◎?qū)O雅琪 (吉林師范大學(xué),吉林 四平 136001)

一、高中立體幾何知識結(jié)構(gòu)及地位作用

(一)高中立體幾何知識的結(jié)構(gòu)分析

中學(xué)數(shù)學(xué)課程知識本著螺旋式上升、層層遞進(jìn)、逐步深化的原則，一步步加深學(xué)生對理論知識的已有認(rèn)識，在學(xué)生本階段能夠理解的層次水平，揭開知識本質(zhì)面紗，讓學(xué)生感受到知識的魅力和探索世界的趣味.高中學(xué)生在初中階段，已經(jīng)學(xué)習(xí)了大量的平面幾何知識，對三角形、矩形、圓形等圖形的性質(zhì)有了初步的了解，對角的大小、直線或線段的位置關(guān)系、圖形的全等與相似等知識能夠正確把握，可以說，他們已經(jīng)步入了幾何世界的大門，具有了一定的幾何思維和圖形意識，能夠處理簡單的圖形問題.這對于開展高中數(shù)學(xué)的教學(xué)起到基礎(chǔ)鋪墊的作用.

本著螺旋式上升的知識安排，在高中立體幾何課程設(shè)置上，首先學(xué)習(xí)了空間幾何體，這對應(yīng)著初中幾何知識中的基本平面幾何圖形.在空間幾何體這一章中，學(xué)生先認(rèn)識多面體和旋轉(zhuǎn)體的幾何結(jié)構(gòu)特征，并且能夠?qū)⒑唵谓M合體進(jìn)行拆分，得到對立體幾何初步的感性認(rèn)識.然后，學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)識三視圖和直觀圖，在這一部分，學(xué)生接觸到中心投影和平行投影，嘗試畫出立體幾何的三視圖和直觀圖，并能夠根據(jù)圖形的三視圖和直觀圖，想象出立體幾何的構(gòu)造.這一部分的知識一方面檢驗(yàn)著學(xué)生前面的學(xué)習(xí)成果，一方面投影知識對后面定理定義的把握，立體幾何的作圖都大有幫助.同時(shí)，科學(xué)的想象方法為學(xué)生增強(qiáng)空間想象能力提供了遵循.最后，學(xué)生學(xué)習(xí)了空間幾何體的表面積和體積，這一部分建立在學(xué)生能夠掌握基本的立體幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，并且與實(shí)踐生活緊密聯(lián)系.

在第二章節(jié)中，學(xué)生進(jìn)一步深入探索立體幾何世界中，點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系.這對應(yīng)著初中平面幾何中對線與線平行、垂直、夾角等知識的學(xué)習(xí).在這一部分知識的學(xué)習(xí)中，學(xué)生先學(xué)習(xí)三者之間的位置關(guān)系，這是深入認(rèn)識立體幾何中各部分的基礎(chǔ)，即想要準(zhǔn)確把握一個(gè)立體幾何圖形的性質(zhì)，必須弄清里面點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.接著，學(xué)生細(xì)致學(xué)習(xí)直線、平面平行的判定與性質(zhì)，直線、平面垂直的判定及其性質(zhì).這部分內(nèi)容無論是知識結(jié)構(gòu)上，還是課程地位上，抑或是從高考角度來看，都是高中立體幾何知識的重中之重，并且也是難點(diǎn)所在.這部分知識在結(jié)構(gòu)上，是前面學(xué)習(xí)的立體幾何有關(guān)知識的綜合呈現(xiàn)，是研究立體幾何圖形的重要切入點(diǎn)，也是把握立體幾何的重要研究對象.教師需要以一種立體幾何全局的視角串聯(lián)立體幾何知識，讓學(xué)生做到立體幾何知識結(jié)構(gòu)框架胸有成竹.

(二)高中立體幾何知識的作用與地位

1.高中立體幾何知識的作用

立體幾何知識可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.中學(xué)幾何知識對圖形性質(zhì)的把握和判定條件的要求，都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，我們需要對?yīng)上每一個(gè)適用條件和判定條件，在分析幾何圖形時(shí)絕對不允許存在“看起來像”“感覺是”等想法，尤其是高中立體幾何知識，我們要具有嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度.這可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，即從高中立體幾何知識的學(xué)習(xí)上，學(xué)生體會到多種必要的位置限制對確定概念的重要性，每一個(gè)限制條件都對圖形的位置性質(zhì)發(fā)揮著決定作用，同時(shí)在解決立體幾何題目時(shí)，感受到嚴(yán)謹(jǐn)思維帶來的豐富立體幾何世界.

立體幾何知識可以發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力.學(xué)好立體幾何知識，很重要的就是學(xué)生能夠在多樣的抽象立體幾何圖形中，根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置和性質(zhì)關(guān)系，按照定理公理，運(yùn)用邏輯思維，推導(dǎo)出一系列的結(jié)論.學(xué)生倘若對基礎(chǔ)的立體幾何知識掌握不充分，邏輯關(guān)系了解不熟練，則在邏輯推導(dǎo)中會比較被動.在立體幾何知識中，逆向邏輯推導(dǎo)也發(fā)揮重要作用，比如學(xué)生需要由面面關(guān)系推導(dǎo)出線線關(guān)系，根據(jù)線面角、面面角等推導(dǎo)出線面關(guān)系、面面關(guān)系等.

立體幾何知識具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.立體幾何圖形主要是從現(xiàn)實(shí)圖形中抽象而來的，是描述現(xiàn)實(shí)空間的重要工具，是用數(shù)學(xué)解讀空間物體的語言，必然與現(xiàn)實(shí)環(huán)境緊密聯(lián)系.現(xiàn)實(shí)生活中的幾何體需要借助立體幾何知識進(jìn)行深度挖掘和改造，同時(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的需要也在加深人們對立體幾何的認(rèn)識，促進(jìn)人們挖掘還未探究到的幾何奧秘.這也說明，立體幾何具有很強(qiáng)的工具性，對學(xué)好理學(xué)、工學(xué)等其他知識，處理日常生活中的基本空間問題大有裨益.學(xué)生建立起來的數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問題的重要方法.

2.高中立體幾何知識的地位

在與初中知識的聯(lián)系上，高中立體幾何知識是對初中簡單的平面幾何知識的進(jìn)一步探究，是對幾何知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)完善，豐富了學(xué)生對幾何世界的認(rèn)識，提高了學(xué)生探索世界的興趣和信心.在高中知識上，立體幾何知識與向量知識、解析幾何知識聯(lián)系密切.在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的排版上來看，立體幾何知識安排最靠前，可以說是高中幾何知識的啟蒙，與后面的知識相互影響，相互呼應(yīng)，有些單純靠立體幾何難以解決的問題，為以后新思路、新方法的使用埋下伏筆，一些點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，又為后面知識的吸收提供著啟發(fā).從高考角度來看，立體幾何知識分值主要集中在第二章，但在選擇題、填空題上，也會考直觀圖和三視圖、立體圖形表面積和體積的求法，甚至可以將立體幾何與函數(shù)、集合等知識綜合考查，這足以說明立體幾何知識在高中數(shù)學(xué)課程中地位之高，聯(lián)系之廣泛.

二、高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)存在的問題

(一)教學(xué)與生活聯(lián)系不夠密切

立體幾何應(yīng)該說是與社會生產(chǎn)生活聯(lián)系非常密切的知識，很多圖形可以直接由實(shí)物例子抽象而來，并且立體幾何在實(shí)際生活中的應(yīng)用也非常廣泛.正因?yàn)槿绱?，教師容易產(chǎn)生“直接拿出立體幾何抽象圖形，學(xué)生能夠自己對應(yīng)出來相應(yīng)的實(shí)物圖形”“對于學(xué)習(xí)的幾何知識，學(xué)生能夠理解知識的外延，順理成章地應(yīng)用到立體幾何實(shí)際問題中”的錯(cuò)誤想法.由此導(dǎo)致，立體幾何教學(xué)與社會生產(chǎn)生活上的聯(lián)系不夠緊密，部分教師在教學(xué)中，欠缺通過圖片、實(shí)物展示引入立體幾何圖形的意識，或者不能及時(shí)通過解決實(shí)際問題強(qiáng)化學(xué)生對立體幾何知識的認(rèn)識，造成學(xué)生不能將學(xué)習(xí)的知識用于實(shí)際生活的局面.

(二)教學(xué)使用的教學(xué)用具陳舊單一

立體幾何知識豐富、生動、活潑，變形變式多.知識的多樣性，結(jié)構(gòu)的空間性，直接要求教師在教學(xué)中，要想辦法豐富學(xué)生的認(rèn)識，幫助學(xué)生構(gòu)建、完善空間圖形結(jié)構(gòu)，鍛煉學(xué)生的空間想象能力.但是在教學(xué)中，很多教師，尤其是教齡較長的教師，普遍習(xí)慣于使用傳統(tǒng)的教具教授課程，如尺子、模型等，教學(xué)用具相對陳舊、單一.這些用具在展示靜態(tài)立體幾何圖形時(shí)，尚且可以應(yīng)付，但是在展示立體幾何圖形的變化變形，分析立體幾何圖形內(nèi)部構(gòu)造，學(xué)生親自動手操作等方面，則顯得應(yīng)付不來，在調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)好奇心和探索欲上的表現(xiàn)，也難以令人滿意.

(三)教師授課時(shí)割裂立體幾何知識結(jié)構(gòu)

難題主要集中在第二章，空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系上，教師和學(xué)生將教授和學(xué)習(xí)的火力點(diǎn)集中在空間圖形的運(yùn)算上，這對于突破立體幾何知識重難點(diǎn)而言無可厚非，并且這一章確實(shí)對學(xué)生整體把握立體幾何知識至關(guān)重要.但是在教學(xué)中，很多教師忽略學(xué)生對空間幾何體的認(rèn)識、直觀圖三視圖的認(rèn)識和畫法、立體幾何圖形的表面積體積求解等知識，可能會通過讓學(xué)生自學(xué)、小組討論等方式完成這部分內(nèi)容甚至不教.這種教法顯然割裂了立體幾何的知識結(jié)構(gòu)，不利于學(xué)生形成完整的豐富的立體幾何認(rèn)識，甚至影響其獨(dú)立解決立體幾何實(shí)際問題的能力.

(四)教師教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性體現(xiàn)不足

立體幾何這部分知識對于學(xué)生而言，相對較難，尤其是初步接觸這部分知識時(shí)，很多學(xué)生難以想象立體幾何圖形內(nèi)部的關(guān)系，難以接受解決立體幾何問題的思維方式，這些都是學(xué)生完善思維認(rèn)識和認(rèn)知結(jié)構(gòu)建設(shè)的必要階段.有部分教師面對這種現(xiàn)象，出于比較功利的教學(xué)想法，過多地采用教師講授甚至全盤托出的方法開展教學(xué)活動，知識密集，強(qiáng)行灌輸，讓學(xué)生硬生生地接受新知識、新思維，違背了學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體性.這種教學(xué)不是以人為本的教學(xué).揠苗助長的方式，不僅得不到本以為的教學(xué)進(jìn)度，反而丟失了教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

三、淺析高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)對策

(一)知識來源于生活，知識回歸到生活

教師在教學(xué)中要樹立知識來源于生活，知識回歸到生活的理念.教師在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，可以選擇學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)生活經(jīng)常遇到的立體幾何圖形進(jìn)行導(dǎo)入，組織學(xué)生通過觀察、比較等方式，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，這也豐富了學(xué)生對立體幾何圖形的感性認(rèn)識.教學(xué)過程中，學(xué)生抽象活動遇到阻力時(shí)，教師要將生活作為形象向抽象過渡的素材，及時(shí)借助實(shí)例，幫助學(xué)生順暢開展思維活動，將感性認(rèn)識轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識.教師要有針對性地挖掘本堂課的教學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活和科學(xué)研究中的重要作用，提高學(xué)生的應(yīng)用意識，也豐富立體幾何知識的價(jià)值意義.

(二)熟練使用新型教具，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

新型教學(xué)工具如多媒體、可拆卸模型等，對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，理解立體幾何的抽象知識、提高空間想象能力具有重要作用.熟練使用新型教學(xué)工具，給教師自身接受并掌握新鮮事物的能力、組織和控制課堂教學(xué)活動、加強(qiáng)學(xué)科知識認(rèn)識帶來挑戰(zhàn).首先，教師要從心理上接受并且積極地學(xué)習(xí)、掌握新型教學(xué)工具的基本知識，這是熟練使用它們的前提.其次，教師要找到新型教具與課堂教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合點(diǎn)，最大限度地發(fā)揮教具價(jià)值，避免教具出現(xiàn)得不合時(shí)宜，分散學(xué)生的注意力，干擾學(xué)生有序的思維認(rèn)識過程.最后，教師還需要提高課堂組織管理能力，這樣他們就能夠掌控課堂教學(xué)節(jié)奏，及時(shí)應(yīng)對多種教學(xué)狀況了.

(三)全面把握立體幾何知識結(jié)構(gòu)，完善立體幾何知識系統(tǒng)

教師在教學(xué)時(shí)，要全面、綜合、系統(tǒng)地把握立體幾何知識，要充分認(rèn)識到平面圖形對于學(xué)生獲得準(zhǔn)確的立體幾何感知發(fā)揮的重要作用.比如，求解立體圖形表面積需要展開圖形，射影在構(gòu)造線面角、二面角上發(fā)揮的頓悟作用等.教師需將所有的立體幾何知識甚至是幾何知識統(tǒng)一起來，完善學(xué)生的立體幾何知識系統(tǒng)，提高學(xué)生對立體幾何各部分之間緊密而豐富關(guān)系的認(rèn)識.

(四)課堂交給學(xué)生，樹立以人為本的教學(xué)理念

學(xué)生是一個(gè)獨(dú)立的人，有獨(dú)特的思維認(rèn)知規(guī)律.教師在教學(xué)時(shí)，要樹立以人為本的教學(xué)理念，將課堂交給學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性作用.教師要注意通過變式、比較等方式，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生矛盾的認(rèn)知，繼而發(fā)現(xiàn)相同或相似事物的規(guī)律，積極總結(jié)規(guī)律，形成對規(guī)律的認(rèn)識，接著嘗試用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律.教師還要幫助學(xué)生切身感受嚴(yán)謹(jǐn)抽象的數(shù)學(xué)邏輯語言，最終借助題目練習(xí)，形成對數(shù)學(xué)立體幾何知識的全面掌握.在這一過程中，教師需要在以人為本的理念下，時(shí)刻監(jiān)控著教學(xué)活動和學(xué)習(xí)活動，及時(shí)糾正、總結(jié)學(xué)生出現(xiàn)的問題.

四、淺議高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)建議

(一)積極使用教學(xué)理論指導(dǎo)教學(xué)活動

APOS是由美國教育家杜賓斯基提出來的一種以建構(gòu)主義學(xué)說為基礎(chǔ)的教學(xué)模型.我們通過總結(jié)國內(nèi)外研究成果和實(shí)踐成果，可以證明基于APOS開展數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有比較好的教學(xué)效果.APOS分別指操作、過程、對象和圖式四個(gè)階段，如圖所示.教師的教學(xué)活動可以按照這四個(gè)階段，在適應(yīng)學(xué)生心理結(jié)構(gòu)發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上開展，最終幫助學(xué)生在不知不覺中獲得數(shù)學(xué)概念.

“操作階段”是個(gè)體把接觸到的數(shù)學(xué)實(shí)體對象充分感知的過程，在這一階段，學(xué)生要對數(shù)學(xué)對象有概括性的感性認(rèn)識，獲得感性的數(shù)學(xué)素材.“過程階段”是個(gè)體歸納反思數(shù)學(xué)活動的階段.在這一階段，學(xué)生逐漸熟悉并且在不借助實(shí)物獨(dú)立感知的基礎(chǔ)上，逐漸開展思維的內(nèi)化，在老師的引導(dǎo)下，一點(diǎn)點(diǎn)提煉出事物的本質(zhì)特征.在“對象階段”，學(xué)生要進(jìn)一步轉(zhuǎn)換和操作所得到的數(shù)學(xué)規(guī)律，使其成為規(guī)范概念.“圖式階段”是APOS的最后一個(gè)階段，這一階段學(xué)生已經(jīng)形成了單個(gè)圖式，教師要將新形成的圖式與原有的圖式相聯(lián)系，最終形成概念體系.

(二)重視基礎(chǔ)知識教學(xué)，切勿好高騖遠(yuǎn)

教師在教學(xué)過程中，要將主要的教學(xué)目標(biāo)放在教授基礎(chǔ)知識上，要將教學(xué)活動設(shè)計(jì)成每個(gè)學(xué)生都能從中學(xué)到適合自己的數(shù)學(xué)，都能得到發(fā)展的教學(xué).教師需要關(guān)注攻克難題，更需要把重要精力投入講授新課、講解基礎(chǔ)知識和題目上來.基礎(chǔ)立體幾何知識，不僅是大部分學(xué)生可以接受、適應(yīng)的知識，能夠滿足大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，同時(shí)，也是學(xué)生攀登立體幾何高峰的基石.學(xué)生要能夠從基本的立體幾何中，梳理出立體幾何知識的脈絡(luò)，掌握研究立體幾何的基本思路和方法，感受到立體幾何的教育價(jià)值，進(jìn)而將其內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，成為自己知識體系的一部分.只有這樣，學(xué)生在接下來的學(xué)習(xí)過程中，才算是掌握主動性，能夠在遇到困難問題時(shí)，及時(shí)將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)簡單問題，并且借助已經(jīng)形成的立體幾何思維，熟練掌握各學(xué)科知識和知識之間的聯(lián)系，積極嘗試解決幾何難題，進(jìn)而在生活中能夠主動利用幾何知識甚至是立體幾何思維解決問題.

(三)培養(yǎng)學(xué)生自信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效能感

很多學(xué)生反映立體幾何知識難，內(nèi)心產(chǎn)生畏難情緒，甚至原本可以學(xué)會的知識、解決的問題，在這種情緒下，也學(xué)不會，解決不了，這樣便失去了學(xué)習(xí)的主動性.教師在教學(xué)過程中，要時(shí)刻疏導(dǎo)學(xué)生的畏難情緒，提高學(xué)生能夠?qū)W會學(xué)好立體幾何知識的自信心和效能感.教師的教學(xué)要循序漸進(jìn)，由淺入深，由表及里，先從觀察、回憶等比較容易吸引學(xué)生注意力、引導(dǎo)學(xué)生輕松思考的教學(xué)活動入手，激發(fā)學(xué)生探究欲望.在教學(xué)活動中，面對學(xué)生產(chǎn)生疑惑、迷茫的知識，教師要及時(shí)進(jìn)行反思，通過提示、學(xué)生復(fù)述、答題等方式，幫助學(xué)生理解知識，這一過程教師要關(guān)注學(xué)生情緒，對于畏難、抵觸、煩躁等情緒，要及時(shí)疏導(dǎo)，并且有針對性地調(diào)整自己的教學(xué)設(shè)計(jì).學(xué)生對立體幾何知識的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)畏難情緒時(shí)，教師不應(yīng)該產(chǎn)生過多的負(fù)面情緒，影響班級整體的教學(xué)和學(xué)習(xí)氛圍，而應(yīng)該以積極、祥和、樂觀的態(tài)度對待學(xué)生的學(xué)習(xí).