福建省福清第一中學(xué) (350300) 葉誠(chéng)理 林品玲

在高三一輪復(fù)習(xí)后，學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系有了較為全面的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有了一定程度的掌握，在解題過(guò)程中往往會(huì)從不同的角度考慮一個(gè)問(wèn)題，產(chǎn)生了各種不同的解法，也許學(xué)生的過(guò)程與方法未必與標(biāo)準(zhǔn)答案一致，但其中不乏簡(jiǎn)潔、漂亮的解法，值得我們老師關(guān)注．以下是筆者在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中遇到的一道解三角形的題目.

問(wèn)題如圖1，△ABC中，AC=2，AB=1，AD=k，點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BD：DC=1:2，試求k的取值范圍．

圖1

本題考查學(xué)生運(yùn)用余弦定理、誘導(dǎo)公式解三角形，求邊的關(guān)系用到函數(shù)思想，化解三角函數(shù)關(guān)系式則考查了運(yùn)算求解能力，試題難度較小，學(xué)生容易上手．

評(píng)注：該解法從點(diǎn)D分BC的比例入手，根據(jù)余弦定理，利用兩角互補(bǔ)，算出AD的函數(shù)表達(dá)式，思路直接，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略了三角形邊的關(guān)系而求錯(cuò)定義域．

評(píng)注：該解法把同一個(gè)角B放在兩個(gè)不同的三角形中，利用數(shù)學(xué)中對(duì)同一變量“算兩次”的思想構(gòu)建AD的函數(shù)表達(dá)式，與解法一可謂異曲同工．

圖2

評(píng)注：該解法從等高的兩三角形面積關(guān)系入手，證明AD為∠BAC的角平分線，揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，打開解題思路，再次利用面積公式和三角恒等變換公式構(gòu)建AD的三角表達(dá)式，十分巧妙．

評(píng)注：在證明直線AD為∠BAC的角平分線后，直接利用余弦定理解題，與解法一、解法二不謀而合．

圖3

評(píng)注：該解法的亮點(diǎn)在于在原三角形圖上建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)線段長(zhǎng)度，巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)兩點(diǎn)距離公式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出線段AD的取值范圍，體現(xiàn)了解析幾何的特點(diǎn)：用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題．

圖4

評(píng)注：該解法也是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，通過(guò)以點(diǎn)D為原點(diǎn)，突出了點(diǎn)A的幾何特征：可看成以點(diǎn)B、C為圓心，1和2為半徑的兩個(gè)圓的交點(diǎn)，故可聯(lián)立這兩個(gè)圓的方程，算出交點(diǎn)軌跡，轉(zhuǎn)化為求這個(gè)交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，其思路也十分巧妙．

圖5

評(píng)注：該解法充分利用已知三角形兩鄰邊比為1:2，添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而得出點(diǎn)D為新得的三角形的重心，再利用重心性質(zhì)解題，該解法的精妙之處在于構(gòu)造的輔助線使得問(wèn)題的求解豁然開朗．

圖6

評(píng)注：該解法通過(guò)構(gòu)造相似三角形，利用相似比把所求問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中，直接利用三邊關(guān)系建立不等關(guān)系，其思路返璞歸真，計(jì)算量?。?/p>

解法十：(關(guān)注角變化，運(yùn)用極限思想)角B的變化范圍是大于0且小于π，由解法6的圖3，固定AB邊，當(dāng)角B從0變大到π時(shí)，AD也跟著連續(xù)變大，下面用極限法考慮：

(1)當(dāng)角B→0時(shí)，如圖7，BC邊上的高趨近0，此時(shí)AD→0;

圖7

圖8

評(píng)注：該解法從點(diǎn)B的變化趨勢(shì)入手，單刀直入，從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，利用極限思想立竿見影地算出線段AD的取值范圍，其思路簡(jiǎn)潔明了，令人拍案叫絕，美中不足在于其論證不夠嚴(yán)密．

以上解法讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思維的無(wú)限魅力．解題中用到的知識(shí)涉及函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量、平面幾何、解析幾何等；集中考查了學(xué)生的抽象概括能力，運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)；用到的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想，極限思想等．本題的一題多解，彰顯學(xué)生靈活合理地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一道值得我們欣賞和品味的好題．