楊光 劉琦 聶敏 劉原華 張美玲

(西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,西安 710121)

基于糾纏交換方法進(jìn)行多跳量子信息傳輸,是實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離量子網(wǎng)絡(luò)通信的基本方式之一.傳統(tǒng)的多跳量子網(wǎng)絡(luò)通常使用單自由度極化光子糾纏態(tài)作為量子信道,信息傳輸容量較低且容易受到噪聲的干擾.本文提出一種基于超糾纏的高效量子網(wǎng)絡(luò)多跳糾纏交換方法,利用極化-空間模式兩自由度的糾纏光子,建立超糾纏量子多跳信息傳輸通道.以遠(yuǎn)程超糾纏隱形傳態(tài)的信道建立需求為例,首先給出了基礎(chǔ)的逐跳超糾纏交換方案,為降低該方案的端到端超糾纏建立時(shí)延,提出在中間量子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行同時(shí)測(cè)量的并行超糾纏交換方案.在此基礎(chǔ)上,為降低并行超糾纏交換的經(jīng)典信息開銷,進(jìn)一步提出一種分級(jí)并行超糾纏交換方案.理論分析及仿真結(jié)果表明該方案的糾纏建立時(shí)延接近于并行超糾纏交換方案,但可以減少經(jīng)典信息傳輸量,在一定程度上實(shí)現(xiàn)兩者的平衡.相比傳統(tǒng)的糾纏交換方法,本文方案有利于解決遠(yuǎn)程超糾纏通信的需求,對(duì)未來構(gòu)建更高效率的量子網(wǎng)絡(luò)有積極意義.

1 引言

量子糾纏是量子力學(xué)中一種獨(dú)特的資源,在量子通信和量子計(jì)算領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.借助于量子糾纏[1],研究者們提出了多種量子信息傳輸方案,如量子隱形傳態(tài)[2?7]、量子密鑰分發(fā)[8?10]、量子安全直接通信等[11?12],并在理論及實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域不斷取得突破.目前,如何提高量子通信的距離與容量成為研究重點(diǎn).2020 年中國(guó)科研人員提出了雙場(chǎng)量子密鑰分發(fā)方案,既保留了測(cè)量設(shè)備無關(guān)方案中量子密鑰分配的安全性,同時(shí)增加了量子態(tài)的傳輸距離[13].清華大學(xué)龍桂魯[14]在量子直接安全通信方案上提出樣機(jī)的容量擴(kuò)大技術(shù),可大幅度提高通信距離和傳輸速率.

在早期的量子信息方案中,大多采用基于極化的光子糾纏態(tài),如Bell 態(tài)、W 態(tài)、GHZ 態(tài)、團(tuán)簇態(tài)等,這些糾纏態(tài)屬于單自由度糾纏.近年來,在極化、空間模、軌道角動(dòng)量、時(shí)間等多種自由度形成糾纏的超糾纏態(tài),因其在信息承載容量和魯棒性方面具備的優(yōu)勢(shì),引起了學(xué)者們的關(guān)注.Sheng 等[15]提出了完全區(qū)分16 個(gè)極化-空間模超糾纏Bell 態(tài)的方案.Hong 等[16]基于超糾纏態(tài),提出了有噪竊聽信道下可靠安全的量子安全直接通信協(xié)議.2015 年潘建偉院士團(tuán)隊(duì)[17]實(shí)現(xiàn)了角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量編碼的單個(gè)光子的復(fù)合量子態(tài)的量子隱形傳態(tài)實(shí)驗(yàn).Xu[18]提出了基于極化空間模式的超糾纏模式的超糾纏Bell 態(tài)的半量子密鑰分發(fā)協(xié)議,在有效提高用戶共享密鑰效率的同時(shí)能夠抵抗多種攻擊.

點(diǎn)到點(diǎn)量子傳輸技術(shù)的快速發(fā)展,使得構(gòu)建廣域量子通信網(wǎng)、實(shí)現(xiàn)多用戶安全量子通信成為可能.2016 年中國(guó)發(fā)射了世界第一顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號(hào)”[19],并在2017 年與量子“京滬干線”成功對(duì)接[20].2020 年,美國(guó)發(fā)布《量子網(wǎng)絡(luò)戰(zhàn)略展望》,提出建設(shè)大容量的量子網(wǎng)絡(luò),推動(dòng)星地量子通信技術(shù)發(fā)展;同年,歐盟在《戰(zhàn)略研究議程》中規(guī)劃未來10 年建設(shè)800 km 的光纖量子傳輸線路[21].然而,在量子網(wǎng)絡(luò)中,由于量子信道退相干的影響及糾纏態(tài)有效分發(fā)距離的限制[22?24],難以為網(wǎng)絡(luò)中的所有通信節(jié)點(diǎn)事先制備直接的糾纏粒子對(duì).為解決該問題,Briegel[25]于2001 年首次提出量子糾纏交換方法來建立兩個(gè)遠(yuǎn)距離量子節(jié)點(diǎn)間的糾纏信道.目前,量子網(wǎng)絡(luò)中的多跳糾纏交換方法的研究受到學(xué)者們的關(guān)注[26?28].多跳方案中的量子信道從最初的Bell 態(tài)[29],發(fā)展到多粒子GHZ態(tài)[30?31]、不對(duì)稱W 態(tài)和Bell 態(tài)的組合態(tài)[32].文獻(xiàn)[25]中的糾纏交換為逐跳交換,中間節(jié)點(diǎn)依次進(jìn)行量子Bell 測(cè)量的串行操作,造成端到端糾纏交換時(shí)延過大的問題.為解決該問題,Cai 等[33]提出基于部分糾纏粒子對(duì)的量子對(duì)橋接方案,各節(jié)點(diǎn)異步傳輸測(cè)量結(jié)果的經(jīng)典信息,目的節(jié)點(diǎn)對(duì)測(cè)量的經(jīng)典信息結(jié)果采用異或邏輯處理,可以縮短一部分時(shí)延.Xiong 等[34]提出同時(shí)建立量子路由和量子糾纏過程,每一跳的貝爾態(tài)測(cè)量結(jié)果都承載在量子尋路信息上,可以減少數(shù)據(jù)包總數(shù)和端到端時(shí)延.Wang 等[35]提出基于任意Bell 態(tài)的并行糾纏交換方法,中間節(jié)點(diǎn)獨(dú)立且并行地進(jìn)行量子測(cè)量,可大幅度減少端到端時(shí)延.

目前關(guān)于多跳量子糾纏交換的研究主要基于單自由度極化光子糾纏態(tài),然而隨著超糾纏態(tài)在量子信息傳輸領(lǐng)域逐漸引入,如何建立遠(yuǎn)程用戶間的超糾纏信道亦成為有待解決的關(guān)鍵問題,但目前相關(guān)研究還較少.本文提出基于極化-空間模兩自由度超糾纏態(tài)的多跳糾纏交換方法,并比較了逐跳超糾纏交換方案與并行超糾纏交換方案的性能.并行方案能顯著降低端到端超糾纏路徑建立時(shí)延,但會(huì)導(dǎo)致較大的經(jīng)典信息開銷.因此,本文進(jìn)一步提出一種分級(jí)并行超糾纏交換方案,將糾纏交換路徑上的量子中間節(jié)點(diǎn)劃分為多個(gè)段落,首先在每個(gè)段落內(nèi)同時(shí)進(jìn)行并行超糾纏交換,稱為一級(jí)交換;接下來在段落間執(zhí)行兩端并行超糾纏交換,稱為二級(jí)交換.該方案在保持較小的端到端糾纏交換時(shí)延的同時(shí),能夠顯著減少經(jīng)典信息開銷,有利于實(shí)現(xiàn)更高效率的遠(yuǎn)程超糾纏通信.

2 基于超糾纏的量子隱形傳態(tài)方案

2.1 超糾纏態(tài)Bell 態(tài)

光子系統(tǒng)可擁有多個(gè)自由度,例如極化、空間模、軌道角動(dòng)量、頻率等.

兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度同時(shí)存在糾纏的量子態(tài)定義為超糾纏態(tài).本文以極化-空間模超糾纏Bell態(tài)為研究對(duì)象,制備原理如圖1 所示,泵浦光束(PUMP)通過非線性晶體(β-BaB2O4,B BO)兩次,首次入射光穿過上方BBO 晶體發(fā)生第一次參量下轉(zhuǎn)換(Spontaneous Parametric Down-Conversion,SPDC) 在光路a1和a2處產(chǎn)生光子,第二次泵浦光束經(jīng)過Mirror 反射后穿過下方BBO 晶體發(fā)生第二次SPDC 在光路b1和b2處產(chǎn)生光子,每次參量下轉(zhuǎn)換過程中,等概率的產(chǎn)生2 個(gè)光子.在第一次SPDC 過程中產(chǎn)生極化自由度的光子對(duì),第二次SPDC 過程產(chǎn)生空間模自由度的光子對(duì).兩次產(chǎn)生的光子在空間上出現(xiàn)重疊,兩光子態(tài)相干疊加形成超糾纏態(tài),具體過程可參考文獻(xiàn)[36].

圖1 極化和空間模自由度中超糾纏態(tài)產(chǎn)生原理Fig.1.Schematic diagram of the setup to generate hyperentanglement in both polarization and spatial-mode DOFs.

一個(gè)典型超糾纏Bell 態(tài)可描述為

式中,P和S分別為光子的極化和空間模自由度,H和V表示極化自由度下水平與垂直方向,a1,b1等表示光子的不同空間模.類似地,可以得到共16 種超糾纏Bell 態(tài).

2.2 超糾纏隱形傳態(tài)

假設(shè)Alice 想給Bob 傳送1 個(gè)光子,所攜帶的信息采用極化和空間模兩種自由度進(jìn)行編碼,其形式如下

這里α,β,γ,δ滿足α2+β2=1,γ2+δ2=1,隱性傳態(tài)過程包括以下3 個(gè)步驟.

步驟1糾纏態(tài)的制備與糾纏分發(fā)

Alice 和Bob 需事先共享一對(duì)極化-空間模超糾纏光子對(duì) |ω〉A(chǔ)B,該糾纏對(duì)由Alice 制備,其中光子A由Alice 持有,光子B經(jīng)由量子信道分發(fā)給Bob.

光子X,A,B的組合態(tài)可以改寫為

步驟2超糾纏Bell 態(tài)測(cè)量

Alice 對(duì)光子X和A進(jìn)行超糾纏Bell 態(tài)測(cè)量(Hyperentangled Bell-State Measurement,HBSM),測(cè)量結(jié)果將等概率地塌縮到(6)式中的16 個(gè)超糾纏Bell 態(tài)之一.之后,Alice 通過經(jīng)典信道將HBSM 結(jié)果告訴Bob.

步驟3幺正變換

3 量子多跳超糾纏交換

3.1 基于逐跳傳輸?shù)某m纏交換

為實(shí)現(xiàn)量子網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)用戶間的超糾纏隱性傳態(tài),需引入若干量子中間節(jié)點(diǎn),執(zhí)行超糾纏交換,從而建立遠(yuǎn)程超糾纏量子信道.以兩跳信道為例,如圖2 所示.Alice 制備超糾纏粒子對(duì)A和B,自己持有粒子A,將粒子B分發(fā)給N1.節(jié)點(diǎn)N1制備一對(duì)超糾纏粒子C和D,自己持有粒子C,將粒子D分發(fā)給Bob.

圖2 超糾纏交換原理Fig.2.Schematic diagram of hyperentanglement swapping.

上述方案可以很容易地推廣到N跳的多粒子糾纏交換的情況.在N跳場(chǎng)景中,在Alice 和Bob 之間需要引入N-1 個(gè)中間節(jié)點(diǎn),分別編號(hào)為N1,N2,···,NN-1.首先,Alice 及中間節(jié)點(diǎn)同時(shí)制備超糾纏Bell 態(tài),將其中的1 個(gè)光子(本地光子)保留在自己手中,并將另1 個(gè)光子(旅行光子)分發(fā)給下一節(jié)點(diǎn).接下來,節(jié)點(diǎn)N1對(duì)自己所持的2 個(gè)光子進(jìn)行HBSM,并將測(cè)量結(jié)果發(fā)送至N2,N2根據(jù)N1的測(cè)量結(jié)果對(duì)旅行光子進(jìn)行幺正變換,其后對(duì)自己所持的旅行光子及本地光子進(jìn)行HBSM,并將測(cè)量結(jié)果發(fā)送給N3,此過程在各個(gè)中間節(jié)點(diǎn)依次進(jìn)行,這種糾纏交換方式稱為逐跳方式.

假設(shè)一次HBSM 需要的平均時(shí)間為dms,一次幺正變換的平均時(shí)間為dus,由于需要將HBSM測(cè)量結(jié)果編碼封裝進(jìn)特定格式的經(jīng)典數(shù)據(jù)包中,設(shè)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)到第i+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)傳輸與處理經(jīng)典數(shù)據(jù)包所需的時(shí)間為dts,兩個(gè)相鄰量子節(jié)點(diǎn)間單跳超糾纏分發(fā)所需的平均時(shí)間dqs.對(duì)于逐跳方案,N跳情況下的端到端超糾纏交換時(shí)延為

dt可采用以下方式計(jì)算

式中,dc為單跳經(jīng)典信道上信息的平均傳播時(shí)延,dp為經(jīng)典數(shù)據(jù)包平均處理時(shí)延,L是經(jīng)典數(shù)據(jù)包的總長(zhǎng)度,Rc為 經(jīng)典信息的傳輸速 率,Hi為路徑上第i個(gè)中間節(jié)點(diǎn)到第i+1 個(gè)中間節(jié)點(diǎn)的經(jīng)典通信的跳數(shù),其中i=1,2,···,N-1.

表1 幺正變換表Table 1.Unitary operations.

經(jīng)典信息開銷為

3.2 基于并行傳輸?shù)某m纏交換

3.1 節(jié)中的逐跳傳輸與串行操作會(huì)造成較大的端到端超糾纏交換時(shí)延,為降低時(shí)延,本文提出一種基于并行傳輸?shù)亩嗵m纏交換方案,下面以三跳路徑為例,說明其原理,如圖3 所示.

圖3 并行超糾纏交換Fig.3.Schematic diagram of simultaneous hyperentanglement swapping.

在圖3 方案中,Alice,N1,N2分別制備超糾纏光子對(duì) |φ〉A(chǔ)B,|φ〉CD,|φ〉EF并向自己的下一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行糾纏粒子分發(fā),其具體過程與3.1 小節(jié)類似.這些超糾纏光子對(duì)形式如下.

光子A,B,C,D,E,F的總量子態(tài)可以表示為

將(11)式帶入(12)式,通過整理及合并,可以得到

超糾纏光子對(duì)分發(fā)完成后,N1和N2同時(shí)對(duì)自己持有的光子B,C及D,E進(jìn)行HBSM.并獨(dú)立地將測(cè)量結(jié)果進(jìn)行編碼后發(fā)送給Alice.之后,Alice 根據(jù)測(cè)量結(jié)果對(duì)自己所持的粒子A進(jìn)行幺正變換,建立與Bob 間的超糾纏信道.Alice 所執(zhí)行的幺正變換是根據(jù)(13)式得到的.

基于上述原理,對(duì)于N跳的超糾纏交換路徑,可以得到Alice 對(duì)粒子A應(yīng)執(zhí)行的幺正變換,如表2 所示,表中表示中間節(jié) 點(diǎn)Ni(i ?[1,N?1])HBSM 測(cè)量結(jié)果的四位編碼.例如BC和DE的測(cè)量結(jié)果分別為,則其編碼 為0011 和0000,Alice 應(yīng)執(zhí)行的幺正運(yùn)算為.

表2 多跳并行幺正變換表Table 2.Multi-hop parallel entanglement swapping unitary operations.

在N跳并行超糾纏交換中,所有中間節(jié)點(diǎn)同時(shí)執(zhí)行HBSM,幺正變換僅需在源節(jié)點(diǎn)執(zhí)行一次,端到端超糾纏交換時(shí)延由傳輸經(jīng)典數(shù)據(jù)包時(shí)延、一個(gè)單位的HBSM 時(shí)間、一個(gè)單位的幺正變換時(shí)間和一個(gè)單位的糾纏分發(fā)時(shí)間組成,所以并行交換的端到端超糾纏交換時(shí)延為

式中 m ax(H)為每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)到Alice 的最大經(jīng)典跳數(shù),N跳超糾纏交換的經(jīng)典信息開銷為

3.3 分級(jí)并行超糾纏交換方案

雖然3.2 節(jié)并行方案中的端到端超糾纏交換時(shí)延顯著降低,但每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)都需要通過經(jīng)典信道向Alice 發(fā)送測(cè)量結(jié)果,需要傳輸大量的經(jīng)典信息.為解決此問題,本節(jié)提出一種高效的分級(jí)并行超糾纏交換方案.首先,將整個(gè)量子多跳路徑上的中間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分段,根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模和用戶的需求確定每個(gè)段落中節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù).整個(gè)糾纏交換過程分為兩級(jí),第一級(jí)為段落內(nèi)的糾纏交換,第二級(jí)為段落間的糾纏交換.如圖4 所示,為減少段內(nèi)糾纏交換時(shí)延,采用兩端逼近的并行方式傳輸,設(shè)每一段的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為K,定義y=[K/2]為向上取整函數(shù),將每一段中第y個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),每一段絡(luò)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為頭節(jié)點(diǎn),最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為端節(jié)點(diǎn).首先,在每一個(gè)段落內(nèi),在完成并行超糾纏分發(fā)及HBSM 后,其他節(jié)點(diǎn),將測(cè)量結(jié)果發(fā)送給關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)根據(jù)測(cè)量結(jié)果執(zhí)行特定的幺正變換,從而分別建立頭節(jié)點(diǎn)與尾節(jié)點(diǎn)間的超糾纏;其后,關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)執(zhí)行HBSM,并將測(cè)量結(jié)果發(fā)送給段內(nèi)的頭節(jié)點(diǎn),頭節(jié)點(diǎn)執(zhí)行對(duì)應(yīng)的幺正變化,從而建立相鄰段落頭節(jié)點(diǎn)之間的超糾纏.所有段落同時(shí)進(jìn)行這樣的操作,稱為一級(jí)超糾纏交換.接下來,同時(shí)在每一段的頭節(jié)點(diǎn)處執(zhí)行HBSM,并將測(cè)量結(jié)果發(fā)送至源節(jié)點(diǎn)Alice.之后,Alice 根據(jù)測(cè)量結(jié)果對(duì)自己的粒子進(jìn)行對(duì)應(yīng)的幺正變化,從而建立與Bob 間的超糾纏.這個(gè)過程稱為二級(jí)超糾纏交換.

圖4 多級(jí)并行糾纏交換原理Fig.4.Schematic diagram of hierarchical simultaneous entanglement swapping.

在N跳分級(jí)超糾纏交換中,端到端超糾纏交換時(shí)延為

式中,m ax1(H)為每一級(jí)中間節(jié)點(diǎn)到關(guān)鍵的最大經(jīng)典跳數(shù),m ax2(H)為每級(jí)的端節(jié)點(diǎn)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)Alice的最大經(jīng)典跳數(shù).

經(jīng)典信息開銷為

式中,n為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中分段的數(shù)量,k為每段中節(jié)點(diǎn)的總數(shù),Hk為每段的中間節(jié)點(diǎn)到關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的經(jīng)典跳數(shù),Hn為每段端節(jié)點(diǎn)到用戶節(jié)點(diǎn)Alice 之間的經(jīng)典跳數(shù).

4 性能分析

4.1 隱形傳態(tài)保真度分析

超糾纏隱形傳態(tài)的過程中,在糾纏分發(fā)過程中,將不可避免地遭到信道噪聲退相干的影響,以幅值阻尼信道為例,該信道的算子和形式可以表示為

式中,E表示作用于粒子A和B的噪聲的Kraus算子,p為幅值阻尼系數(shù).

幅值阻尼運(yùn)算元為

由于糾纏分發(fā)過程中受到幅值阻尼信道的干擾,三粒子的組合態(tài)系統(tǒng)可以描述為

對(duì)于純態(tài) |ψ〉 和密度矩陣ρ的任意量子態(tài),Bures保真度為F(|ψ〉,ρ)=〈ψ|ρ|ψ〉,可以得到幅值阻尼信道下的超糾纏隱性傳態(tài)保真度[37]為

當(dāng)普通Bell 態(tài)作為糾纏資源時(shí),其幅值阻尼信道下的隱性傳態(tài)保真度為

圖5 給出了幅值阻尼信道中,分別采用超糾纏Bell 態(tài)和普通Bell 態(tài)作為糾纏資源時(shí),隱形傳態(tài)的保真度隨幅值阻尼系數(shù)p的變化情況.可以看出,無論采用何種糾纏態(tài),隱性傳態(tài)保真度均隨著p的增大而減小,但采用超糾纏的隱形傳態(tài)保真度明顯高于采用普通Bell 態(tài)的保真度,這是由于超糾纏態(tài)的空間模自由度不易受到噪聲干擾,因而有利于提高量子隱形傳態(tài)質(zhì)量.

圖5 隱形傳態(tài)保真度Fig.5.Teleportation fidelity.

4.2 幅值阻尼信道上的多跳量子糾纏交換

首先以兩跳幅值阻尼信道為例,設(shè)兩跳糾纏交換信道的幅值阻尼分別為p1和p2,經(jīng)過糾纏交換后,通過等效計(jì)算,可以得出兩跳的幅值阻尼信道糾纏交換的等效阻尼系數(shù)為

采用迭代計(jì)算方法,可以得到多跳幅值阻尼糾纏交換信道上的等效阻尼系數(shù),從而得到基于多跳糾纏交換信道的隱形傳態(tài)保真度.

圖6 給出了在不同的單跳信道幅值阻尼系數(shù)下,采用兩種糾纏態(tài)時(shí),隱形傳態(tài)保真度隨跳數(shù)N的變化情況.可以看出,無論采用何種糾纏態(tài),保真度均隨著單跳信道幅值阻尼系數(shù)及跳數(shù)N的增大而減小,但采用超糾纏的隱形傳態(tài)保真度明顯高于采用普通Bell 態(tài)的保真度.

圖6 隱形傳態(tài)保真度隨跳數(shù)及幅值阻尼系數(shù)的變化Fig.6.Teleportation fidelity versus the number of hops and the damping factor.

4.3 端到端超糾纏交換時(shí)延分析

假設(shè)光子在空氣中的傳播速率約為2.996 ×105km,幺正運(yùn)算時(shí)間du為100 ns,經(jīng)典數(shù)據(jù)包處理的平均時(shí)延dp為20 ns,HBSM 測(cè)量時(shí)間dm為50 ns,經(jīng)典信息傳輸速率Rc為100 Mbit/s,經(jīng)典數(shù)據(jù)包的總長(zhǎng)度L為512 bit.

圖7 給出了逐跳傳輸、并行傳輸、分級(jí)傳輸3 種糾纏交換方式的端到端糾纏建立時(shí)延隨中間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化關(guān)系.隨著中間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加,3 種傳輸方式的時(shí)延均呈遞增趨勢(shì),逐跳傳輸由于串行操作時(shí)延最大,遠(yuǎn)高于并行傳輸和分級(jí)傳輸.并行傳輸時(shí)延最小,分級(jí)傳輸時(shí)延略高于并行傳輸.

圖7 端到端糾纏建立時(shí)延隨中間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.7.Time delay versus the number of intermediate nodes.

圖8 中給出了采用不同的單跳距離時(shí),逐跳傳輸、并行傳輸、分級(jí)傳輸3 種超糾纏交換方式的端到端糾纏建立時(shí)延與整個(gè)多跳路徑距離的關(guān)系.可以看出,隨著路徑距離的增加,3 種方式的糾纏建立時(shí)延均增大,且在同等條件下,逐跳傳輸?shù)臅r(shí)延明顯高于其他2 種方式,分級(jí)傳輸方式的時(shí)延略高于并行傳輸方式.對(duì)于每一種糾纏交換方式,單跳距離為2 km 的時(shí)延高于單跳距離為4 km 的時(shí)延,這是由于在整體路徑距離一定時(shí),較短的單跳距離意味著需引入較多的中間節(jié)點(diǎn),從而導(dǎo)致端到端時(shí)延增加.為降低時(shí)延,可以適當(dāng)減少中間節(jié)點(diǎn)的數(shù)目,但相鄰節(jié)點(diǎn)之間的長(zhǎng)度會(huì)增加,使得量子信道中產(chǎn)生較大的退相干和噪聲.因此,單跳距離需要根據(jù)通信距離、信道條件等進(jìn)行合理的設(shè)計(jì).

圖8 單跳距離與端到端時(shí)延的關(guān)系Fig.8.End to end time delay versus the per-hop length.

4.4 量子噪聲網(wǎng)絡(luò)中跳數(shù)選擇對(duì)糾纏交換通信的影響

在實(shí)際情況下,由于量子信道環(huán)境噪聲及量子測(cè)量的不理想性客觀存在,導(dǎo)致量子糾纏發(fā)生退相干,造成量子網(wǎng)絡(luò)的通信性能下降.首先考慮環(huán)境噪聲的影響.以幅值阻尼信道為例,受霧、氣溶膠、雨、雪等環(huán)境的影響,丟失1 個(gè)光子的概率p(即幅值阻尼系數(shù))與消光系數(shù)Aext傳輸距離DL的關(guān)系為[38?39]

在多跳糾纏交換通信中,當(dāng)源節(jié)點(diǎn)與目的節(jié)點(diǎn)間的距離一定時(shí),隨著引入的中間節(jié)點(diǎn)數(shù)量的變化,會(huì)導(dǎo)致糾纏交換跳數(shù)及節(jié)點(diǎn)間單跳糾纏分發(fā)距離的變化,從而使得單跳量子信道幅值阻尼系數(shù)發(fā)生變化.利用 (20) 式、(21) 式,(22) 式和(23)式可以得到基于多跳糾纏交換的隱形傳態(tài)保真度.圖9給出了當(dāng)環(huán)境情況較為理想時(shí)(消光系數(shù)<0.005,消光系數(shù)1=0.002,消光系數(shù)2=0.0022,消光系數(shù)3=0.0025),端到端通信距離為200 km,量子隱形傳態(tài)保真度隨糾纏交換跳數(shù)的變化情況.

圖9 跳數(shù)選擇與隱形傳態(tài)保真度的關(guān)系Fig.9.Teleportation fidelity versus the choice of the number of hops.

從圖9 可以看出,隨著跳數(shù)增加,盡管單跳信道幅值阻尼系數(shù)變小,但多跳隱形傳態(tài)保真度略有降低;在同等條件下,本文基于超糾纏Bell 態(tài)的糾纏交換方案的保真度高于普通Bell 態(tài)方案.以上結(jié)論說明在信道環(huán)境較理想時(shí),可以選擇較少的糾纏交換跳數(shù)以獲得較高的隱形傳態(tài)保真度.然而,當(dāng)信道環(huán)境不理想時(shí),消光系數(shù)變大,在糾纏分發(fā)前,必需在量子中間節(jié)點(diǎn)上采用糾纏純化方法來提高糾纏保真度,若此時(shí)采用過小的跳數(shù),將造成單跳信道的阻尼系數(shù)過大,從而導(dǎo)致糾纏純化失敗率增加.因此,必需結(jié)合通信距離及信道環(huán)境的具體情況來考慮糾纏交換跳數(shù)的選擇問題.

以上分析主要考慮了量子信道環(huán)境噪聲對(duì)跳數(shù)選擇的影響.此外,由于在量子節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行測(cè)量時(shí),會(huì)對(duì)量子糾纏造成較大的損失,為解決該問題,一些研究者提出進(jìn)行糾纏交換之后的糾纏純化方法[40].目前,如何設(shè)計(jì)更佳的方法來降低測(cè)量對(duì)量子糾纏通信的影響,是實(shí)現(xiàn)實(shí)用化量子通信的重要問題,也是后續(xù)研究的一個(gè)重要的方向.

4.5 經(jīng)典信息開銷分析

圖10 中給出了逐跳傳輸、并行傳輸、分級(jí)傳輸3 種糾纏交換方式的經(jīng)典信息開銷隨中間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的變換關(guān)系,設(shè)兩個(gè)相鄰中間節(jié)點(diǎn)之間的經(jīng)典跳數(shù)為1,分級(jí)并行傳輸?shù)拿恳环侄沃杏? 個(gè)中間節(jié)點(diǎn).隨著中間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加,2 種傳輸方式的經(jīng)典信息開銷均呈遞增趨勢(shì),并行傳輸?shù)慕?jīng)典信息開銷最多,逐跳傳輸?shù)慕?jīng)典信息開銷最低,分級(jí)傳輸?shù)慕?jīng)典信息開銷低于并行傳輸.

圖10 中間節(jié)點(diǎn)數(shù)與經(jīng)典信息開銷關(guān)系Fig.10.Classical costs versus the number of intermediate nodes.

假設(shè)Alice 和Bob 之間的中間節(jié)點(diǎn)總數(shù)已知,圖11 中給出分級(jí)并行傳輸?shù)慕?jīng)典信息開銷隨每段中間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的變換關(guān)系.圖中顯示每段4 節(jié)點(diǎn)的經(jīng)典信息開銷不一定大于或小于每段8 節(jié)點(diǎn)和每段16 節(jié)點(diǎn),即每段節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加或減少,不一定能降低經(jīng)典信息的開銷,這是因?yàn)殡S著每段節(jié)點(diǎn)數(shù)增加,雖然二級(jí)交換的經(jīng)典信息開銷有一定程度的降低,但同時(shí)一級(jí)交換的經(jīng)典信息開銷增大了.因此,需要根據(jù)不同的情況來分割每段,使經(jīng)典開銷最低.

圖11 每段節(jié)點(diǎn)數(shù)與經(jīng)典信息開銷的關(guān)系Fig.11.Classical costs versus number of intermediate nodes in one segment.

Cabello[41]從信息論的角度定義了量子密鑰分發(fā)過程的通信效率,其中,bs表示目的節(jié)點(diǎn)收到的比特?cái)?shù),qt表示量子信息的比特?cái)?shù),bt表示經(jīng)典開銷比特?cái)?shù),指出較少的經(jīng)典信息開銷能夠提高量子通信的效率.這種概念已被應(yīng)用于其他量子通信方案以考察其效率.在此基礎(chǔ)上,本文定義糾纏交換的效率為

式中,qs表示建立糾纏對(duì)的個(gè)數(shù),R表示整個(gè)糾纏交換路徑上所需的粒子個(gè)數(shù),n表示跳數(shù),C表示經(jīng)典信息開銷.在N跳超糾纏交換方案場(chǎng)景中,假設(shè)Alice 需要Bob 建立超糾纏關(guān)系,需要 2n對(duì)糾纏粒子對(duì),經(jīng)典開銷已在第3 節(jié)中給出.圖12 中給出了糾纏交換效率隨跳數(shù)的變換關(guān)系.可以看出,隨著跳數(shù)的增加,糾纏交換的效率逐漸降低,但分級(jí)并行交換方案明顯高于并行方案.

圖12 跳數(shù)與糾纏交換效率的關(guān)系Fig.12.Entanglement swapping efficiency versus the number of hops.

5 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)量子網(wǎng)絡(luò)中的遠(yuǎn)距離超糾纏通信,本文提出基于極化-空間模超糾纏的多跳糾纏交換方法,并分析了采用逐跳傳輸方和并行傳輸兩種策略下的性能,理論分析和仿真結(jié)果表明逐跳方案端到端的時(shí)延較大,通信效率低.并行方案能夠顯著降低端到端時(shí)延,但由于所有中間節(jié)點(diǎn)需通過經(jīng)典信道將量子測(cè)量結(jié)果發(fā)送到目的節(jié)點(diǎn),傳輸?shù)慕?jīng)典信息量遠(yuǎn)大于逐跳方式,不適合用于大規(guī)模的量子網(wǎng)絡(luò).由此提出一種分級(jí)并行方案,將整個(gè)網(wǎng)絡(luò)劃分為兩級(jí),每一級(jí)間進(jìn)行兩端并行傳輸.讓通信時(shí)延和經(jīng)典信息開銷在一定程度上達(dá)成平衡,實(shí)現(xiàn)了高效傳輸.從實(shí)際的角度出發(fā),在每一段傳輸?shù)倪^程中,需要選擇合適的節(jié)點(diǎn)數(shù),同時(shí)兼顧每跳距離.本文提出的方案可用于量子接入網(wǎng)和量子核心網(wǎng),在未來陸地量子網(wǎng)絡(luò)、衛(wèi)星量子網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展中有著較為廣闊的應(yīng)用前景.