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數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2022-06-07 04:11張鑫
關(guān)鍵詞:數(shù)與形數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用

張鑫

【摘要】數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),數(shù)與形看似是兩個部分的內(nèi)容,實際上在數(shù)學(xué)中有著十分密切的聯(lián)系.在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容;在高中數(shù)學(xué)的解題中,很多時候?qū)?shù)與形結(jié)合,可以簡化解題過程,開拓學(xué)生思路.可見,數(shù)形結(jié)合思想是十分重要的.本文將簡單闡述數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)和重要作用,然后舉例說明數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)與形;數(shù)形結(jié)合思想;應(yīng)用

一、數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)

數(shù)形結(jié)合思想方法的實質(zhì)是指將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀圖形結(jié)合起來,使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.通過對圖形的處理發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用,通過對數(shù)與式的轉(zhuǎn)換,圖形的特征及幾何關(guān)系被刻畫得更加精細和準確,這樣就可以使抽象概念和具體形象相互聯(lián)系、相互補充、相互轉(zhuǎn)化.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的重要作用

(一)幫助學(xué)生理解新知識

在代數(shù)課堂的導(dǎo)入中,如果教師用教具或是多媒體展示出一個動態(tài)的教學(xué)案例,會引起學(xué)生興趣、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望,可以順其自然地引入一堂課.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,對于很多知識點,教師直接講解可能不會讓學(xué)生理解到關(guān)鍵,甚至難以記住,而借助圖形直觀地向?qū)W生展示知識點的推理過程,可以促進學(xué)生理解知識,加深學(xué)生的印象.比如,教師在講余弦定理的時候,可以用平面上的三角形通過向量法進行證明,讓學(xué)生對余弦定理的記憶有一個幾何層面的理解,這樣會開闊學(xué)生的思維.幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合,會讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián),加強對數(shù)學(xué)整體性的理解.

(二)為學(xué)生解題提供新思路

數(shù)學(xué)內(nèi)容本身具有普遍聯(lián)系的特點,所以在數(shù)學(xué)解題中,為了解題方便,代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決,幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.很多時候代數(shù)問題直接推導(dǎo)求解會很麻煩,如果可以用幾何圖形進行解決,那么代數(shù)問題會解決得更加容易.比如,在求一元二次不等式的解集時,我們可以畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像,觀察圖像與橫軸交點情況,圖像在橫軸上方時,不等式大于零,圖像在橫軸下方時,不等式小于零.

(三)促進學(xué)生思維的發(fā)展

對于數(shù)學(xué)中較難理解的概念或者定理,教師若分別從數(shù)與形這兩個角度闡述,則可以使學(xué)生對這部分知識的理解更為深刻、具體,從而豐富學(xué)生頭腦中的認知結(jié)構(gòu).代數(shù)主要運用的是抽象思維,幾何主要運用的是形象思維,而數(shù)形結(jié)合思想則要求學(xué)生的思維在抽象思維與形象思維之間轉(zhuǎn)換,這一定會促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,并且這種相互轉(zhuǎn)換的方法也會使學(xué)生在生活中受益.在數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程中,學(xué)生會從一個目標出發(fā),沿著不同的途徑去思考,探求多種答案,這可以發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維.

(四)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)形相輔,借助幾何圖形來幫助學(xué)生理解較難理解的數(shù)、數(shù)量關(guān)系,可以最大限度地促進學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的發(fā)展.這個過程要求學(xué)生能將表達空間形狀、大小、位置關(guān)系的數(shù)學(xué)語言與具體的實際特征結(jié)合起來,提高學(xué)生的快速匹配認知能力與空間想象能力.在數(shù)形轉(zhuǎn)換這個過程中,數(shù)形結(jié)合思想有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

(一)數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用有很多:通過數(shù)形結(jié)合思想求函數(shù)最值問題、通過導(dǎo)數(shù)圖像的正負畫出原函數(shù)圖像的單調(diào)性、結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像可以判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù).下面舉一個分段函數(shù)求最值的問題,通過畫函數(shù)圖像可以直觀地解決問題.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x,x≤a,-2x,x>a.

(1)若a=0,則f(x)的最大值為;

(2)若f(x)無最大值,則實數(shù)a的取值范圍是.

分析 這是一個分段函數(shù),題目中分段函數(shù)的分界點并沒有明確給出,首先不看兩個問題,直接將f(x)兩段在R上的圖像畫出來.先畫出三次函數(shù)的圖像,為了畫出三次函數(shù)圖像,要研究三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖像.假設(shè)y=x3-3x,那么它的導(dǎo)數(shù)y′=3x2-3,導(dǎo)數(shù)圖像如圖1.這樣便由導(dǎo)數(shù)的正負知道了三次函數(shù)的單調(diào)性,由此可以畫出三次函數(shù)在R上的圖像,如圖2.然后看另一個函數(shù)y=-2x,很明顯這是一個一次函數(shù),圖像為單調(diào)遞減、過(0,0)點的一條直線.將三次函數(shù)和一次函數(shù)這兩個函數(shù)的圖像放在一個直角坐標系里,如圖3.

解 (1)當x≤0時,此函數(shù)為三次函數(shù);當x>0時,此函數(shù)為一次函數(shù).由圖3可知,函數(shù)最大值在x=-1處取得,函數(shù)值為2.

(2)如果a<-1,結(jié)合圖3,最大值正常在一次函數(shù)上取,由于一次函數(shù)定義域是x>a,所以在一次函數(shù)上取不到最大值,滿足題意.如果a≥-1,根據(jù)圖3可知函數(shù)在x=-1時取到最大值,不符合題意. 所以實數(shù)a的取值范圍是a<-1.

(二)數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

在集合的學(xué)習(xí)中,要求學(xué)生能夠理解韋恩圖所表示的集合,能夠說出集合間的基本關(guān)系.不等式的解集通常可以用數(shù)軸表示出來,將表示不等式的集合在數(shù)軸上畫出來,可以清晰地看出表示不等式的集合之間的關(guān)系.在這部分知識的學(xué)習(xí)中,需要用到數(shù)形結(jié)合思想.

例2 正確表示圖中陰影部分的是(? ).

分析 本題要求學(xué)生用代數(shù)語言表示幾何圖形所呈現(xiàn)出的信息,陰影部分是在整個長方形中除去兩個橢圓,這兩個橢圓有公共部分,那么根據(jù)集合的并集和補集的定義即可求出答案.本題通過幾何與代數(shù)的結(jié)合考查了學(xué)生對集合基本運算的掌握程度.

解 用集合語言表示就是在全集U中扣除集合A和集合B的并集,即C選項的

例3 ?設(shè)集合A={x|1

分析 通過畫數(shù)軸可以直觀地看出,要使AB,那么a必須是大于2的數(shù).然后考慮當a=2時的情況,由圖可得當a=2時,B={x|x<2},剛好滿足AB.

解 由數(shù)軸可知,a的取值范圍是a≥2.

(三)數(shù)形結(jié)合思想在證明基本不等式時的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)的一個重要的代數(shù)內(nèi)容,基本不等式a+b2≥ab(a>0,b>0)的證明方法有很多,比如,用代數(shù)證明:

要證

ab≤a+b2,①

只要證

2ab≤a+b.②

要證②,只要證

2ab-a-b≤0.③

要證③,只要證

-a-b2≤0.④

要證④,只要證

a-b2≥0.⑤

顯然,⑤成立,當且僅當a=b時,⑤中的等號成立.以上的過程倒過來就是基本不等式的代數(shù)證明方法.

這樣的證明方法簡單易理解,但是如果和幾何圖形聯(lián)系起來證明,可以更加開闊學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面是基本不等式的幾何證明方法.

如圖6,AB是半圓O的直徑,OC為半徑,F(xiàn)為直徑AB上的任意一點,令A(yù)F=a,BF=b,作EF⊥AB交半圓弧AB于點E,那么半圓半徑OC=a+b2.由于EF⊥AB,所以∠1+∠2=90°.由于點E為半圓弧上的點,所以AE⊥BE,即∠2+∠3=90°,所以∠1=∠3,即△AEF∽△EBF.那么有aEF=EFb,即EF=ab.

連接OE,在Rt△OEF中,斜邊OE大于直角邊EF,所以有半徑OC>EF,即a+b2>ab;當a=b時,Rt△OEF的斜邊OE等于直角邊EF,此時三角形變成一條線段,所以有OE=EF,即a+b2=ab.

于是a+b2≥ab(等號成立條件:a=b)得證.

(四)數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)證明空間中直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系以及二面角的余弦值等問題時,可以根據(jù)題目情況建立一個空間直角坐標系,把所研究的立體圖形放在空間直角坐標系里,標出所需要的點的坐標,計算空間向量、方向向量等,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運算問題進行研究,有助于培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.

例4 如圖7,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.

(1)求證:O1O⊥底面ABCD;

(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

證明 (1)因為四邊形ACC1A1是矩形,所以CC1⊥AC,同理DD1⊥BD.

因為CC1∥DD1,所以CC1⊥BD,而AC∩BD=O,

因此CC1⊥底面ABCD.

由題設(shè)知O1O∥CC1,故O1O⊥底面ABCD.

解 (2)因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,

所以四邊形ABCD是菱形,因此AC⊥BD.

又O1O⊥底面ABCD,從而OB,OC,OO1兩兩垂直.

如圖8,以O(shè)為坐標原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系O-xyz.

不妨設(shè)AB=2,因為∠CBA=60°,所以O(shè)B=3,OC=1.

于是相關(guān)各點的坐標為O(0,0,0),B1(3,0,2),C1(0,1,2).

易知n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一個法向量.

設(shè)n2=(x,y,z)是平面OB1C1的法向量,則n2·OB1=0,

n2·OC1=0,即3x+2z=0,y+2z=0.

取z=-3,則x=2,y=23,所以n2=(2,23,-3).

設(shè)二面角C1-OB1-D的大小為θ,易知θ是銳角,

于是cos θ=cos 〈n1·n2〉=n1·n2n1n2=2319=25719.

故二面角C1-OB1-D的余弦值為25719.

(五)數(shù)形結(jié)合思想在楊輝三角中的應(yīng)用

楊輝是我國古代著名數(shù)學(xué)家,1261年楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了由一組羅列的數(shù)組成的三角形,我們把它稱為楊輝三角.計數(shù)原理是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容,這一章中的排列與組合和二項式定理與楊輝三角有著密不可分的聯(lián)系.

(a+b)n的二項式系數(shù)為Ckn(k=0,1,2,…,n),根據(jù)圖9可以發(fā)現(xiàn),楊輝三角的第n行的第r個數(shù)可以表示為Cr-1n,第n行就是(a+b)n的展開式的二項式系數(shù).而且二項式系數(shù)的對稱性、增減性、最大值等性質(zhì)在楊輝三角的性質(zhì)中都有體現(xiàn).

觀察楊輝三角的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn),相鄰的兩行里除了最外邊的數(shù),其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加.也就是Crn=Cr-1n-1+Crn-1,根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì),可以證明此式.

可見,楊輝三角的性質(zhì)與二項式系數(shù)和組合數(shù)的性質(zhì)有很多共同之處.這就是數(shù)學(xué)知識具有普遍聯(lián)系的體現(xiàn),數(shù)形結(jié)合思想在此得到了完美的應(yīng)用.在研究數(shù)學(xué)問題時,我們可以多角度出發(fā),從不同方面研究問題.

(六)數(shù)形結(jié)合思想在方程與不等式中的應(yīng)用

在初中階段,我們可以從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式.在高中階段,我們同樣可以借助二次函數(shù)來理解一元二次方程和一元二次不等式,通過函數(shù)圖像的交點情況來理解三者之間的關(guān)系.

例5 解不等式x2-12x+20<0.

分析 要想解x2-12x+20<0這個不等式,可以先觀察一元二次不等式x2-12x+20<0與二次函數(shù)y=x2-12x+20之間的關(guān)系.6431836A-566A-4583-9308-6E90413E5E21

如圖10,在平面直角坐標系中畫出y=x2-12x+20的函數(shù)圖像,函數(shù)圖像與x軸有兩個交點,這兩個交點的橫坐標就是方程x2-12x+20=0的兩個實數(shù)根,即x1=2,x2=10,所以二次函數(shù)y=x2-12x+20的圖像與x軸的兩個交點是(2,0)和(10,0).實際上,x1=2,x2=10就是二次函數(shù)y=x2-12x+20的兩個零點.

根據(jù)函數(shù)圖像可以看出,二次函數(shù)y=x2-12x+20的零點將x軸分成三段.當210時,函數(shù)圖像在x軸上方,對應(yīng)的x2-12x+20>0.

解 根據(jù)函數(shù)圖像可知,一元二次不等式x2-12x+20<0的解集是{x2

中學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法有很多,數(shù)形結(jié)合思想是比較常見的一種思想.實際上,在中小學(xué)階段,學(xué)生就已經(jīng)接觸到了這種思想.比如,在小學(xué)階段,我們解決工程中的單位“1”問題時,通常是畫一條線段,根據(jù)題意把線段分成若干份,進而更直觀地解決較難理解的代數(shù)運算問題;在初中階段,數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得更為直觀,比如動點問題,我們需要結(jié)合圖形中的情景進行邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.總之,數(shù)形結(jié)合思想貫串學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程.本文簡要介紹了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容中,本文概述了函數(shù)、集合、基本不等式、立體幾何、楊輝三角和方程與不等式中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合思想.除此之外,向量的三角形法則與平行四邊形法則用來計算向量的和與差,圓錐曲線中可以用方程的方法來描述某一點的軌跡,線性規(guī)劃通過函數(shù)圖像畫出可行域來求最值,數(shù)列的取值情況也可借助函數(shù)圖像來考慮,導(dǎo)數(shù)的幾何意義用切線的斜率表示,概率與統(tǒng)計中的幾何概型等,都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.這說明數(shù)學(xué)中的各個板塊之間的聯(lián)系需要在學(xué)習(xí)中深入研究,感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想,領(lǐng)悟其中的解題方法.數(shù)學(xué)來源于生活,數(shù)學(xué)中解決問題可以從多個角度考慮,生活中的問題也是如此,思考問題時不能具有思維定式,要具有發(fā)散思維,要有創(chuàng)新意識.

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