雍虎虎

三角函數(shù)中的求值問(wèn)題一般難度不大。解答此類(lèi)問(wèn)題，通常需靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的基本公式：誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、輔助角公式等進(jìn)行三角恒等變換，使目標(biāo)式與已知條件、特殊角的三角函數(shù)值靠攏，從而求得三角函數(shù)式的值.那么，如何合理運(yùn)用各種公式？如何進(jìn)行三角恒等變換呢？下面結(jié)合一道例題，談一談求三角函數(shù)值的方法和思路.

題目：已知sinβ+cosβ=1/5，β∈（0，π），求tanβ的值.

題目中給出的條件雖然較為簡(jiǎn)單，但其中出現(xiàn)了三種函數(shù)名稱(chēng).要求得tanβ的值，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的名稱(chēng).筆者從不同的角度進(jìn)行探討，尋找到以下幾種不同的解題思路.

思路一：運(yùn)用方程思想

思路二：比值換元

由同角得三角函數(shù)滿(mǎn)足“商數(shù)關(guān)系”，即tanx=sinx/cosx，所以當(dāng)問(wèn)題中涉及同角的正、余弦函數(shù)式或正切函數(shù)式時(shí)，可考慮采用比值換元的技巧來(lái)解題.將比值用參數(shù)替換，并把目標(biāo)式用參數(shù)表示出來(lái)，便可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程或者函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.

根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系tanx=sinx/cosx，引人參數(shù)t，通過(guò)比值換元，成功達(dá)到了“減元”的目的.再根據(jù)題設(shè)條件求出t的值，即可求得tanβ的值.

解答該題，需通過(guò)均值換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于x的二次方程的根.在解題的過(guò)程中要關(guān)注方程“根”的取舍問(wèn)題.

三角函數(shù)中的求值問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力與分析推理能力有較高的要求，因此在解題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將方程、三角函數(shù)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，充分利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想來(lái)輔助解題.同時(shí)，要注意各個(gè)公式的應(yīng)用條件、適用范圍以及定義域，這樣才能正確、快捷地求得問(wèn)題的答案.