓學生從生活實際出發(fā)，體會數(shù)學來源于生活，激發(fā)學生學習興趣.同時，從圖形直觀感受引出偶函數(shù)的幾何特征，鍛煉學生數(shù)學抽象能力.

2 深度的過程體驗

問題4：觀察函數(shù)f(x)=x2和g(x)=2-|x|的圖像如圖3，圖4，從“形”上觀察，有什么共同特征？

圖3 圖4

問題5：從“數(shù)”上觀察，有什么共同特征？

f(x)=x2

x…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…

g(x)=2-|x|

x…-3-2-10123…g(x)=2-|x|…-101210-1…

設計意圖：問題4從函數(shù)圖像中觀察出對稱性，這是函數(shù)奇偶性的“定性”刻畫.而問題5則從具體的數(shù)值中體現(xiàn)對稱性，這是函數(shù)奇偶性的“定量”刻畫.從定性到定量，體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性.從問題4到問題5，從“數(shù)”與“形”兩個角度，探討偶函數(shù)的特征.為之后偶函數(shù)概念的引入作鋪墊，引導學生體會“數(shù)形結合”思想，經(jīng)歷數(shù)學概念形成的過程，深度研究數(shù)學概念，知其然，體現(xiàn)深度學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的數(shù)學核心素養(yǎng).

問題6：你能否證明上述結論？

設計意圖：多樣的教學方式是深度學習的關鍵.問題6可引導學生利用剪紙、幾何畫板、代數(shù)驗證三種方法驗證結論.從直觀感受到理性驗證，從動手操作到運用現(xiàn)代信息技術，豐富數(shù)學教學方式，培養(yǎng)學生邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)，有利于引導學生深度學習.

引入偶函數(shù)的定義，并通過類比得到奇函數(shù)的定義.

問題7：奇偶函數(shù)有何共同點和不同點？

偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).代數(shù)特征f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)幾何特征圖像關于y軸對稱圖像關于原點對稱前提條件定義域關于原點對稱

設計意圖：問題7通過比較奇偶函數(shù)的共同點和不同點，進一步理解概念.同時，以圖表形式給出，體現(xiàn)數(shù)學的簡潔性，也是數(shù)形結合的一種體現(xiàn).

3 深度的學以致用

深度學習不僅包括“深度的學”，更包括“深度的思和行”，學生不僅要經(jīng)歷奇偶函數(shù)概念的形成過程，更要在此過程中，動手操作，自主研究，得出結論.

問題8：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，試將圖5,圖6補充完整.

圖5 圖6

設計意圖：讓學生動手操作，體會奇、偶函數(shù)的幾何特征，符合新課標引導學生獨立思考、動手實踐的要求.而對于g(x)圖像的補充，會發(fā)現(xiàn)缺少x=0處的函數(shù)值，引起認知沖突，從而引起學生思考.根據(jù)圖像關于原點對稱，得到g(x)過原點，再根據(jù)奇函數(shù)的代數(shù)特征g(-x)=-g(x)，可得g(0)=0.從“數(shù)”和“形”兩個角度加以證明，深入理解奇函數(shù)的特征.再從特殊到一般，得出結論：對于任意一個奇函數(shù)，若x=0在定義域內(nèi)，則g(0)=0，即奇函數(shù)圖像過原點.

問題9：是否存在一個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)？這樣的函數(shù)唯一嗎？

設計意圖：問題9是課后思考題，數(shù)學課后活動是學生深度學習的重要載體.問題9是對函數(shù)奇偶性概念掌握情況的檢測，也是本節(jié)課深入學習的評價.這題具有開放性，有利于培養(yǎng)學生發(fā)散思維，在思考中，學生可利用“數(shù)”與“形”兩個思路展開.

4 深度的反思提煉

深度學習要求我們教師深入研究數(shù)學教材，除了研究數(shù)學知識外，更要研究其中蘊含的數(shù)學文化，與其他知識點、其他學科間的聯(lián)系.例如，在函數(shù)奇偶性中，在課堂結尾處除了增加知識點的總結，還可增加德育內(nèi)容，以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務.

問題10：我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，因此，我們在平時的學習中要注重“數(shù)形結合”思想.另外，這也說明從不同角度分析，會得到不同的結果，這就要求我們用發(fā)現(xiàn)的眼光看世界.

設計意圖：以華羅庚先生的詩作為結尾，將數(shù)學文化融入數(shù)學課堂，開拓學生數(shù)學視野，激發(fā)學生學習興趣.同時，了解中國優(yōu)秀數(shù)學家，也可增強學生民族自豪感.而蘊含的“從不同角度分析，會得到不同的結果”這一哲學理論，亦體現(xiàn)了數(shù)學和其他學科的聯(lián)系.

總之，高中數(shù)學教師應在課堂教學中引導學生深入挖掘數(shù)學本質(zhì)，理解數(shù)學概念，注重數(shù)學活動，積累數(shù)學經(jīng)驗，掌握數(shù)學技能，構建數(shù)學體系，提高課堂效率，深度學習數(shù)學.教學中，我們也應重視深度教學，豐富學科知識，開展多元的教學方式，促進學生數(shù)學思想方法的形成.