江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215100) 張文海

匈牙利著名數(shù)學(xué)家G·波利亞有一句名言:“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生教師每日都離不開(kāi)解題，但如何正確地解答數(shù)學(xué)問(wèn)題成為當(dāng)下師生關(guān)心的共同話題.每次考完試，總會(huì)聽(tīng)到學(xué)生感嘆，這個(gè)題目我就差一步——檢驗(yàn)就正確了，常常為此懊悔不已.G·波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中對(duì)解題的過(guò)程歸納為四步：弄清題意、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧，其中在“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”這兩步中都強(qiáng)調(diào)要“檢驗(yàn)每一步驟”，并指出:“如果學(xué)生在實(shí)行其計(jì)劃的過(guò)程中檢查就可以避免許多錯(cuò)誤.如果學(xué)生不去重新檢查或重新考慮已完成的解答，則有可能跌倒在成功的大門口”.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)檢驗(yàn)環(huán)節(jié)，使學(xué)生深刻反思解題的思維過(guò)程，鑒別是非，糾正錯(cuò)誤，縝密思考，預(yù)防錯(cuò)誤，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”和解題的正確率具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.筆者梳理了高中知識(shí)版塊中需要檢驗(yàn)而易于忽略檢驗(yàn)的常見(jiàn)問(wèn)題，供大家參考.

一、集合

集合是學(xué)生進(jìn)入高中后接觸到的第一個(gè)章節(jié)，高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，更加抽象化、符號(hào)化，知識(shí)的綜合性進(jìn)一步加強(qiáng)，需要學(xué)生具備獨(dú)立思考問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考要考慮完備性.

例1 已知集合A={a+2,2a2+a}，3∈A，求實(shí)數(shù)a的值.

原因分析：集合元素具有確定性、無(wú)序性和互異性的性質(zhì)，在解決集合問(wèn)題時(shí)，要注意驗(yàn)證是否滿足元素的互異性.當(dāng)出現(xiàn)多解時(shí)，要檢驗(yàn)是否都能符合要求.

二、方程

增根這個(gè)概念首先出現(xiàn)在解方程的問(wèn)題中，高中遇到的方程有三角方程、根式方程、對(duì)數(shù)方程等，在解決問(wèn)題時(shí)，要注意方程中所含變量隱含的限制條件.

例2 已知sinα，cosα是方程8x2+6mx+2m+1=0的兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值.

原因分析：一元二次方程有實(shí)根的前提條件是判別式△≥0.學(xué)生進(jìn)入高中后，數(shù)系從實(shí)數(shù)向復(fù)數(shù)進(jìn)行了擴(kuò)充，而兩個(gè)虛數(shù)的和與積也可以是一個(gè)實(shí)數(shù)，從而求出參數(shù)的值后要回代方程，檢驗(yàn)是否滿足判別式△≥0.

三、解三角形

解三角形是三角中的一個(gè)典型問(wèn)題，主要利用正弦定理、余弦定理結(jié)合誘導(dǎo)公式、和差角的三角公式，研究三角形中的兩個(gè)要素“邊”“角”之間的關(guān)系.

例3 若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

四、三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)是函數(shù)大類中的一個(gè)典型函數(shù)，它和很多生活實(shí)際問(wèn)題都有關(guān)聯(lián)，命題時(shí)很受到大家的青睞.三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性是三大重要性質(zhì)，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)它們的身影.

五、導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)引入高中課程以后，利用導(dǎo)數(shù)可以快捷方便地研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題．導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)極其重要而有力的工具，為我們解決許多函數(shù)問(wèn)題提供了一種更簡(jiǎn)單易行的方法和途徑，極大地豐富了數(shù)學(xué)思想方法.

例5 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a+b的值.

原因分析：函數(shù)在x=x0取得極值與f′(x0)=0并不等價(jià).如函數(shù)f(x)=|x|在x=0取得極小值，但f′(0)不存在；函數(shù)f(x)=x3滿足f′(0)=0，但在x=0處取不到極值.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0取得極值滿足f′(x0)=0；反之f′(x0)=0，需要確定導(dǎo)數(shù)f′(x)在x=x0兩側(cè)的符號(hào)才能確定是否取到極值.

六、解析幾何

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，字母運(yùn)算的繁雜、平幾性質(zhì)的應(yīng)用和解題路徑的選擇對(duì)學(xué)生提出了較高的能力要求.在解決這一類問(wèn)題時(shí)要通觀全局，局部入手，整體思維.即從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在解題思路的整體設(shè)計(jì)和解題細(xì)節(jié)上下功夫，才能突破解題中的道道難關(guān).

七、數(shù)列

數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的一類特殊的函數(shù).自變量n的取值從1到+∞，給人的感覺(jué)是“無(wú)窮無(wú)盡”，容易造成難解題的錯(cuò)覺(jué).在處理數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要有將一般問(wèn)題特殊化的思維，便能快速找到解題的通道.

例8 已知數(shù)列{an}滿足(n-1)an+1=nan-a1，n∈N*.

(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

八、向量

向量是近代數(shù)學(xué)中重要的基本概念之一.由于它具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重特征”，使數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與“形”完美的結(jié)合在一起，更進(jìn)一步發(fā)展和完善了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，拓寬了研究和解決問(wèn)題的思維通道.

數(shù)學(xué)解題之所以會(huì)產(chǎn)生增根，主要因?yàn)樵诨?jiǎn)變形過(guò)程中，使用的是必要條件而非充分條件，導(dǎo)致轉(zhuǎn)化不等價(jià)，這就需要我們有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，理性地去認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生在解答完數(shù)學(xué)問(wèn)題后，回顧一下解題過(guò)程，反思其中的一些關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對(duì)答案進(jìn)行有效地檢驗(yàn)，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，它不僅能提高解題的正確性，而且還有助于學(xué)生思維的鍛煉和解題能力的提升.