潘倩倩 劉潤然 賈春曉

(杭州師范大學,復(fù)雜科學研究中心,杭州 311121)

1 引言

真實世界中的許多復(fù)雜系統(tǒng)都可以抽象成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),如常見的交通網(wǎng)絡(luò)[1-4]、電力網(wǎng)絡(luò)[5]、社交網(wǎng)絡(luò)[6]、疾病傳播網(wǎng)絡(luò)[7,8]和生物網(wǎng)絡(luò)[9,10]等.在復(fù)雜系統(tǒng)魯棒性的研究中,人們常常借助于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型對復(fù)雜系統(tǒng)的崩潰過程進行建模和研究,節(jié)點的失效不僅會對網(wǎng)絡(luò)整體的連通性造成影響,也可能會因節(jié)點之間的依賴關(guān)系而引起失效在網(wǎng)絡(luò)中蔓延.最初復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究是將兩種效應(yīng)分開進行的,即針對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的連接關(guān)系來探討網(wǎng)絡(luò)在失去部分連接或節(jié)點之后的連通性[11-13],以及節(jié)點間的耦合或依賴性所引起的失效節(jié)點的雪崩或級聯(lián)效應(yīng)[14].對于前者,人們借助于滲流模型發(fā)現(xiàn),隨機網(wǎng)絡(luò)發(fā)生滲流相變的臨界點與網(wǎng)絡(luò)平均度呈反比關(guān)系[15];無標度網(wǎng)絡(luò)具備“魯棒性和脆弱性共存”的特征[16-18],即對隨機故障的魯棒性較強,但面對蓄意攻擊時則顯得十分脆弱;對于小世界網(wǎng)絡(luò),“捷徑”使得網(wǎng)絡(luò)的魯棒性增強[19],但也更容易在蓄意攻擊下破碎[20].對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的研究,如何對節(jié)點之間的耦合和依賴進行建模是一個核心問題.研究人員考慮了真實復(fù)雜系統(tǒng)的特征,主要考慮了動態(tài)負載分配、局部依賴和依賴組的引入等幾個方案.

1) 動態(tài)負載分配[21-27].當網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點失效后,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間最短路徑的分布發(fā)生較大的變化,網(wǎng)絡(luò)中信息或能量的流動路徑就會重新分配,從而引起部分節(jié)點的運行效率下降[21],甚至過載失效[27].在這類模型中,一個負載較小節(jié)點的失效可能不會引起負載失衡并誘發(fā)較大范圍的過載故障;而失效節(jié)點的負載較大時,這些節(jié)點的失效可能會顯著影響其他節(jié)點的負載,并引發(fā)一系列大范圍的過載故障[23,27].為了探討級聯(lián)失效的產(chǎn)生條件并為級聯(lián)失效的防御和控制提供思路和策略,節(jié)點失效后荷載的分配方案對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效動力學的影響也受到廣泛關(guān)注,如隨機荷載再分配機制[28]、基于邊權(quán)重的再分配策略[29,30]、供需網(wǎng)絡(luò)中的供應(yīng)策略[31]等.除了流量分配機制外,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)調(diào)整策略[32]、攻擊策略[33]、網(wǎng)絡(luò)中流量的漲落[34]、網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征[35]等因素對于級聯(lián)失效的影響也受到廣泛的關(guān)注.

2)局部依賴.Watts 模型研究了鄰居中相反狀態(tài)節(jié)點比例對節(jié)點狀態(tài)的影響,發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)失效的臨界判據(jù)[36,37].此外,考慮到網(wǎng)絡(luò)高度值互連部分節(jié)點(k核)所組成結(jié)構(gòu)的重要性,Dorogovtsev 等[38]提出了k核滲流模型,該模型將通過一個反復(fù)迭代的剪枝過程獲得的最小度為k的節(jié)點所形成的連通子圖視為k核.度分布的二階矩有限時,隨著初始刪除節(jié)點的增加,k核巨分支在某一臨界點會突然消失,表現(xiàn)為不連續(xù)的混合相變現(xiàn)象.如果度分布的第二階矩發(fā)散,則網(wǎng)絡(luò)包含一個無限序列的k核,這些k核對隨機攻擊具有很強的魯棒性.類似地,靴攀滲流模型考慮了失效鄰居的數(shù)量對節(jié)點狀態(tài)的影響,當節(jié)點失效鄰居數(shù)達到某個閾值時該節(jié)點就會失效,研究發(fā)現(xiàn),在不同的度分布情形下,網(wǎng)絡(luò)中也會出現(xiàn)一階不連續(xù)相變和連續(xù)相變的現(xiàn)象[39].

3)依賴組的引入.上述兩種模型中節(jié)點都是通過相互鄰接關(guān)系進行狀態(tài)傳遞的,但現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中不相鄰的節(jié)點也可能存在隱含的相互影響.Parshani等[40]考慮到不相鄰節(jié)點之間也可能存在依賴性,于是提出了依賴組概念來描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的隱含依賴性,這種依賴組的存在導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)能夠發(fā)生級聯(lián)失效并導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)更加脆弱,如在依賴組的密度較高或依賴組規(guī)模較大時網(wǎng)絡(luò)會在遭受攻擊時以一階不連續(xù)相變的方式發(fā)生突然性的崩潰[41],同時依賴組的規(guī)模和分布[41]以及依賴規(guī)則[42-44]等特征的變化對網(wǎng)絡(luò)魯棒性和級聯(lián)失效有著不同程度的影響.

在關(guān)于依賴組的研究中,大多數(shù)模型基于一個簡單的假設(shè):一個節(jié)點的失效可以直接導(dǎo)致其依賴節(jié)點的全部失效,這種“節(jié)點對節(jié)點”的“強依賴”的假設(shè)導(dǎo)致了網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊時極為脆弱,這一結(jié)果不但與現(xiàn)實中某些觀測不符,也不能充分描述部分復(fù)雜系統(tǒng)節(jié)點之間的依賴關(guān)系[45,46].在現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中,一個節(jié)點的失效可能對其依賴節(jié)點的一部分功能造成影響,而不是導(dǎo)致其完全失效[47,48].如金融系統(tǒng)中,所屬同一個投資者的公司之間相互依賴,由于風險分散,一家公司的倒閉不太可能直接導(dǎo)致投資者的其他公司全部破產(chǎn),而現(xiàn)實的情況是,其余公司可能會因現(xiàn)金流的減少而收縮自己的業(yè)務(wù).因此與以往模型所描述的“節(jié)點對節(jié)點”依賴模式不同,在一些普遍場景下系統(tǒng)節(jié)點之間的依賴關(guān)系體現(xiàn)在“節(jié)點對邊”的相互作用上,即一個節(jié)點失效后,依賴組內(nèi)的其余節(jié)點會因受到?jīng)_擊而損失部分連接.這種描述“節(jié)點對邊”的相互作用機制可以描述更為一般化的場景,如屬于同一個依賴組的若干節(jié)點,當其中一個節(jié)點失效的時候,不會引起其余全部或部分節(jié)點立即失效,而是失效節(jié)點給剩余依賴節(jié)點帶來一定程度的沖擊和影響.

本文引入了“弱依賴組”概念,通過一個可調(diào)參數(shù)來控制同一依賴組內(nèi)節(jié)點的相互依賴強度并研究依賴組的大小、分布和網(wǎng)絡(luò)度分布對網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效的影響.通過理論研究和數(shù)值模擬的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)改變依賴組的參數(shù)時,網(wǎng)絡(luò)能夠發(fā)生連續(xù)和不連續(xù)的兩種滲流相變,且無標度網(wǎng)絡(luò)在滲流過程中可能會出現(xiàn)雙重相變現(xiàn)象.

2 具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

考慮一個由N個節(jié)點通過一些連接邊所組成的網(wǎng)絡(luò),節(jié)點的連接度服從概率分布函數(shù)P(k)[7],同時網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點都隨機地與其他節(jié)點形成一個包含M個節(jié)點的依賴組,組內(nèi)的節(jié)點互相依賴.當依賴組中一個節(jié)點失效時,其余節(jié)點會受到一定程度的沖擊,影響強度由解耦系數(shù)α控制,即其余每個節(jié)點的每條邊都以α的概率保留下來,而以 1-α的概率被刪除.參數(shù)α在描述失效節(jié)點對其余依賴節(jié)點所造成破壞性的同時,也描述了一種“節(jié)點對邊”的作用機理,在描述依賴節(jié)點之間的相互作用上更具有一般性的意義,當α →1 時,依賴組內(nèi)節(jié)點的耦合強度最弱,一個節(jié)點的失效不能對組內(nèi)其余節(jié)點造成任何影響,此時模型與普通的座滲流等價;而當α →0 時,依賴組內(nèi)節(jié)點的耦合強度最強,一個節(jié)點的失效就能造成組內(nèi)所有節(jié)點全部失效,此時模型與文獻[41]中強依賴組的模型等價.通過調(diào)整模型參數(shù)α可以研究不同耦合強度對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效動力學和魯棒性的影響[49,50].

網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效通過隨機攻擊網(wǎng)絡(luò)中比例為1—p的節(jié)點來觸發(fā),這些被攻擊節(jié)點及其連接被從網(wǎng)絡(luò)中全部刪除,進而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)發(fā)生破碎.在網(wǎng)絡(luò)中,能夠連接到巨分支的節(jié)點視為功能節(jié)點,其他節(jié)點視為失效節(jié)點.由于弱依賴組內(nèi)節(jié)點之間存在一定程度的依賴性,網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點的失效會造成兩種影響:1)組外影響,節(jié)點失效會引起網(wǎng)絡(luò)破碎,進而導(dǎo)致組外部分節(jié)點不能通過該節(jié)點連接到網(wǎng)絡(luò)巨分支而失效;2)組內(nèi)影響,失效節(jié)點所在的依賴組內(nèi)的其余節(jié)點會受到損害,其每一條連接邊都以1 —α的概率被刪除,即以α的概率被保留.當一個節(jié)點失效后,組外影響導(dǎo)致失效能夠跨依賴組傳播,從而使失效擴展到更大的范圍,而組內(nèi)影響導(dǎo)致組內(nèi)的其余節(jié)點的邊受到破壞,從而引起組內(nèi)更多節(jié)點失效.在這兩種影響的交替作用下,網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效就會發(fā)生.我們將這兩種擴散過程稱為“組間級聯(lián)失效”和“組內(nèi)級聯(lián)失效”.當這兩個過程停止時,網(wǎng)絡(luò)不會產(chǎn)生新的失效節(jié)點而發(fā)生進一步的破碎,所有依賴組內(nèi)也不會有新的連接邊被刪除,網(wǎng)絡(luò)即達到穩(wěn)態(tài).本文用網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的相對大小S來衡量網(wǎng)絡(luò)的完整性,隨著初始保留節(jié)點比例p的降低,網(wǎng)絡(luò)巨分支的大小S會以二階連續(xù)相變或一階不連續(xù)相變的方式在一個臨界點或處降低至零,二階相變的臨界點或一階相變的臨界點通常用于度量網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[15,51,52].

圖1 為具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效示意圖.圖中虛線橢圓內(nèi)的節(jié)點形成一個依賴組,實線表示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)功能正常的連接邊,點狀虛線表示被刪除的連接邊;功能正常的節(jié)點用綠色標記,失效節(jié)點用紅色標記,黃色節(jié)點表示功能正常但受到損壞的節(jié)點.圖1 中(a)表示的是一個未受到攻擊的網(wǎng)絡(luò);(b)網(wǎng)絡(luò)中存在一個最初被刪除的節(jié)點2;(c)由于節(jié)點2 被刪除,其所有連接邊失效;(d)由于節(jié)點1 與網(wǎng)絡(luò)巨分支之間的連接邊被移除,導(dǎo)致節(jié)點1 脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支而失效;(e)由于節(jié)點7 和節(jié)點1 屬于同一個弱依賴組,相互依賴,故節(jié)點1的失效會導(dǎo)致節(jié)點7 受損;(f)節(jié)點7 受到了一定的沖擊,節(jié)點7 與節(jié)點6 之間的連接邊失效;(g)因節(jié)點7 與節(jié)點6 之間的連接邊失效,導(dǎo)致節(jié)點6 脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支,發(fā)生故障;(h)由于處在同一弱依賴組,節(jié)點5,4 受節(jié)點6 失效的影響而受損;(i)節(jié)點5 受損導(dǎo)致節(jié)點3 和節(jié)點5 之間的連接邊失效,并且網(wǎng)絡(luò)達到了最終的穩(wěn)定狀態(tài).

圖1 具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效示意圖Fig.1.Schematic diagram of the cascading process in a network with weak interdependency groups.

3 理 論

用概率生成函數(shù)理論來對模型求解.在求解過程中,采用度分布的生成函數(shù)來生成網(wǎng)絡(luò)的度分布,即一個隨機節(jié)點度值為k的概率是P(k);類似地,采用余度分布生成函數(shù)來生成一條隨機邊到達一個度值為k的節(jié)點的概率,即排除這條隨機邊之外到達節(jié)點的余度為k—1的概率[53].在這兩個生成函數(shù)中,表示網(wǎng)絡(luò)的平均度.為了求解穩(wěn)態(tài)時網(wǎng)絡(luò)巨分支的規(guī)模,定義R為網(wǎng)絡(luò)中任意一條隨機邊能夠連接到巨分支的概率.假定在網(wǎng)絡(luò)中隨機挑選一條邊后,沿著這條邊的任意一端可到達一個度值為k的節(jié)點i,若該節(jié)點所屬依賴組內(nèi)有t個失效節(jié)點,他的每條邊能夠保留下來的概率為αt.由于任意一個節(jié)點度值k服從概率分布P(k),節(jié)點i的任意一條隨機邊能夠連到巨分支的概率分布遵循根據(jù)生成函數(shù)G1(x) 并考慮k的概率分布,可將一條隨機邊連接到巨分支的概率簡寫為αt[1-G1(1-αtR)][54,55].如果將任意一個節(jié)點所在的依賴組內(nèi)失效節(jié)點數(shù)t所服從的概率分布記為f(t),考慮所有可能的t,可以得到R滿足自洽方程:

同理,可以得到一個隨機節(jié)點屬于網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的概率S的方程:

求解方程(1)和方程(2)需要用到概率分布函數(shù)f(t),該函數(shù)可以通過概率R來獲得.當網(wǎng)絡(luò)處在穩(wěn)定狀態(tài)時,假如隨機選擇一個節(jié)點具有t個失效的依賴節(jié)點,那么該節(jié)點還能保留下來的概率為p[1-G0(1-αtR)],與其同在一個依賴組中的其他M—t—1 個依賴節(jié)點全部存活的概率為{p[1-G0(1-αtR)]}M-t-1.此外,依賴組內(nèi)的失效節(jié)點分為兩種,一種是因遭受初始攻擊或因組外節(jié)點失效導(dǎo)致其脫離巨分支而失效,另一種是組內(nèi)其他節(jié)點的失效導(dǎo)致其連接的減少而失效.假設(shè)有s個節(jié)點的失效是由前一種原因造成的,其發(fā)生概率為{1-p[1-G0(1-R)]}s,那么t-s個節(jié)點的失效是由后一種原因?qū)е碌?概率為{p[G0(1-αsR)-G0(1-R)]}t-s.因此,t的概率分布函數(shù)f(t) 為

對于給定的度分布P(k)和弱依賴組大小M,結(jié)合方程(3)并通過聯(lián)立方程(1)和方程(2)可以得到網(wǎng)絡(luò)中巨分支的最終大小S.

當α →1 時,依賴組內(nèi)節(jié)點依賴強度趨向0,節(jié)點之間無相互依賴性而不會發(fā)生級聯(lián)失效,隨著保留節(jié)點比例p的降低,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變的方式發(fā)生破碎[15].當α →0 時,弱依賴組內(nèi)節(jié)點之間的依賴強度最強,一旦組內(nèi)一個節(jié)點被刪除,組內(nèi)其余節(jié)點將全部失效,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變的方式發(fā)生破碎.因此,弱依賴組內(nèi)節(jié)點之間的依賴強度α的值決定著網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊時的破碎形式,當α超過臨界點αc時,網(wǎng)絡(luò)的破碎方式可以從二階滲流相變轉(zhuǎn)變?yōu)橐浑A滲流相變.在網(wǎng)絡(luò)以二階相變方式發(fā)生破碎的情況下,當p接近二階滲流相變點時,隨機邊屬于穩(wěn)態(tài)巨分支的概率R趨于零.在R ≡ε →0 和p →時,可以將(1)式進行泰勒展開表示為

進而可以求出二階滲流相變點:

當α=1 或M=1 時,網(wǎng)絡(luò)不存在弱依賴組,其結(jié)果和普通網(wǎng)絡(luò)的滲流結(jié)果相同,二階滲流相變點(1)[17].同時還可以發(fā)現(xiàn),二階滲流相變點隨著弱依賴組大小M的增大而減小,這意味著網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組規(guī)模越大,網(wǎng)絡(luò)就越脆弱.這一結(jié)果與弱依賴多層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果類似,即二階相變點與網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)和參數(shù)α有關(guān)[56].

圖2 在不同初始保留節(jié)點比例p 和解耦系數(shù)α 時(1)式的圖解 (a) α=0.5 的結(jié)果;(b) α=0.63 的結(jié)果;(c) α=0.8 的結(jié)果.本圖中所用網(wǎng)絡(luò)的度分布服從冪率分布 P(k)～k-γ(kmin ≤k ≤kmax),其中 kmin=2 ,kmax=141 ,γ=2.3Fig.2.The graphical solutions of Eq.(1) for different values of p and α:(a) Result for α=0.5 ;(b) result for α=0.63 ;(c) result for α=0.8 .For each panel,the degree distribution of networks follows a truncated power-law distributionP(k)～k-γ(kmin ≤k ≤kmax)with kmin=2 ,kmax=141,and γ=2.3 .

通過對(9)式求解,可以得到一階相變和二階相變發(fā)生轉(zhuǎn)變的臨界點αc.在隨機網(wǎng)絡(luò)中,節(jié)點度值服從泊松分布,方程(9)可以簡化為

從(10)可以看出,αc依賴于網(wǎng)絡(luò)平均度和依賴組的規(guī)模M.對于無標度網(wǎng)絡(luò),(9)式可以寫成

其中括號〈·〉表示依據(jù)度分布對括號內(nèi)的項取平均.因此,αc不僅取決于依賴組的規(guī)模M,而且依賴于無標度網(wǎng)絡(luò)的度分布P(k).

4 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

本文選擇了兩種網(wǎng)絡(luò)模型,即度分布滿足泊松分布的ER 隨機網(wǎng)絡(luò)和度分布滿足近似冪律的無標度網(wǎng)絡(luò),來研究弱依賴組內(nèi)節(jié)點的依賴強度、依賴組的規(guī)模和分布等不同特征對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效動力學和魯棒性的影響,并通過理論計算對數(shù)值模擬的結(jié)果予以驗證.對于ER 隨機網(wǎng)絡(luò),采用隨機向N個節(jié)點隨機加邊的方式生成.而對于無標度網(wǎng)絡(luò),首先生成一個近似滿足冪率分布的度序列,然后采用配置模型生成其對應(yīng)的無標度網(wǎng)絡(luò).在兩種模型的生成過程中,自環(huán)和重復(fù)連接被禁止.

4.1 弱依賴組規(guī)模均勻分布

為了描述具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)上的“組間級聯(lián)”和“組內(nèi)級聯(lián)”兩種失效過程對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響,本文以依賴組大小M=3 和M=4 的兩種情況為例,研究當弱依賴組大小均勻分布時網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效動力學的特點.圖3(a)和圖3(b)分別給出了當M=3和M=4 時,平均度〈k〉=4 的隨機網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的大小S隨初始節(jié)點保留概率p的增加而變化情況.圖3(c)和圖3(d)給出了平均度〈k〉=5的隨機網(wǎng)絡(luò),當弱依賴組大小M分別為3 和4 時,網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支規(guī)模S隨p的增加而變化的情況.從圖3(a)和圖3(b)可以發(fā)現(xiàn),無論是M=3還是M=4 的情況,當α較小時,隨著初始保留節(jié)點p的降低,網(wǎng)絡(luò)都是以一階不連續(xù)相變的方式發(fā)生崩潰;而對于較大的α值,隨著初始保留節(jié)點p的降低,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變的形式逐步瓦解.另外,可以發(fā)現(xiàn)M=3 的網(wǎng)絡(luò)的臨界點小于M=4的網(wǎng)絡(luò)的臨界點,這意味著前者比后者具有更強的魯棒性.對于〈k〉=5 的隨機網(wǎng)絡(luò),雖然定量的結(jié)果與〈k〉=4 時存在差異,但定性的結(jié)果是相似的.這些結(jié)果證實了依賴組的規(guī)模和組內(nèi)節(jié)點的依賴強度對網(wǎng)絡(luò)的破碎形式有著重要影響,依賴組規(guī)模越大,網(wǎng)絡(luò)的魯棒性就越差,同時依賴強度對網(wǎng)絡(luò)的魯棒性也有重要影響,當依賴強度較大時網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變的形式發(fā)生破碎,而依賴強度較小時網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變的形式發(fā)生破碎.

圖3 依賴組規(guī)模 M=3 和 M=4 的隨機網(wǎng)絡(luò)上的滲流相變 (a),(b)平均度為 〈k〉=4 的隨機網(wǎng)絡(luò),弱依賴組大小分別為M=3和 M=4 的結(jié)果;(c),(d)在 〈k〉=5 時,弱依賴組平均大小分別為 M=3 和 M=4 的隨機網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果.圖中網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=105,實線表示由(1)式和(2)式得到的理論預(yù)測,而垂直虛線分別表示由(5)式和(7)式所預(yù)測的一階和二階滲流相變點.模擬結(jié)果來自于100 次不同初始條件下的平均Fig.3.Simulation results for the percolation transitions on random networks with group sizes M=3 and M=4 :(a),(b) Results for random networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where the average degree 〈k〉 is set to 4 for both panels;(c),(d) results for random networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where average degree 〈k〉 is set to 5 for both panels.The network size is N=105 .The solid lines behind the symbols denote the theoretical predictions that were obtained by Eqs.(1) and (2).The vertical dashed lines denote the first-order and second-order percolation transition points predicted by Eqs.(7) and (5),respectively.The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

圖3 還提供了理論預(yù)測的結(jié)果,理論預(yù)測的網(wǎng)絡(luò)巨分支規(guī)模S與模擬結(jié)果非常符合,另外,數(shù)值模擬所得到的網(wǎng)絡(luò)巨分支的規(guī)模S在理論預(yù)測的相變點處消失為0.這些結(jié)果證實了本文理論的正確性.此外,在不同初始條件下,初始節(jié)點保留概率p值對于極大簇的規(guī)模分布有著非常重要的影響.在p值遠離臨界點時,極大簇的規(guī)模分布是非常均勻的,而在p值處于臨界點附近時,極大簇規(guī)模的漲落會非常大.因此除了理論預(yù)測的方法之外,還可以通過數(shù)值模擬來獲得極大簇方差的大小來定位網(wǎng)絡(luò)發(fā)生破碎的臨界點[47].

圖4 給出了弱依賴組大小分布均勻時,無標度網(wǎng)絡(luò)的巨分支規(guī)模S隨初始保留節(jié)點比例p的變化.此時,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度服從P(k)～k-γ(kmin≤k≤kmax),其中kmax和kmin分別是節(jié)點度的上下限,γ是冪律指數(shù),其平均度.與ER 隨機網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果類似,對于較小的α值,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)的方式發(fā)生崩潰,對于較大的α值,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)的方式逐步瓦解.兩種滲流相變形式由臨界點αc隔開.且當M=3 時,網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點小于M=4 的網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點,這意味著M=3的網(wǎng)絡(luò)比M=4 的網(wǎng)絡(luò)具有更強的魯棒性.有趣的是,我們還發(fā)現(xiàn)當α增大到一定程度時無標度網(wǎng)絡(luò)會發(fā)生雙重相變,如α=0.63 .對于雙重相變,網(wǎng)絡(luò)首先以二階連續(xù)相變的方式滲流,然后隨著p的增加又會發(fā)生一階不連續(xù)相變.隨著α的增加,網(wǎng)絡(luò)破碎形式轉(zhuǎn)變?yōu)閱蝹€二階連續(xù)相變;隨著α的減小,二階連續(xù)相變消失,網(wǎng)絡(luò)的破碎形式轉(zhuǎn)變?yōu)閱蝹€一階不連續(xù)相變.

圖4 依賴組規(guī)模 M=3 和 M=4 的無標度網(wǎng)絡(luò)滲流相變 (a),(b)在 〈k〉=4 (kmin=2 ,kmax=63,γ=2.5)時,弱依賴組平均大小分別為 M=3 和 M=4 時的結(jié)果;(c),(d)在 〈k〉=5 (kmin=2 ,kmax=141 ,γ=2.3)時,弱依賴組規(guī)模分別為M=3和 M=4 時的結(jié)果.網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N=105 .圖中實線表示由(1)式和(2)式得到的理論預(yù)測.垂直虛線分別表示(7)式和(5)式預(yù)測的一階和二階滲流相變點.模擬結(jié)果來自于100 次不同初始條件下的平均Fig.4.Simulation results for the percolation transitions on scale-free networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4:(a),(b) Results for scale-free networks withthe interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where the average degree 〈k〉 is 4 with kmin=2,kmax=63 and γ=2.5 ;(c),(d) results for scale-free networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where the average degree 〈k〉 is 5 with kmin=2,kmax=141 and γ=2.3 .The network sizeis N=105 .The solid lines behind the symbols denote the theoretical predictions by Eqs.(1) and (2),and the vertical dashed lines denote the first-order or second-order percolation transition points predicted by Eqs.(7) and (5),respectively.The simulation results are averaged from 100 realizations of different initial conditions.

此外,圖4 的結(jié)果還表明,雙重相變發(fā)生于度分布異質(zhì)性較強的無標度網(wǎng)絡(luò)且依賴組內(nèi)節(jié)點依賴強度適中時.這是由于無標度網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度分布異質(zhì)性較強,當網(wǎng)絡(luò)受到攻擊而發(fā)生級聯(lián)失效時,較多度值較小的節(jié)點會率先脫離網(wǎng)絡(luò)的巨分支而失效,當失效節(jié)點的規(guī)模發(fā)散時網(wǎng)絡(luò)就會發(fā)生一階不連續(xù)的相變,而此時網(wǎng)絡(luò)中度值較大的節(jié)點仍然能夠形成穩(wěn)定的簇結(jié)構(gòu),需要更大的攻擊強度才能夠?qū)⑵鋸氐灼茐?當依賴組中節(jié)點的依賴強度較大時,度值較大的中心節(jié)點很容易受到度值較小節(jié)點的影響而失效,無法形成規(guī)模較大的簇結(jié)構(gòu)來對抗級聯(lián)失效,此時網(wǎng)絡(luò)只能發(fā)生一階相變;在當依賴組中節(jié)點的依賴強度較弱時,節(jié)點會因相互之間的依賴太弱無法形成較大規(guī)模的級聯(lián)失效而發(fā)生二階連續(xù)相變.

圖5(a)和圖5(b)分別給出了在M=3 和M=4時隨機網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點pc隨α變化的情況,其中不同顏色的曲線表示不同網(wǎng)絡(luò)平均度的結(jié)果.圖中αc表示一階相變和二階相變的轉(zhuǎn)變點,其值由弱依賴組的大小M和網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉決定.圖5(c)和圖5(d)分別給出了在M=3 和M=4 時無標度網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點隨α的變化.

圖5 隨機網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)在弱依賴組規(guī)模服從平均分布時滲流相變點 pc 與α 的關(guān)系 (a)依賴組規(guī)模 M=3 的隨機網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點 或與α 的關(guān)系,其中平均度 〈k〉 為4,5 和6;(b)依賴組規(guī)模 M=4 的隨機網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(c)平均度 〈k〉 為4,5 和6 (分別對應(yīng)度分布的冪律指數(shù) γ 為2.5,2.3 和2.1)且依賴組規(guī)模 M=3 的無標度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(d)依賴組規(guī)模 M=4 的無標度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果.圖中實線為一階滲流相變點,虛線為二階滲流相變點 .模擬結(jié)果來自于100 次不同初始條件下的平均Fig.5.The percolation transition point pc as functions of αon random networks and scale-free networks with uniform interdependency group size:(a) Results for random networks with the interdependency group size M=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low;(b) results for random networks with the group size M=4,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low;(c) results for scale-free networks with thegroup size M=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 (corresponding to a power-law exponent of degree distribution γ is 2.5,2.3 and 2.1,respectively);(d) results for scale-free networks with the interdependency group size M=4,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6.The solid line is the first-order percolation transition point ,and the dashed line is the second-order percolation transition point .The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

從中可以發(fā)現(xiàn),相變的方式以αc為界分為不連續(xù)和連續(xù)兩種,但αc的值取決于弱依賴組的大小M和網(wǎng)絡(luò)度分布P(k).另外,當無標度網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)雙重相變情況時,網(wǎng)絡(luò)先以二階連續(xù)相變的方式滲流,因此網(wǎng)絡(luò)滲流相變點為二階相變點.同時也可以發(fā)現(xiàn),在大多數(shù)情況下,當依賴組內(nèi)節(jié)點依賴強度較弱時,隨機網(wǎng)絡(luò)魯棒性比無標度網(wǎng)絡(luò)差,而當依賴組內(nèi)節(jié)點依賴強度較強時,無標度網(wǎng)絡(luò)魯棒性比隨機網(wǎng)絡(luò)差.這是由于在隨機攻擊時,無標度網(wǎng)絡(luò)中度值較大的中心節(jié)點不容易受到攻擊,在依賴組內(nèi)節(jié)點依賴強度較弱時也不容易受到其他節(jié)點的影響而受到損害,然而在依賴強度較大時,無標度網(wǎng)絡(luò)中度值較大的節(jié)點容易受到組內(nèi)其他節(jié)點失效的影響而造成大量連接被刪除,從而對網(wǎng)絡(luò)整體的連通性造成較大的影響.這一結(jié)果表明,無標度網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與依賴組內(nèi)節(jié)點的依賴強度有著密切的關(guān)聯(lián).

4.2 弱依賴組大小泊松分布

考慮到現(xiàn)實中一些復(fù)雜系統(tǒng)節(jié)點所形成的依賴組的規(guī)模并不一定是均勻的,本節(jié)以弱依賴組規(guī)模服從泊松分布的情況為例,用ER 隨機網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)來研究弱依賴組規(guī)模的非均勻分布對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效動力學的影響.考慮弱依賴組規(guī)模服從泊松分布函數(shù)Q(M=i)=,i=1,2,···,Mmax,其中〈M〉表示依賴組的平均規(guī)模.此時方程(1) 轉(zhuǎn)換成

全國家用電器工業(yè)信息中心是面向全國家用電器行業(yè)服務(wù)的專業(yè)信息機構(gòu)，擁有強大的行業(yè)研究、技術(shù)研究、標準研究和信息處理能力。全方位地提供行業(yè)分析、企業(yè)分析、市場分析及預(yù)測、預(yù)警等方面服務(wù)，在家電行業(yè)極具影響力。全國家用電器工業(yè)信息中心總部位于北京。

同理,方程(2)要轉(zhuǎn)換成

關(guān)于滲流相變點的求值與上文所述的弱依賴組平均分布的求值方法相同,可得到二階滲流相變點:

根據(jù)方程(14)可以發(fā)現(xiàn),當網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組規(guī)模分布服從泊松分布時,網(wǎng)絡(luò)的二階滲流相變點與依賴組平均規(guī)模〈M〉相關(guān),二階滲流相變點隨著弱依賴組平均規(guī)?！碝〉的增大而減小,這意味著網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組平均規(guī)模越大,網(wǎng)絡(luò)魯棒性就越差.

當網(wǎng)絡(luò)發(fā)生一階滲流相變時,R在相變點處從零跳躍到一個非零值Rc,此時方程(7)同樣成立,通過聯(lián)立方程(7) 和方程(12)求得弱依賴組規(guī)模服從泊松分布時的一階滲流相變點

與弱依賴組規(guī)模平均分布時一階與二階滲流相變的臨界點αc滿足的條件相同,當p →pc和α=αc時,h′′(0)=0,此時得到

在度分布服從泊松分布的隨機網(wǎng)絡(luò)中,方程(15)可簡化為

在度分布近似冪率分布的無標度網(wǎng)絡(luò)中,方程(15)可簡化為

圖6(a)和圖6(b)分別給出了弱依賴組規(guī)模服從泊松分布且平均值〈M〉分別為3 和4 時,平均度〈k〉=4隨機ER 網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的大小S隨p增加而變化的情況.圖6(c)和圖6(d)分別給出了弱依賴組規(guī)模服從泊松分布且平均值〈M〉分別為3 和4 時,平均度〈k〉=5 的隨機網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的大小S隨p增加而變化情況.從圖中可以發(fā)現(xiàn)在隨機網(wǎng)絡(luò)中,對于較小的α值,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變方式滲流,對于較大的α值,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變方式滲流.兩種相變的形式在臨界點αc處發(fā)生改變.另外,可以發(fā)現(xiàn)〈M〉=3 時,網(wǎng)絡(luò)滲流相變點小于〈M〉=4 的網(wǎng)絡(luò),這意味著依賴組平均規(guī)模較小的網(wǎng)絡(luò)魯棒性更強.當〈k〉=5 時,弱依賴組平均規(guī)?！碝〉=3和〈M〉=4 的隨機網(wǎng)絡(luò)也具備類似的現(xiàn)象.圖6 還提供了理論預(yù)測,結(jié)果與模擬結(jié)果基本符合.

圖6 弱依賴組平均規(guī)模 〈M〉=3 和 〈M〉=4 的隨機網(wǎng)絡(luò)滲流相變的模擬結(jié)果 (a),(b) 平均度 〈k〉=4 的ER 隨機網(wǎng)絡(luò)在依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=3 和 〈M〉=4 時的結(jié)果;(c),(d)平均度 〈k〉=5 的ER 隨機網(wǎng)絡(luò)在依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=3 和〈M〉=4時的結(jié)果.網(wǎng)絡(luò)規(guī)模設(shè)為 N=105 .圖中實線表示由(12)式和(13)式得到的理論預(yù)測.垂直虛線分別表示理論預(yù)測的一階和二階滲流相變點.模擬結(jié)果來自于100 次不同初始條件下的平均Fig.6.Simulation results for percolation transitions on random networks with average group sizes 〈M〉=3 and 〈M〉=4 :(a),(b) Results for random networks with the average group sizes 〈M〉=3 and 〈M〉=4,respectively,where the average degree 〈k〉 is 4 ;(c),(d) results for random networks with the average group sizes〈M〉=3 and 〈M〉=4 respectively,where 〈k〉 is 5.The network size is N=105 .The solid linesbehind the symbols denote the theoretical predictions that were obtained by Eqs.(12) and(13),and the vertical dashed lines denote the first-order and second-order percolation transition points predicted by theory.The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

圖7 給出了弱依賴組大小分布為泊松分布Q(M),且規(guī)模平均值〈M〉=5 和〈M〉=6 時,無標度網(wǎng)絡(luò)上的滲流相變.從圖7 可以發(fā)現(xiàn)類似于隨機網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果,對于較小的α值,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變方式滲流,對于較大的α值,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變方式滲流.兩種滲流相變的形式的轉(zhuǎn)變點發(fā)生于αc處,且〈M〉=5 的網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點小于〈M〉=6的網(wǎng)絡(luò),這意味著前者比后者具有更強的魯棒性.同時發(fā)現(xiàn),當弱依賴組大小服從泊松分布時,無標度網(wǎng)絡(luò)的雙重相變現(xiàn)象依然存在.圖7 還提供了理論預(yù)測,理論結(jié)果與模擬結(jié)果的誤差相對于隨機網(wǎng)絡(luò)較大,主要存在兩個原因.首先對于無標度網(wǎng)絡(luò)在給定度序列的情況下,由于度值較大的節(jié)點的數(shù)量較小,但這些節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)的魯棒性產(chǎn)生了非常關(guān)鍵的作用,不同網(wǎng)絡(luò)連接結(jié)構(gòu)的差異性會對模擬結(jié)果產(chǎn)生較大的影響,因此模擬結(jié)果的誤差較大.第二,極大簇在相變點附近有較大的漲落,也會導(dǎo)致模擬結(jié)果存在一定的誤差.

圖7 弱依賴組平均規(guī)模 〈M〉=5 和 〈M〉=6 的無標度網(wǎng)絡(luò)滲流相變的模擬結(jié)果 (a),(b)在 〈k〉=4,即 kmin=2 ,kmax=63,γ=2.5時,弱依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=5 和 〈M〉=6 的結(jié)果;(c),(d) 在 〈k〉=5,即 kmin=2,kmax=141,γ=2.3 時,弱依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=5和 〈M〉=6 的結(jié)果.網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為 N=105 .圖中實線表示由(12)式和(13)式得到的理論預(yù)測.垂直虛線分別表示預(yù)測的一階和二階滲流相變點Fig.7.Simulation results for percolation transitions on scale-free network with average group sizes 〈M〉=5 and 〈M〉=6 :(a),(b)Results for scale-free networks with average group sizes 〈M〉=5and 〈M〉=6 respectively,where the average degree 〈k〉 is 4 with kmin=2 ,kmax=63 and γ=2.5 ;(c),(d) results for scale-free networks with 〈M〉=5 and 〈M〉=6 respectively,where〈k〉is 5 with kmin=2 ,kmax=141 and γ=2.3 .The network size is N=105 .The solid lines behind the symbols denote the theoretical predictions by Eqs.(12)and (13),and the vertical dashed lines denote the first-order and second-order percolation transition points predicted by theory.The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

圖8(a)和圖8(b)分別給出了當網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉不同時,弱依賴組平均規(guī)模〈M〉=3和〈M〉=4的隨機網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點pc隨α的變化.圖中網(wǎng)絡(luò)滲流相變的形式在αc處發(fā)生改變,且αc的大小由弱依賴組平均規(guī)?！碝〉和隨機網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉決定.圖8(c)和圖8(d) 分別給出了不同平均度〈k〉時,弱依賴組平均大小〈M〉=3 和〈M〉=4 無標度網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點pc隨α的變化.從中也可以發(fā)現(xiàn)類似依賴組大小平均分布的相變情況,相變的方式以αc為臨界點分為不連續(xù)和連續(xù)兩種,但臨界點αc還取決于度分布的參數(shù)設(shè)置.另外,由于無標度網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)雙重相變情況時,網(wǎng)絡(luò)先以連續(xù)相變的形式滲流,所以將視為此時滲流相變點pc.通過比較圖8 和圖5,可以發(fā)現(xiàn)依賴組規(guī)模不均勻分布的網(wǎng)絡(luò)比依賴組規(guī)模均勻分布的網(wǎng)絡(luò)具有更強的魯棒性.

圖8 隨機網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)在弱依賴組規(guī)模服從泊松分布時滲流相變點 pc 與α 的關(guān)系 (a) 〈M〉=3 的隨機網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點 pc (或)與α 的關(guān)系,其中平均度 〈k〉 分別為4,5 和6;(b) 〈M〉=4 的隨機網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(c)平均度 〈k〉 分別為4,5 和6 (度分布的冪指數(shù) γ 分別為2.5,2.3 和2.1)且 〈M〉=3 的無標度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(d) 〈M〉=4 的無標度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果.圖中實線為一階滲流相變點,虛線為二階滲流相變點Fig.8.The percolation transition point pc as functions of α on random networks and scale-free networks when the interdependency groups size follows poisson distribution:(a) Results for random networks with the average interdependency group size〈M〉=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low;(b) the same results to panel (a) but for 〈M〉=4 ;(c)results for scale-free networks with the average interdependency group size 〈M〉=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low (corresponding to a power-law exponent of degree distribution 2.5,2.3 and 2.1,respectively);(d) the same results to panel (c) but for 〈M〉=4 .The solid line is the first-order percolation transition point ,and the dashed line is the second-order percolation transition point .

5 總結(jié)與展望

在一些真實的復(fù)雜系統(tǒng)中,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點可能通過隱含的依賴關(guān)系而形成一些依賴組,其中一個節(jié)點失效后會對依賴組內(nèi)其余節(jié)點造成一定程度的損害,進而會引發(fā)更多節(jié)點的失效而形成級聯(lián)過程.基于此,本文提出了一種具有“弱依賴組”的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型,依賴組中節(jié)點的依賴方式由一種“節(jié)點對邊”的相互作用機制決定,與過去“節(jié)點到節(jié)點”的相互作用機制不同,當依賴組內(nèi)一個節(jié)點失效時,組中其余節(jié)點都會受到一定程度的損害,而非完全失效.本文通過引入一個可調(diào)參數(shù)α來描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組內(nèi)節(jié)點的依賴強度,并研究了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點所形成的弱依賴組的規(guī)模,規(guī)模分布和依賴強度等幾個特征對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效動力學和網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響.

由于“節(jié)點對邊”的弱依賴機制的引入,本文發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)在級聯(lián)失效過程中存在兩種效應(yīng):組間級聯(lián)失效和組內(nèi)級聯(lián)失效.具體而言,組間級聯(lián)失效表示一個節(jié)點的失效使依賴組外的部分節(jié)點不能通過失效節(jié)點連接到網(wǎng)絡(luò)的巨分支而失效,這些新增失效節(jié)點進而會造成更多節(jié)點的失效,組間級聯(lián)使得失效節(jié)點能夠跨依賴組傳播;組內(nèi)級聯(lián)失效表示一個節(jié)點的失效會給依賴組內(nèi)其余功能節(jié)點造成損害而失去部分連接,從而使這些節(jié)點脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支而失效,這些新增失效節(jié)點進而給組內(nèi)其余節(jié)點造成更大的損害而誘發(fā)更多節(jié)點失效,導(dǎo)致故障在依賴組內(nèi)傳播,這一微觀效應(yīng)在之前強依賴機制的模型中是不存在的,因在強依賴機制下,一旦依賴組中一個節(jié)點被刪除,其余節(jié)點將會被完全刪除.由于組外級聯(lián)失效的存在,某一個依賴組內(nèi)產(chǎn)生的失效會在擴張到其他依賴組后又傳播到該依賴組內(nèi),從而進一步導(dǎo)致組內(nèi)更多節(jié)點失效.而組內(nèi)級聯(lián)失效的存在打破了網(wǎng)絡(luò)在部分節(jié)點在脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支后的平衡.因此可以看出,二者存在協(xié)同作用.

在兩種級聯(lián)動力學的共同作用下,網(wǎng)絡(luò)以一階或二階相變的形式瓦解,且網(wǎng)絡(luò)瓦解的形式由節(jié)點之間的依賴強度決定.這說明依賴組內(nèi)節(jié)點的依賴強度對網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)失效的形式產(chǎn)生了至關(guān)重要的影響.當節(jié)點之間的依賴性較弱時,節(jié)點的失效不能對組內(nèi)依賴節(jié)點造成較大的破壞性,從而抑制了故障的傳播,使系統(tǒng)通過二階滲流相變的形式發(fā)生破碎.當節(jié)點之間的依賴性較強時,節(jié)點的故障會以組內(nèi)級聯(lián)的方式傳播到較為廣泛的范圍,從而導(dǎo)致系統(tǒng)的突然崩潰.這些結(jié)果表明,組內(nèi)級聯(lián)失效過程影響著組間級聯(lián)失效的過程,并對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的形式和網(wǎng)絡(luò)魯棒性起到了至關(guān)重要的作用.

數(shù)值模擬和理論分析的結(jié)果表明,隨著依賴組的規(guī)模和依賴組內(nèi)節(jié)點的依賴強度的增大,網(wǎng)絡(luò)的魯棒性會逐漸下降,這是由于弱依賴組規(guī)模更小的網(wǎng)絡(luò)可將組內(nèi)級聯(lián)限制在一個較小的范圍內(nèi),避免了失效在較大范圍內(nèi)擴散.同時,依賴組規(guī)模不均勻分布的網(wǎng)絡(luò)比依賴組規(guī)模均勻分布的網(wǎng)絡(luò)具有更強的魯棒性,這是因為依賴組規(guī)模分布不均勻的網(wǎng)絡(luò)雖允許更大規(guī)模的依賴組出現(xiàn),但大規(guī)模依賴組出現(xiàn)的概率較低,不容易受到攻擊,且攻擊數(shù)量較多且規(guī)模較小的依賴組也不會造成太大范圍的組內(nèi)級聯(lián),從而限制了組內(nèi)級聯(lián)的范圍.

此外,在大多數(shù)情況下,當依賴組內(nèi)節(jié)點依賴強度較弱時,隨機網(wǎng)絡(luò)魯棒性比無標度網(wǎng)絡(luò)差,而當依賴組內(nèi)節(jié)點依賴強度較強時,無標度網(wǎng)絡(luò)魯棒性比隨機網(wǎng)絡(luò)差.這一結(jié)果表明,存在依賴組的情況下,度分布的異質(zhì)性和依賴組規(guī)模分布的異質(zhì)性都能夠?qū)ο到y(tǒng)的魯棒性造成顯著的影響.

最后,本文還發(fā)現(xiàn)了無標度網(wǎng)絡(luò)中在依賴組中節(jié)點依賴強度適中時會發(fā)生二重相變的現(xiàn)象,這是由于無標度網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性較強,當網(wǎng)絡(luò)受到一定程度的攻擊時所發(fā)生的級聯(lián)失效只能破壞為數(shù)眾多的度值較小的節(jié)點,而對于度值較大的節(jié)點還能形成穩(wěn)定的簇結(jié)構(gòu),如將網(wǎng)絡(luò)徹底破壞還需更強的攻擊強度.

本文將“節(jié)點對邊”作用機理引入到了具有依賴組的的級聯(lián)失效模型中,描述了節(jié)點之間更為一般的依賴機制,不但對于理解依賴組的規(guī)模、規(guī)模分布和節(jié)點依賴強度等因素對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的作用和級聯(lián)失效的發(fā)生機理具有重要的科學意義,而且對于通過依賴組的特征來對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的控制、預(yù)防干預(yù)策略的設(shè)計和魯棒性的優(yōu)化具有重要的啟發(fā)意義.本文所研究的依賴組基于組內(nèi)節(jié)點的相互依賴性完全相同的假設(shè),然而在現(xiàn)實中依賴組內(nèi)節(jié)點的相互影響可能不是完全等同的.因此后續(xù)的研究仍然存在較大的拓展空間,如依賴強度的非均勻性或非對等性對于網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效動力學是否具有顯著的影響？此外,依賴組內(nèi)的節(jié)點是否能夠形成某種結(jié)構(gòu),依賴組的內(nèi)節(jié)點的依賴結(jié)構(gòu)是否對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效有較大的影響？這些問題都值得我們進一步進行實證或理論研究.