涂玉霞 方菊

類比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的數(shù)學(xué)方法。所謂類比，指以同類事物或相近性質(zhì)為基礎(chǔ)進(jìn)行比較推理，以了解新事物的一種思想方法。計(jì)算教學(xué)中，有很多類比思想方法的具體運(yùn)用，如運(yùn)算方法的類比、解決問題方法的類比等。本期，我們討論在計(jì)算教學(xué)中，如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的類比思想，并運(yùn)用類比思想方法解決問題。

類比是借助兩個(gè)或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似， 由已知一類屬性推出它們在另一類屬性上也相同或相似的一種推理方法。美國著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞提出“類比是一個(gè)偉大的引路人”，相應(yīng)地，類比思想可成為計(jì)算教學(xué)的引路人。如何在教學(xué)中滲透類比思想，促進(jìn)學(xué)生已有知識、經(jīng)驗(yàn)的有效遷移呢？

一、聚焦本質(zhì)，類比算理

算法、算理知識之間存在著密切的內(nèi)在聯(lián)系，教師在教學(xué)新知時(shí)，往往需要學(xué)生腦海中具有同化新知的上位概念或相似概念。因此，教師需要激活學(xué)生已有的計(jì)算知識和經(jīng)驗(yàn)，把握新舊知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，尋找新舊知識之間的一致性和相似性，搭建類比學(xué)習(xí)的支架。

教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》時(shí)，部分教師直接借助直觀圖進(jìn)行教學(xué)。這樣教學(xué)后，幾乎所有學(xué)生都知道“異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算”的計(jì)算法則，但對算理的理解并不深刻，在知識的系統(tǒng)性上缺乏有效構(gòu)建。

良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料能夠激發(fā)學(xué)生思維的火花。在這節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以出示以下題目：13時(shí)-12分=（??? ）;5千克-200克=（??? ）;3.5千米+200米=（??? ）;[45-15=]（??? ）;[48+14 =]（??? ）;[35+12=]（?? ?）。通過分析這6道計(jì)算題，我們可以發(fā)現(xiàn)，異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理和“時(shí)間計(jì)算”“質(zhì)量計(jì)算”“長度計(jì)算”“同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算”有本質(zhì)上的聯(lián)系，即相同的計(jì)數(shù)（數(shù)量）單位才能直接相加減。學(xué)生在計(jì)算含有不同計(jì)數(shù)（數(shù)量）單位的題目時(shí)，首先會將它們轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的計(jì)算（數(shù)量）單位，然后再進(jìn)行計(jì)算。因此，在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，學(xué)生受此啟發(fā)，能通過類比思考理解異分母分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算要先通分，將異分母分?jǐn)?shù)化成同分母的分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算的道理。隨后，教師可以呈現(xiàn)直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生利用圓片表示計(jì)算的過程和結(jié)果，并追問：“為什么要把圓片平均分成10份？”經(jīng)過思考，學(xué)生能充分體會到不同分?jǐn)?shù)單位無法直接相加減，而轉(zhuǎn)化成相同分?jǐn)?shù)單位后，就可以直接相加減。

學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握“相同的計(jì)數(shù)（數(shù)量）單位才能直接相加減”這一計(jì)算的本質(zhì)原理，有助于學(xué)生抓住新舊知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，突破算理學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，并將小學(xué)階段的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行系統(tǒng)構(gòu)建。

二、融合經(jīng)驗(yàn)，類比算法

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是要根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新的經(jīng)驗(yàn)?！冬F(xiàn)代漢語詞典》中，“經(jīng)驗(yàn)”有兩個(gè)含義：一是由實(shí)踐得來的知識與技能，二是經(jīng)歷。如果學(xué)生能把已有的生活、知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效融合，就能以生動、形象的方式內(nèi)化知識。

乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生容易把它與乘法結(jié)合律混淆，而且在實(shí)際應(yīng)用中，題目稍加變化，學(xué)生就可能錯(cuò)誤頻出。教師除了用乘法意義、問題情境幫助學(xué)生理解，還可以增加一些更直觀的方式。比如，特級教師徐長青執(zhí)教“乘法分配律”時(shí)，通過生活情景講解乘法分配律的“樣式”。20年后，兩名學(xué)生去探望老師，進(jìn)門后，老師分別與學(xué)生握手問好。此情境中，“（小王+小李）跟老師握手=小王跟老師握手+小李跟老師握手”，這與“（a+b）×c=a×c+b×c”類似。教師利用這個(gè)情境教學(xué)，能使學(xué)生對“分別相乘”有更深刻的體會。我們還可以拓展一下，如果來了三名學(xué)生，就是“（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d”。這種類比有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

又如，教學(xué)“括號”的相關(guān)知識時(shí)，在沒有引入中括號前，學(xué)生這樣列式：24÷（3×（3+1）=2。教師提問：對于這道題，你先算什么、再算什么？學(xué)生回答：先算3+1=4，再算3×4=12，最后算24÷12=2。隨即有學(xué)生質(zhì)疑：這樣表達(dá)不合適，應(yīng)該把外面的小括號改成中括號，即24÷[3×（3+1）]=2。教師追問：為什么要把小括號改成中括號？學(xué)生回答：小括號多了，不好看，也看不清楚。教師引導(dǎo)：如果我換衣服時(shí)，脫掉外面的西服，把旁邊早就準(zhǔn)備好的另一件襯衣再套上來，你們覺得怎么樣？學(xué)生笑著回答：兩件襯衣套在一起不合適。教師小結(jié)：對，里面的小括號就像是襯衣，我們在襯衣外面再套一件襯衣顯然不合適。

“不能在襯衣外面再套一件襯衣”，這一類比把小括號外面不能再使用小括號的數(shù)學(xué)知識闡釋得特別貼切，凸顯了中括號產(chǎn)生的意義。相對于數(shù)學(xué)知識的抽象化、系統(tǒng)化、符號化等特征而言，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是情理融合的，這樣能促進(jìn)學(xué)生對知識的理解和記憶。教師要找到生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的契合點(diǎn)，以恰當(dāng)?shù)念惐葞椭鷮W(xué)生更好地展開數(shù)學(xué)化思考。

三、同構(gòu)聯(lián)想，類比模型

美國教育心理學(xué)家杰羅姆·布魯納提出動作的、形象的和符號化的三種學(xué)習(xí)的表征方式，并認(rèn)為這三者之間存在一種嚴(yán)格的遞進(jìn)關(guān)系。在比較復(fù)雜的計(jì)算中，我們可以借助不同的表征方式，通過聯(lián)想結(jié)構(gòu)相同或相似的問題解決模型，獲得計(jì)算方法和策略的遷移。

《等差數(shù)列求和》的教學(xué)一直面臨“教師難教，學(xué)生難學(xué)”的現(xiàn)象。在等差數(shù)列求和的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生最早會接觸到“1+2+3+…+98+99+100=（??? ）”這樣的題目。一般情況下，教師會讓學(xué)生記住“數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”這個(gè)求和公式，并通過大量的練習(xí)題加以鞏固。在這個(gè)過程中，學(xué)生并沒有在腦海中形成計(jì)算直觀，導(dǎo)致題目稍加變化便不知所措的現(xiàn)象。如“1+4+7+…+97+100+103=（??? ）”這道題，首項(xiàng)和尾項(xiàng)相加很簡單，但項(xiàng)數(shù)是多少呢？為了幫助學(xué)生理解，教師可以引入“植樹問題”，通過解決問題模型的類比，把“數(shù)”形象地轉(zhuǎn)化為“樹”，使計(jì)算等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的問題建立在植樹問題模型（兩端都栽）之上，讓學(xué)生輕松掌握求等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的方法。具體教學(xué)過程如下。

師：同學(xué)們，等差數(shù)列相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是相等的，這跟我們學(xué)過的什么知識相似？

生1：跟植樹問題相似，間隔都相等。

師（出示下圖）：一條路上，我們從第1米開頭處開始栽樹，栽到第103米開頭處，第一棵樹與最后一棵樹之間的距離有多長？<E：＼2020排版新＼教育教學(xué)＼2022＼5＼2022-5內(nèi)文＼Image＼微信圖片_20220420114414.png>

生2：102米。

師：從數(shù)列中可以看出，我們是每隔3米栽一棵樹的，且從頭到尾都栽。一共栽了幾棵樹呢？

生3：棵數(shù)=距離÷間隔長+1 ，即102÷3+1=35（棵）。

師：數(shù)的個(gè)數(shù)=樹的棵數(shù)，那么這一組數(shù)的和是多少？

生4：（1+103）×35÷2=1820。

把求等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成植樹問題（兩端都栽）中求植樹棵數(shù)的問題，就簡單多了。學(xué)生不用刻意記憶這些公式，看到等差數(shù)列求和問題就去聯(lián)想植樹問題，便能輕而易舉地掌握求項(xiàng)數(shù)的方法。

（作者單位：涂玉霞，湖北第二師范學(xué)院;方菊，湖北師范大學(xué)碩士研究生）

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