江蘇省常州高級(jí)中學(xué) (213000) 黃龍孫 福建省廈門(mén)市海滄中學(xué) (361022) 陳凌燕

圓錐曲線中有一類定點(diǎn)定值問(wèn)題，是指在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，或動(dòng)直線總是過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，或交點(diǎn)總是在某條定直線上，或某個(gè)幾何量(線段長(zhǎng)，面積等)總是一個(gè)定值，蘊(yùn)含了變化中的不變性，給人以一種奇妙的數(shù)學(xué)美的感受.同時(shí)這類問(wèn)題通常具有入口寬、方法多但又需要扎實(shí)的學(xué)科技能和素養(yǎng)才能得以解決，本文以一道圓錐曲線問(wèn)題的探究和拓展過(guò)程來(lái)展示這種數(shù)學(xué)的處理方法.

1 試題呈現(xiàn)

2 分析與解

思路1：設(shè)AB直線方程，用直線方程的參數(shù)表示M，N兩點(diǎn).因?yàn)锳B在繞著右焦點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，M，N兩點(diǎn)也隨之改變，所以M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線AB的位置有關(guān)，自然產(chǎn)生用直線AB方程的參數(shù)來(lái)表示的思路.

反思：從解法2過(guò)程來(lái)看，M,N的坐標(biāo)直接用A,B的坐標(biāo)來(lái)表示，省去了聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程的過(guò)程，不僅運(yùn)算量更小，過(guò)程更簡(jiǎn)潔，同時(shí)也便于結(jié)論的推廣.可見(jiàn)，只需滿足AB是橢圓的動(dòng)弦，中點(diǎn)為N，橢圓A,B處的切線相交于點(diǎn)M，則O，M，N三點(diǎn)共線.

3 探究拓展

解完題后我們用幾何畫(huà)板演示可以直觀地看到在AB變動(dòng)的過(guò)程中，O，M，N始終三點(diǎn)共線，而且M點(diǎn)也一直在橢圓的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)更為簡(jiǎn)潔的解法二也更具一般性，這讓我們感受到數(shù)學(xué)的奇異美和滿足感，以及繼續(xù)探究的躍躍欲試之感.

問(wèn)題1：能否將交點(diǎn)M在定直線上推廣到一般橢圓上？

問(wèn)題2：如果AB直線過(guò)的定點(diǎn)不是焦點(diǎn)，那么交點(diǎn)M會(huì)在定直線上嗎？直線方程是什么？

問(wèn)題3：逆向思考，反之，如果已知定直線上的動(dòng)點(diǎn)M向橢圓引切線，則兩切點(diǎn)所在的直線會(huì)過(guò)定點(diǎn)嗎？

問(wèn)題4：O，M，N三點(diǎn)共線能否推廣到一般橢圓上？

結(jié)論3、結(jié)論4證明略.

問(wèn)題5：雙曲線和拋物線能否有類似的結(jié)論？

回答是肯定的，以下給出了課后學(xué)生探究得到的結(jié)論，此處篇幅所限，略去證明.

命題5 拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(x0,y0)處的切線方程為y0y=p(x0+x).

命題6 若AB是拋物線C:y2=2px(p>0)的動(dòng)弦，且過(guò)定點(diǎn)(x0,y0) ，則拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)M在定直線l:y0y=p(x0+x)上.

命題7 若M在定直線l:y0y=p(x0+x)上，過(guò)M作拋物線C:y2=2px(p>0)的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB過(guò)定點(diǎn)(x0,y0).

命題8 已知AB是拋物線C:y2=2px(p>0)的動(dòng)弦，中點(diǎn)為N，拋物線C在點(diǎn)A，B處的兩切線的交點(diǎn)為M，則MN∥x軸.

4 教學(xué)啟示

圓錐曲線問(wèn)題具有很好的探究?jī)r(jià)值，一是不同的解法運(yùn)算量和運(yùn)算難度不同，找到一個(gè)簡(jiǎn)潔的解法會(huì)產(chǎn)生很強(qiáng)的滿足感，二是蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，例如特殊到一般，數(shù)形結(jié)合等，三是解完題后繼續(xù)將成果推廣到一般情形或者逆向思考，交換條件和結(jié)論研究逆命題等，能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生的自主探究的過(guò)程中，掌握數(shù)學(xué)研究的方法，提高學(xué)科素養(yǎng)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)數(shù)學(xué)的奇異之美，真正享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)！