劉雪梅

[摘? ? ? ? ? ?要]? 職業(yè)教育是全國(guó)教育系統(tǒng)非常重要的一環(huán)，因此提高高職學(xué)生面向未來(lái)的能力已迫在眉睫。從數(shù)學(xué)建模的意義與高職學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的現(xiàn)狀兩方面出發(fā)，分別從多層次進(jìn)行高職數(shù)學(xué)教學(xué)、全過(guò)程引入數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀案例、全方位開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)三方面來(lái)研究如何提高高職學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 數(shù)學(xué)建模;高職教學(xué);數(shù)模案例;實(shí)踐創(chuàng)新

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G645? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)]? 2096-0603（2022）19-0088-03

一、提高數(shù)學(xué)建模能力的意義

（一）增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力

在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，要能把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)求解，還要用通俗的語(yǔ)言表達(dá)，從而轉(zhuǎn)化到實(shí)際中應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題都是與生活息息相關(guān)的問(wèn)題，學(xué)生解決問(wèn)題后會(huì)提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和積極性。數(shù)學(xué)應(yīng)用和翻譯能力對(duì)學(xué)生以后在工作崗位上的發(fā)展非常有幫助。

（二）增強(qiáng)自學(xué)、自辨能力

在信息快速更迭的現(xiàn)代社會(huì)，要提高學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新技術(shù)的學(xué)習(xí)能力，更需要學(xué)生具有查找、篩選信息的能力，才能在面對(duì)復(fù)雜的信息時(shí)有自己獨(dú)立的見(jiàn)解，提高學(xué)生未來(lái)工作的發(fā)展?jié)摿?。?shù)學(xué)建模的問(wèn)題具有多樣性、復(fù)雜性、綜合性的特點(diǎn)，要求學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上繼續(xù)拓寬知識(shí)面，通過(guò)查找文獻(xiàn)，篩選到有用信息，在短時(shí)間內(nèi)快速學(xué)習(xí)并應(yīng)用。所以，數(shù)學(xué)建模是提高高職學(xué)生自學(xué)、自辨能力的重要途徑。

（三）增強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用能力

近年來(lái)，大數(shù)據(jù)分析、云計(jì)算、人工智能等技術(shù)發(fā)展迅猛，數(shù)學(xué)軟件使實(shí)際問(wèn)題計(jì)算提高精確度，解決問(wèn)題更高效。應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件能完成人工無(wú)法完成的任務(wù)，得到直觀(guān)的圖表，更有利于深入探究。這些益處促使數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用廣泛。而數(shù)學(xué)建模給了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件的機(jī)會(huì)。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中會(huì)熟練使用Matlab、Lingo、Spss等軟件中的各項(xiàng)功能和命令，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用能力。

（四）培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神和堅(jiān)強(qiáng)的意志力

數(shù)學(xué)建模需要三位隊(duì)員來(lái)參與，進(jìn)行模型建立、模型求解和靈敏性分析等，三人全力以赴，分工合作，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，把建模、編程、論文三部分以一篇論文完成。在這個(gè)過(guò)程中可培養(yǎng)學(xué)生的交流溝通能力，學(xué)會(huì)互相尊重與鼓勵(lì)，培養(yǎng)學(xué)生迎戰(zhàn)困難的信心與耐心和堅(jiān)持不懈的意志。這些品質(zhì)在學(xué)生未來(lái)的工作中會(huì)大有裨益。

（五）提高創(chuàng)新能力

針對(duì)國(guó)家要求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，雖然高職學(xué)生對(duì)理論知識(shí)理解深度不夠，但本著對(duì)高職學(xué)生“夠用”為度，增加應(yīng)用的要求，學(xué)生在技術(shù)應(yīng)用性上有所創(chuàng)新未嘗不可，而數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效途徑之一。數(shù)學(xué)建模的特征是解決方法不唯一，可以查閱網(wǎng)絡(luò)和參考書(shū)籍，可使用數(shù)學(xué)軟件編程解決，這就為學(xué)生的創(chuàng)造性提供了發(fā)揮空間。在尋求更獨(dú)特的創(chuàng)意、更好的解決方案的過(guò)程中，會(huì)大大激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

二、高職學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的現(xiàn)狀

（一）學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，對(duì)數(shù)學(xué)建模興趣淡漠

首先，隨著近幾年高職學(xué)生擴(kuò)招，高職學(xué)生來(lái)源有高考、技校、中專(zhuān)、退伍軍人等渠道[1]，一般都是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，數(shù)學(xué)建模能力更弱。表現(xiàn)為：數(shù)學(xué)理論知識(shí)基礎(chǔ)不扎實(shí)，計(jì)算能力較弱。學(xué)習(xí)新知識(shí)對(duì)教師的依賴(lài)過(guò)大，更沒(méi)有主動(dòng)學(xué)習(xí)新知識(shí)的自覺(jué)性和積極性。并且有部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與專(zhuān)業(yè)課關(guān)系不大，數(shù)學(xué)無(wú)用;還存在少部分學(xué)生一直對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有恐懼和排斥心理。這種種情況導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣不高。

（二）數(shù)學(xué)課程課時(shí)少、難度大，數(shù)學(xué)建模知識(shí)掌握不夠

目前，高職學(xué)生教學(xué)以夠用為度，應(yīng)用型強(qiáng)為目標(biāo)，高職高等數(shù)學(xué)課程的課時(shí)量壓縮，會(huì)導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容精簡(jiǎn);考慮到學(xué)情，教學(xué)內(nèi)容缺乏系統(tǒng)性與連續(xù)性，注重單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)和計(jì)算;數(shù)學(xué)建模方面的知識(shí)只能拋磚引玉，無(wú)法深入地將內(nèi)容講解透徹、拓展應(yīng)用，數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用能力不足，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。并且對(duì)類(lèi)似全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題這樣復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)高職學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

（三）教師教學(xué)方法欠佳，影響學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)

針對(duì)高等數(shù)學(xué)課程理論性強(qiáng)的特點(diǎn)，教師多強(qiáng)調(diào)理論上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維，注重運(yùn)算技巧的訓(xùn)練，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)對(duì)高職學(xué)生的要求一般是直接套用數(shù)學(xué)公式做簡(jiǎn)單計(jì)算，課堂信息量少，學(xué)生不能發(fā)揮主觀(guān)能動(dòng)性。教師在教學(xué)過(guò)程中不能結(jié)合信息社會(huì)的需求，給學(xué)生講解涉及數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用的問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)就是計(jì)算題，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性降低;學(xué)生遇到稍微多變的實(shí)際問(wèn)題會(huì)無(wú)從下手，從而影響學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。

三、提高高職學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的途徑

（一）加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力

1.教師應(yīng)遵照學(xué)校培養(yǎng)應(yīng)用型人才的定位，以學(xué)以致用的原則進(jìn)行理論教學(xué)，減少理論推導(dǎo)內(nèi)容的講解，淡化證明步驟，強(qiáng)調(diào)幾何直觀(guān)理解，注重應(yīng)用性舉例，讓學(xué)生將知識(shí)能夠應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中[2]。例如：由曲邊梯形的面積引入定積分的概念，最后給出如何計(jì)算面包的體積與重量的問(wèn)題讓學(xué)生深入思考，既是生活中的常見(jiàn)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能鞏固積分知識(shí)，并且可以拓展到其他物體的體積與質(zhì)量的求解問(wèn)題等，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)。C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6

2.教師應(yīng)在課堂教授數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力[3]。鑒于課時(shí)量少，教師可根據(jù)課程內(nèi)容在一章結(jié)束時(shí)，給學(xué)生展示學(xué)習(xí)內(nèi)容如何在數(shù)學(xué)軟件中實(shí)現(xiàn)。例如：演示Matlab中的畫(huà)圖命令plot，將函數(shù)用數(shù)學(xué)軟件畫(huà)出直觀(guān)、形象的圖表;演示Matlab中定義符號(hào)變量的命令“syms x y z”和計(jì)算積分精確值命令“int（ ）”和近似值命令“quad（ ）”等，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積分學(xué)的興趣，體會(huì)到數(shù)學(xué)軟件的快速、高效和準(zhǔn)確。增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件的主動(dòng)性與積極性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用能力，進(jìn)而提升應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

（二）引入數(shù)學(xué)建模案例，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模知識(shí)與

能力

1.課前引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在課堂引入典型的數(shù)學(xué)建模例子可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)當(dāng)堂數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)建模的興趣，潛移默化中了解數(shù)學(xué)建模過(guò)程[4]。例如：在講《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中“事件的獨(dú)立性”一節(jié)時(shí)，教師提出一個(gè)問(wèn)題：“設(shè)有100人參加核酸檢測(cè)，假設(shè)陽(yáng)性率為0.0001，有兩種方案：方案一：逐一檢測(cè)。方案二：十人混檢，哪種方案好，為什么？”結(jié)合時(shí)代現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，學(xué)生興趣濃厚，在此基礎(chǔ)上講解本節(jié)課的內(nèi)容。

學(xué)完后回歸課前導(dǎo)入問(wèn)題，方案一逐一檢測(cè)需要100次。對(duì)于方案二，算出每組檢測(cè)次數(shù)X的分布律為? ? 1? ? ? ? ? ? 110.999910? ? 1-0.999910 ，每組平均檢測(cè)次數(shù)E（X）=1×

0.999910+11×（1-0.999910）≈1，共平均檢測(cè)次數(shù)約10次，工作量減少約90%，所以方案二好。

拓展延伸：若陽(yáng)性率p=3，這時(shí)選方案一還是方案二好？引發(fā)學(xué)生討論與思考。應(yīng)用上述方法得出此時(shí)十人混檢的平均檢測(cè)次數(shù)為107，比方案一的100次多，反而增加了工作量，此時(shí)方案一更適合。

思考題：近期全國(guó)疫情時(shí)有發(fā)生，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，請(qǐng)學(xué)生思考并提供給相關(guān)部門(mén)合理的核酸檢測(cè)方案，可圍繞不同人群的陽(yáng)性發(fā)生率不同、怎樣最優(yōu)檢測(cè)等提出不同的方案。

思考題引發(fā)學(xué)生為國(guó)分憂(yōu)的愛(ài)國(guó)意識(shí)，激發(fā)其精益求精的科學(xué)精神，了解分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題增添更多的興趣。

2.課堂講解，傳授數(shù)學(xué)模型知識(shí)

學(xué)習(xí)了“微分方程”后，結(jié)合疫情背景，講解傳染病模型，學(xué)生會(huì)深入了解疫情防控政策，從微分方程的角度分析傳染病的傳播規(guī)律，探究制止疫情發(fā)生或蔓延的手段，激發(fā)學(xué)生的成就感。

首先，假設(shè)某地區(qū)發(fā)生傳染病，設(shè)t時(shí)刻的患者數(shù)是x（t），每天每個(gè)患者有效接觸的人數(shù)為λ（λ為常數(shù)），設(shè)0時(shí)刻的患者數(shù)為x0，寫(xiě)出患者數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。

考慮從t到t+Δt時(shí)間內(nèi)患者數(shù)的變化，可知x（t+Δt）-x（t）=λx（t）Δt

兩邊除以Δt，由導(dǎo)數(shù)與微分定義得：

=λx，x（0）=x0。

由可分離變量的微分方程的求解方法得出特解

x（t）=x0eλt。當(dāng)t→∞，患者數(shù)將越來(lái)越多，不符合實(shí)際，因此需改進(jìn)。

模型改進(jìn)：在患者有效接觸的人中，沒(méi)有區(qū)分健康者與患者，改進(jìn)中應(yīng)區(qū)別。

設(shè)某地區(qū)總?cè)藬?shù)N不變，s（t）是t時(shí)刻的健康者比例，i（t）是患者比例，s（t）+i（t）=1，設(shè)0時(shí)刻的患者數(shù)為i0。類(lèi)似考查從t到t+Δt時(shí)間內(nèi)患者數(shù)的變化知：N=λNsi，化簡(jiǎn)得：=λi（1-i），i（t）=i0。

啟發(fā)學(xué)生通過(guò)變量代換，把未知通過(guò)學(xué)過(guò)的一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解公式最后求解得出i（t）=

。分析知當(dāng)患者比例為0.5時(shí)，患者的增長(zhǎng)速度最快，標(biāo)志著傳染病高潮的到來(lái)。而新冠疫情傳播速度快，國(guó)家動(dòng)態(tài)清零的政策就是阻止其到來(lái)。此模型是在人口預(yù)測(cè)、可持續(xù)發(fā)展等問(wèn)題中應(yīng)用廣泛的Logistic模型。

而此時(shí)當(dāng)t→∞，患者數(shù)將無(wú)限多，也與實(shí)際不符。可對(duì)模型進(jìn)一步優(yōu)化，啟迪學(xué)生思考人群中沒(méi)有考慮治愈者，以及治愈者是否具有免疫性?xún)煞N情況，作為思考題分小組課后完成。

由此例知，學(xué)會(huì)分析變化率關(guān)系建立微分方程數(shù)學(xué)模型是首要的。其次學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解實(shí)際問(wèn)題。最后發(fā)現(xiàn)與實(shí)際不符，要學(xué)會(huì)改變假設(shè)，優(yōu)化模型。

3.課后拓展，數(shù)學(xué)建模應(yīng)用實(shí)際

在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容后，可將“空調(diào)銷(xiāo)售量的預(yù)測(cè)”問(wèn)題[5]作為小組實(shí)踐題進(jìn)行考查。

內(nèi)容為：某家店商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)兩種品牌的空調(diào)，當(dāng)A品牌空調(diào)每臺(tái)定價(jià)為x（千元），B品牌空調(diào)每臺(tái)定價(jià)為y（千元），空調(diào)的銷(xiāo)售量為Q（x，y）=120-22x2+16y（臺(tái)）。

假設(shè)現(xiàn)在是二月份，在未來(lái)幾個(gè)月內(nèi)，隨著氣溫逐漸升高，兩種空調(diào)的銷(xiāo)售價(jià)格都呈上升趨勢(shì)，預(yù)測(cè)從現(xiàn)在起的第t個(gè)月，A品牌空調(diào)的銷(xiāo)售價(jià)格為x=1.8+0.05t（千元/臺(tái)）（t=0，1，2，…，6）;B品牌的銷(xiāo)售價(jià)格為y=

1.75+0.1（千元/臺(tái)）（t=0，1，2，…，6）。

問(wèn)題：利用邊際函數(shù)幫助商場(chǎng)預(yù)測(cè)七月份A品牌空調(diào)的銷(xiāo)售量是增加還是減少。

首先要學(xué)會(huì)查找資料，邊際指經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)，因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)。空調(diào)銷(xiāo)售量Q（x，y）的邊際函數(shù)在t=t0（月）處的導(dǎo)數(shù)值Q′（t0）近似表示第t0+1（月）增加的銷(xiāo)售量。由題意知，現(xiàn)在是二月份，七月份是從現(xiàn)在起的第5個(gè)月，因此，只要求出Q′（4）即可。

將Q（x，y）轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的關(guān)系式

Q（x，y）=120-22（1.8+0.05t）2+16（1.75+0.1）

邊際函數(shù)=-44（1.8+0.05t）·0.05+16，C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6

將t=4代入，得出|t=4=-4

結(jié)果表明，七月份A品牌空調(diào)的銷(xiāo)售量比六月份大約減少4臺(tái)，造成A品牌銷(xiāo)售量不增反減的原因，主要是B品牌價(jià)格上調(diào)的幅度相對(duì)偏小。到了七月份，A品牌空調(diào)的銷(xiāo)售價(jià)格為x（5）=1.8+0.05×5=2.05（千元），B品牌銷(xiāo)售價(jià)格為y（5）=1.75+0.1≈1.974（千元）。

一般來(lái)說(shuō)，在品牌知名度、質(zhì)量以及售后服務(wù)水平幾乎相同的情況下，較高的價(jià)格難以激起消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)欲望。

在此例中，遇到不懂的名詞要學(xué)會(huì)查閱文獻(xiàn)資料;建立邊際函數(shù)得出結(jié)論后，要分析原因，拓展思維，給出可能的因素，并運(yùn)用控制變量法的思路定量分析。這兩點(diǎn)在數(shù)學(xué)建模中非常重要。

（三）開(kāi)展多樣的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的能力

提高高職學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力不僅需要利用課堂教學(xué)，還需要利用課外實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生動(dòng)手去做，感受數(shù)學(xué)建模的魅力。

1.建立數(shù)學(xué)建模Club

為了提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的參與程度，學(xué)校2012年成立了數(shù)學(xué)建模Club，主要對(duì)全校的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)進(jìn)行宣傳，做到不落一個(gè)班級(jí)、不丟一位學(xué)生。數(shù)學(xué)建模Club是一條紐帶，起到了全校宣傳、教師幫生、老生帶新生的“傳幫帶”作用，讓更多學(xué)生了解并參與數(shù)學(xué)

建模。

2.開(kāi)展數(shù)學(xué)建模選修課

每年春季學(xué)期，學(xué)校組織開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課，通過(guò)不同教師結(jié)合自己研究的方向講授不同的數(shù)學(xué)模型，資料查閱，論文寫(xiě)作，Matlab、Lingo、Spss等軟件操作不同內(nèi)容，全方位增加學(xué)生的數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)知識(shí)。

3.開(kāi)展全校數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)

春季學(xué)期由數(shù)學(xué)教研室教師主持，數(shù)學(xué)建模Club協(xié)助完成一次校賽。Club成員負(fù)責(zé)賽前宣傳，教研室教師共同商討選題、出題、負(fù)責(zé)比賽指導(dǎo)、賽后評(píng)分并給出獎(jiǎng)項(xiàng)，最后總結(jié)收獲與不足。

4.開(kāi)展數(shù)學(xué)建模專(zhuān)題講座活動(dòng)

賽前邀請(qǐng)指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽經(jīng)驗(yàn)豐富的教授進(jìn)行不同專(zhuān)題的講座;賽后成績(jī)出來(lái)后進(jìn)行全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽頒獎(jiǎng)會(huì)暨參賽經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)，一方面是對(duì)于沒(méi)參加過(guò)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)長(zhǎng)的分享是非常大的鼓舞與激勵(lì)。另一方面大力宣傳數(shù)學(xué)建模取得的成績(jī)，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模工作的順利開(kāi)展奠定基礎(chǔ)。

四、結(jié)論

提高高職學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，不僅需要教師在課堂教學(xué)中抓住教學(xué)重點(diǎn)、注重知識(shí)應(yīng)用，還需多引入與生活相關(guān)的例子，激發(fā)學(xué)生興趣，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維。學(xué)校需要開(kāi)展多樣的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，使學(xué)生有參與實(shí)踐的平臺(tái)，在實(shí)踐中真正提高數(shù)學(xué)建模能力。

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◎編輯 馬燕萍C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6