顧麗英，鄧德巍

操作延展性練習(xí)教學(xué)——在兩種推理交互作用中發(fā)展數(shù)學(xué)新知識(shí)

顧麗英1，鄧德巍2

（1．無(wú)錫市新洲小學(xué)，江蘇 無(wú)錫 214112；2．淮安市洪澤實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 淮安 223100）

在宏觀背景和教育大環(huán)境相對(duì)不變的情況下，改進(jìn)教學(xué)方法是提高教學(xué)質(zhì)量的根本措施．各種教學(xué)方法層出不窮，其種類(lèi)和定義也更加具體確切，更加專(zhuān)業(yè)．延展性教學(xué)就是一種．延展性是源于物質(zhì)的一種物理屬性，指可錘煉可壓延的程度，這里把它擬人化地用于數(shù)學(xué)教學(xué)，以錘煉一個(gè)人的數(shù)學(xué)品質(zhì)與能力，借以高標(biāo)準(zhǔn)地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．在回顧與分析這種教學(xué)方法的特點(diǎn)與模式之后，把它納入到認(rèn)知心理學(xué)及教育學(xué)研究的“三象一作”數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程，由無(wú)錫市新洲小學(xué)等學(xué)校展開(kāi)延展性練習(xí)教學(xué)．教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，通過(guò)一些典型教例，把“語(yǔ)言傳遞、直接感知、實(shí)際訓(xùn)練、引導(dǎo)探究、活動(dòng)欣賞”等幾種常用方法融為一體，在合情推理與演繹推理交互作用中延伸與拓展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)．通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力有顯著提高．實(shí)踐證明數(shù)學(xué)課堂的延展性教學(xué)這種教學(xué)方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是可行的和有效的．其努力方向是：針對(duì)不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)方式的差異，教學(xué)設(shè)計(jì)中還必須為學(xué)生提供和呈現(xiàn)多樣化策略的應(yīng)用與選擇．延展性教學(xué)的進(jìn)一步詮釋過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)也作了一點(diǎn)思考．

“三象一作”過(guò)程；延展性練習(xí)教學(xué)；合情推理能力；邏輯推理能力；終極目標(biāo)

1 問(wèn)題提出

隨著現(xiàn)代學(xué)校教育教學(xué)理論和實(shí)踐的不斷深入與發(fā)展，人們對(duì)教學(xué)方法本質(zhì)的研究趨于深刻，各種教學(xué)方法層出不窮，對(duì)教學(xué)方法的種類(lèi)和定義也更加具體、確切，更加專(zhuān)業(yè)．其總目標(biāo)都是為了提高教學(xué)效率[1]．因?yàn)榻虒W(xué)的時(shí)間是固定和有限的，因此改進(jìn)教學(xué)方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生好學(xué)上進(jìn)的積極性，就是提高教學(xué)質(zhì)量的根本措施．教學(xué)方法多種多樣，其性能和特點(diǎn)千姿百態(tài)．在實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師能否正確選擇教學(xué)方法，就成為影響教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵問(wèn)題之一．實(shí)踐證明，教師只有按照一定的科學(xué)規(guī)律，綜合考慮教學(xué)的各種因素，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，并能合理地加以組合，才能使教學(xué)效果達(dá)到最優(yōu)化的境地．延展性教學(xué)就是一種合理的新的教學(xué)方法與教學(xué)模式．依據(jù)“科學(xué)教育學(xué)之父”赫爾巴特的主張，在延展性教學(xué)中把學(xué)生的個(gè)性作為出發(fā)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生多方面的興趣作為終極教學(xué)目的的最近教學(xué)目標(biāo)，使課堂教學(xué)作為經(jīng)驗(yàn)與交際的補(bǔ)充，關(guān)注學(xué)生“與教學(xué)相合拍的心理狀態(tài)”等．認(rèn)為興趣標(biāo)志著學(xué)生智力活動(dòng)的特性，它可以通過(guò)教學(xué)激起，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生觀念體系的完善[2]．

近年來(lái)也有一些中小學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)始研究與應(yīng)用延展性教學(xué)方法，其中包括把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能向課內(nèi)與課外的延展等．“有效延展，促進(jìn)內(nèi)化”指出知識(shí)只有內(nèi)化為學(xué)生自己的才是穩(wěn)定的、有效的，為了促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化，教學(xué)就不能灌輸，不能孤立地講解知識(shí)點(diǎn)，而應(yīng)該注重知識(shí)的延展性．?dāng)?shù)學(xué)教師應(yīng)根據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況，給學(xué)生留下延伸拓展的空間、時(shí)間，指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)自去思考、探究，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新能力．延展性教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生能力提出了具體要求，同時(shí)，也對(duì)廣大一線數(shù)學(xué)教師如何實(shí)施有效教學(xué)，提升學(xué)生能力方面指明了方向[3]．有2篇文獻(xiàn)主要介紹了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)延展性問(wèn)題的思考．其做法是：一是延伸和拓展有價(jià)值的問(wèn)題，其方法有反向提問(wèn)法、條件演變法、操作驗(yàn)證法、推廣變式法和知識(shí)遷移法等；二是關(guān)注課本習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，延伸課本習(xí)題，組織學(xué)生交流經(jīng)驗(yàn)，拓展課本習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生靈活運(yùn)用，使“教·學(xué)·做合一”的思想真正落到實(shí)處[4–5]．

作為小數(shù)教材中任何一個(gè)章節(jié)的知識(shí)與內(nèi)容本身具有延展性，它們都是整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中的一部分，它在客觀上都包含有比教學(xué)大綱規(guī)定要學(xué)習(xí)的多得多的數(shù)學(xué)思想和方法．但有時(shí)人們過(guò)分強(qiáng)調(diào)可接受性原則．教師不愿意其實(shí)是不善于把它納入某一知識(shí)系統(tǒng)中去考察．其實(shí)，就教學(xué)的可接受性原則而論，它也應(yīng)包括3個(gè)方面：傳授的新知識(shí)應(yīng)對(duì)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)、以他們的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)；學(xué)習(xí)的知識(shí)系統(tǒng)應(yīng)有助于向更高的一般發(fā)展水平過(guò)渡，或?yàn)檫@種過(guò)渡造成明顯的趨勢(shì)；在具體的教學(xué)條件下，某一內(nèi)容對(duì)于完成學(xué)生發(fā)展任務(wù)的必要性，應(yīng)當(dāng)是顯而易見(jiàn)的．例如，“用計(jì)算器探索規(guī)律”（課標(biāo)蘇教版第八冊(cè)83–84頁(yè)）．借助計(jì)算器，探索并掌握“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘幾，積也隨著乘幾”的變化規(guī)律．通過(guò)實(shí)踐教學(xué)，許多老師都覺(jué)得這一課的內(nèi)容比較單?。l(fā)現(xiàn)在一節(jié)課內(nèi)進(jìn)行教學(xué)和相應(yīng)的應(yīng)用練習(xí)，時(shí)間還有多余，學(xué)生也似乎還有學(xué)習(xí)的余力．故對(duì)其進(jìn)行了拓展延伸，教師可以有多種處理方式，比如增加練習(xí)，進(jìn)而鞏固知識(shí)；又如適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充學(xué)習(xí)內(nèi)容：（1）一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)除以幾時(shí)商的變化；（2）兩個(gè)因數(shù)都有變化時(shí)積的相應(yīng)變化，等等．從而拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．當(dāng)然，這是對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)而言．對(duì)于一般學(xué)生則可在今后的學(xué)習(xí)和練習(xí)中慢慢鞏固．這樣做不但有利于學(xué)生的發(fā)展和提高，還能有效地避免學(xué)生產(chǎn)生思維定勢(shì)．這是一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)延展性教學(xué)的具體例子[6]．

這里所要研究的問(wèn)題是基于這2個(gè)文獻(xiàn)．一是文獻(xiàn)[2]指出，教學(xué)中的首要任務(wù)是開(kāi)拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方式，讓學(xué)生盡快由形象思維方式轉(zhuǎn)換為抽象思維加邏輯思維的方式．以形態(tài)理解和想象為中心展開(kāi)練習(xí)，旨在拓寬學(xué)生的思路和提升思維質(zhì)量．同時(shí)，由于人類(lèi)的思維方式和行為方式隨著社會(huì)的發(fā)展在不斷發(fā)生變化，一些曾被視為對(duì)立的概念諸如抽象與形象、感性與理性思維的方式，現(xiàn)在看來(lái)正變得融合和統(tǒng)一．在這樣的背景下，讓學(xué)生以靈活、新穎的方式和多維的角度探求事物運(yùn)動(dòng)內(nèi)部機(jī)理的思維活動(dòng)和知識(shí)構(gòu)架、整體把握能力的培養(yǎng)就顯得特別有意義．通過(guò)綜合訓(xùn)練使學(xué)生盡量能達(dá)到在遇到新的問(wèn)題或情況時(shí)，會(huì)選擇解決問(wèn)題的恰當(dāng)辦法．長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐證明，心象構(gòu)成與抽象構(gòu)成的相輔相成可以使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念的基本內(nèi)涵．

二是文獻(xiàn)“論一種緣自認(rèn)知心理學(xué)及教育學(xué)研究的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程”．王名揚(yáng)等提出了一種全新的教學(xué)認(rèn)知過(guò)程——“三象一作”模式，即“數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)心象、數(shù)學(xué)抽象、操作階段”．這個(gè)模式指出：人們想獲得高度總結(jié)性的科學(xué)知識(shí)，一般來(lái)說(shuō)總是要經(jīng)歷數(shù)學(xué)現(xiàn)象→數(shù)學(xué)心象→數(shù)學(xué)抽象這樣的認(rèn)知過(guò)程．但認(rèn)知過(guò)程中還包含一個(gè)重要的階段，即“操作階段”．這是一個(gè)在對(duì)知識(shí)不斷運(yùn)用和不斷認(rèn)知中再提升的階段．具體來(lái)說(shuō)“就是在合乎邏輯法則的條件上操作運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法（包括數(shù)學(xué)符號(hào)及語(yǔ)言）去處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)理論知識(shí)”[7]．

【研究問(wèn)題】基于上述兩個(gè)文獻(xiàn)，并借鑒前面延展性教學(xué)的有關(guān)理論與實(shí)踐，學(xué)校組織教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行操作延展性練習(xí)教學(xué)的探析研究活動(dòng)，著重從“數(shù)學(xué)的現(xiàn)象到數(shù)學(xué)的心象，再到數(shù)學(xué)的抽象”的可操作階段中展開(kāi)，使直覺(jué)、形象思維與邏輯、抽象思維，也即合情推理與演繹推理（下簡(jiǎn)稱(chēng)形象思維與抽象思維）這兩種推理交互作用發(fā)展數(shù)學(xué)新知識(shí)．把數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的“語(yǔ)言傳遞、直接感知、實(shí)際訓(xùn)練、引導(dǎo)探究、活動(dòng)欣賞”等幾種常用方法融為一體．

2 形象思維與抽象思維交互作用發(fā)展數(shù)學(xué)新知識(shí)的延展性練習(xí)教學(xué)

其實(shí)所謂延展性是指物質(zhì)的一種物理屬性，指可錘煉可壓延程度．易鍛物質(zhì)不需退火可錘煉可壓延．可鍛物質(zhì)，則需退火進(jìn)行錘煉和壓延．脆性物質(zhì)則在錘煉后壓延程度顯得較差．物體在外力作用下能延伸成細(xì)絲而不斷裂的性質(zhì)叫延性，在外力（錘擊或滾軋）作用能碾成薄片而不破裂的性質(zhì)叫展性．延展性也可形容一個(gè)人的品質(zhì)與能力，某人延展性強(qiáng)是指他可塑性強(qiáng)，可以勝任多種角色或者多個(gè)工種．下面，嘗試給出延展性教學(xué)的一個(gè)界定，因?yàn)檫@里所感興趣的是數(shù)學(xué)教學(xué)的延展性．

首先指出，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過(guò)自己的思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法，并不斷自我增進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程．

【延展性數(shù)學(xué)教學(xué)的界定】所謂延展性數(shù)學(xué)教學(xué)，就是指對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行延伸與拓展的教學(xué)（內(nèi)涵）．推廣、擴(kuò)充或遷移數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，獲得廣闊的思維空間，找到新的方法與觀點(diǎn)，更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)新知識(shí)．教學(xué)中，教師全面揭示數(shù)學(xué)思維過(guò)程，可能與必要時(shí)把數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的慢鏡頭展現(xiàn)出來(lái)，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維，將知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程與學(xué)生認(rèn)知的生理心理活動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)．把數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程打造或錘煉成學(xué)生身心健康發(fā)展的良好的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)（外延）．

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式．推理一般包括合情推理和演繹推理．合情推理是一種創(chuàng)造的思維活動(dòng)，演繹推理是一種收斂的思維活動(dòng)．以?xún)煞N推理互補(bǔ)應(yīng)用到數(shù)學(xué)新知識(shí)的發(fā)展主要是指在“三象一作”的操作階段中，如何讓學(xué)生在交互應(yīng)用演繹推理和合情推理兩種推理方式中，做到有機(jī)結(jié)合、相輔相成、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、相得益彰，從而去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并發(fā)展數(shù)學(xué)新知識(shí)的一種操作過(guò)程．

因?yàn)槿四X是具有抽象本能的，但它需要通過(guò)不斷訓(xùn)練逐步喚醒和增長(zhǎng)這種抽象能力．所以在這一過(guò)程中，首先是運(yùn)用性推理的奠基，是學(xué)生基于某一種問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及方法進(jìn)行推理活動(dòng)，從而獲得問(wèn)題解決．這一抽象水平是學(xué)生在操作階段進(jìn)一步抽象發(fā)展的起點(diǎn)，沒(méi)有這樣的基礎(chǔ)性保證，進(jìn)一步的抽象發(fā)展將成為無(wú)本之木，無(wú)源之水．其次，是想象性推理的發(fā)生．就是學(xué)生探索知識(shí)向更高水平的抽象層面發(fā)展，進(jìn)行思維的攀爬，在一定的條件下想象，進(jìn)行再推理，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展角度來(lái)講，就是他們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中圖式的再豐富、認(rèn)知過(guò)程的再深入環(huán)節(jié)．再次，是學(xué)生在推理過(guò)程中對(duì)自己獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的創(chuàng)新運(yùn)用，并經(jīng)過(guò)抽象（推廣）對(duì)新的數(shù)學(xué)理論知識(shí)獲得發(fā)展．

練習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，但是在實(shí)踐中，由于大部分教師對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的新授環(huán)節(jié)都能做到多角度深層次思考、多維度精細(xì)化設(shè)計(jì)，但是對(duì)于練習(xí)設(shè)計(jì)一般都是以“量”為主，而忽視了對(duì)練習(xí)“質(zhì)”的思考，導(dǎo)致大量機(jī)械、重復(fù)、低效的練習(xí)．

延展性練習(xí)一般是在教學(xué)新知后，教師根據(jù)學(xué)生知識(shí)架構(gòu)情況，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)的包含豐富內(nèi)涵的練習(xí)．在操作階段中，聚焦于學(xué)生在推理中發(fā)展新數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象能力、內(nèi)涵品質(zhì)提升的延展性練習(xí)教學(xué)，其特點(diǎn)主要有以下3個(gè)．一是有基礎(chǔ)點(diǎn)，那就是這種練習(xí)教學(xué)要適應(yīng)學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，能讓學(xué)生針對(duì)問(wèn)題通過(guò)已有知識(shí)方法進(jìn)行演繹性運(yùn)用，并使問(wèn)題得到解決，以獲得首次成功的喜悅．二是有觸發(fā)點(diǎn)，以首次成果為核心進(jìn)行拓展，能為學(xué)生提供一定的事實(shí)條件和情境，以此作為學(xué)生營(yíng)造合情推理的心理場(chǎng)域，并凝結(jié)成思維啟迪的動(dòng)力，觸發(fā)他們?nèi)ズ锨橥评恚怯醒诱裹c(diǎn)，教師設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生逐步從條件合情推理結(jié)果的指向問(wèn)題，并富有一定的彈性力度和最近發(fā)展區(qū)水平．把問(wèn)題吊在半空中，引著學(xué)生一步步向思維更深處漫朔．讓學(xué)生通過(guò)跳一跳摘到果子，獲得新的數(shù)學(xué)理論知識(shí)發(fā)展，即獲得再認(rèn)識(shí)、再提升的發(fā)展．這里所說(shuō)的延展性練習(xí)是通過(guò)兩種推理互補(bǔ)應(yīng)用的延展性練習(xí)教學(xué)．

3 教例及剖析

3.1 操作數(shù)軸的延展性練習(xí) 在兩種推理互補(bǔ)應(yīng)用中獲得對(duì)小數(shù)概念的新認(rèn)識(shí)

小學(xué)五年級(jí)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課，新授環(huán)節(jié)中，在學(xué)生經(jīng)過(guò)現(xiàn)象、心象，抽象概括出小數(shù)意義后，操作階段如何促使他們推理、發(fā)展新知識(shí)．

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)軸是認(rèn)識(shí)數(shù)的重要工具，它的出現(xiàn)，不僅可以讓學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)識(shí)更加深刻，而且可以使學(xué)生逐步感悟小數(shù)的特征，從而發(fā)展小數(shù)知識(shí)的內(nèi)涵與外延．這里教師可以先設(shè)計(jì)讓學(xué)生運(yùn)用已有的小數(shù)概念，在數(shù)軸上細(xì)分，對(duì)具體的小數(shù)形成深刻理解，再通過(guò)3個(gè)遞進(jìn)層次的推理想象，讓學(xué)生感受小數(shù)的無(wú)窮性，以及去觸摸最小或最大的小數(shù)無(wú)限漸變并接近某一個(gè)極限的知識(shí)．具體如下所示．

首先選擇一個(gè)特定區(qū)間，也是最簡(jiǎn)單的區(qū)間[0, 1]．有了學(xué)生對(duì)小數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)，要求學(xué)生運(yùn)用小數(shù)概念在數(shù)軸上通過(guò)把0和1之間的一段平均分成10份，找到0.1的位置；再通過(guò)把0和0.1之間的一段平均分成10份，找到0.001的位置；繼續(xù)通過(guò)把0和0.001之間的一段平均分成10份，找到0.000?1的位置；通過(guò)直觀位置的對(duì)比，讓學(xué)生清晰地看到，這幾個(gè)小數(shù)中最接近0的小數(shù)是0.000?1，并且在0與0.000?1之間，通過(guò)把這一段再平均分成10份，還可以找出比0.000?1更小的小數(shù)0.000?01；在0和0.000?01之間，還可以推想出比0.000?01更小的小數(shù)……，最小的小數(shù)會(huì)漸近于0．

爾后是通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想，學(xué)生很容易就可以推想出既然在0與1之間，可以找到無(wú)數(shù)個(gè)小數(shù)．同樣，1和2之間、2和3之間也有無(wú)窮多個(gè)小數(shù)，最小的小數(shù)會(huì)漸近于1或2．這樣，通過(guò)觀察、想象和推理，學(xué)生可以知道在每?jī)蓚€(gè)整數(shù)之間都存在著無(wú)窮個(gè)小數(shù)．并且得出“這些小數(shù)是漸漸變小，其中最小的一個(gè)會(huì)接近于某一個(gè)整數(shù)”的新發(fā)現(xiàn)．

進(jìn)一步再往深層次發(fā)展．?dāng)?shù)軸不斷向右延伸，學(xué)生在數(shù)軸上依次找到15.8，25.7，100.9，358.9，8?844.47……在數(shù)軸向右無(wú)限延伸的動(dòng)態(tài)過(guò)程中，學(xué)生不僅看到了小數(shù)變得非常非常大，從而明白小數(shù)其實(shí)并不小，再加上學(xué)生的合理推想，就可以感受到小數(shù)也具有無(wú)窮大的特征，這一新的知識(shí)就是學(xué)生對(duì)小數(shù)概念的發(fā)展．

通過(guò)這樣逐步深入的延展性練習(xí)教學(xué)，讓學(xué)生在運(yùn)用小數(shù)概念去理解某些具體的小數(shù)意義的基礎(chǔ)上，再為他們提供一連串的材料和情境，引導(dǎo)他們合情推理，感受無(wú)限，觸摸極限，并明白數(shù)軸上緊密排列著的每一個(gè)點(diǎn)都可以用不同形式的數(shù)來(lái)表示，這樣就在學(xué)生心中有效地發(fā)展了小數(shù)的內(nèi)涵與外延，為他們的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

這就是“三象一作”中所說(shuō)的，在對(duì)知識(shí)不斷運(yùn)用和不斷認(rèn)知中再提升的階段．也是一個(gè)應(yīng)用了觀察、聯(lián)想、類(lèi)比、猜測(cè)等合情推理的方法與合乎邏輯法則的條件上操作運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法（包括數(shù)軸這樣的數(shù)學(xué)符號(hào)及語(yǔ)言）去處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)理論知識(shí)的過(guò)程．

3.2 操作跳格游戲的延展性練習(xí) 在兩種推理互補(bǔ)應(yīng)用中加深對(duì)列舉法的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)既要生活化，又要不失“數(shù)學(xué)味”．在構(gòu)造練習(xí)的延展性教學(xué)中，情景設(shè)計(jì)非常重要[8]．寓知識(shí)發(fā)展于情境之中，讓學(xué)生在情境中感悟數(shù)學(xué)萌芽、生長(zhǎng)和變化的演繹過(guò)程，有效構(gòu)建知識(shí)體系，提升數(shù)學(xué)能力．如教學(xué)“列舉策略”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第96頁(yè)例2）．學(xué)生通過(guò)解決球賽中的場(chǎng)次等實(shí)際問(wèn)題，建立了列舉策略的模型，為了讓學(xué)生對(duì)列舉策略有更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，教師可以設(shè)計(jì)這樣的延展性練習(xí)：小白兔玩跳格游戲，首先從外面跳到第1格，然后每次可以向前跳1格或2格，那么從格子外跳到第3格有幾種方法（如圖1）？格子數(shù)如果增加到4格呢？進(jìn)而思考：如果格子數(shù)繼續(xù)增加到10、20甚至100呢？

圖1 小白兔跳格游戲示意

展開(kāi)時(shí)，可以運(yùn)用多媒體模擬演示小白兔玩跳格游戲，讓學(xué)生厘清游戲規(guī)則，建立條件要素具象．進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的列舉方法，獲得從外面跳到1、2、3及4格的跳法種數(shù)．這樣的設(shè)計(jì)一改過(guò)去孩子們學(xué)習(xí)的被動(dòng)局面，使他們對(duì)探索規(guī)律產(chǎn)生濃厚興趣，整個(gè)教學(xué)過(guò)程進(jìn)入直覺(jué)與邏輯交融的主旋律中．下面只給出主要結(jié)果，具體教學(xué)過(guò)程略．

從外面跳到1和2，只有1種方法；跳到3可以一格一格跳，還可以從1直接跳到3，因此有2種；進(jìn)而跳到4，有3種（動(dòng)畫(huà)演示，如圖2）．上述列舉的結(jié)果，是學(xué)生在合情推理的基礎(chǔ)上運(yùn)用演繹推理的成果．把這種連線法繼續(xù)有序地往下邊想邊推，還可以找到格子數(shù)是5、6、7……的所有跳法呢．（如圖3）

圖2 跳法種數(shù)示意

圖3 格子數(shù)是5的跳法

如果格子數(shù)繼續(xù)增加到10、20甚至100的時(shí)候，仍然用這種連線法，就會(huì)感到非常麻煩了．那么，這里面有沒(méi)有隱藏著什么規(guī)律，可以找到更簡(jiǎn)便的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？這就要靠人們的智慧了．

歸納一下：跳到第一格有1種方法，跳到第二格也有1種，跳到第3格有2種，跳到第4格有3種，跳到第5格有5種……，列表標(biāo)明方法的數(shù)量（見(jiàn)表1）．

表1 格子數(shù)與方法數(shù)

回憶一下（注：回憶舊知識(shí)也是一種延展）：從表中的方法數(shù)來(lái)看，很像以前學(xué)過(guò)的數(shù)列：1、1、2、3、5、……．

終于發(fā)現(xiàn)、找到規(guī)律：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和．

那么，到底有沒(méi)有一個(gè)公式來(lái)計(jì)算呢？這個(gè)問(wèn)題延展到課后去探索與思考．通過(guò)這套延展性練習(xí)，加深了學(xué)生對(duì)列舉法的認(rèn)識(shí)．

3.3 確定基本形的延展性練習(xí) 在兩種推理互補(bǔ)應(yīng)用中 實(shí)現(xiàn)了5種直線圖形面積公式的綜合建構(gòu)

小學(xué)五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等面積計(jì)算方法的推導(dǎo)及應(yīng)用．在單元知識(shí)整理課上，教師設(shè)計(jì)了以“基本形”（當(dāng)然它的選擇是相對(duì)的）為基礎(chǔ)，溝通5種直線圖形面積公式內(nèi)在聯(lián)系的延展性練習(xí)教學(xué)．

復(fù)習(xí)整理5種圖形面積公式推導(dǎo)過(guò)程，把分散在各節(jié)課中學(xué)習(xí)的相關(guān)直線平面圖形的面積知識(shí)，按照一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行溝通，形成整體，這里的單元格是基本形．（如圖4）

圖4 5種圖形面積公式

圖5 5種圖形面積體系

很顯然，這是學(xué)生在原有知識(shí)與方法的基礎(chǔ)上借助圖形變換進(jìn)行合情推理，此刻已經(jīng)獲得了溝通平面圖形面積之間聯(lián)系的一種新的結(jié)果．

教師再創(chuàng)設(shè)條件與情境，以梯形作為基本形，引導(dǎo)學(xué)生歸納分析直線平面圖形面積公式的共性．首先運(yùn)用課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，將一個(gè)梯形的上底向一端逐漸縮短，一直縮到某個(gè)端點(diǎn)（如圖6），接著讓學(xué)生思考：上底可用什么表示？（0）此時(shí)，梯形變成了什么圖形？（三角形），然后教師用提問(wèn)引發(fā)學(xué)生想象，直線平面圖形之間有著聯(lián)系，那么它們抽象的面積公式之間是否也存在聯(lián)系呢？引導(dǎo)學(xué)生用梯形的面積公式計(jì)算這個(gè)變化得來(lái)的三角形的面積：

這正好是三角形的面積公式．

圖7 梯形變成平行四邊形

接著又演示梯形的上底（假設(shè)<）向一邊逐漸延伸，一直延伸到與下底同樣長(zhǎng)（如圖7），這時(shí)候=，梯形就變成了平行四邊形．這時(shí)要求學(xué)生用梯形面積公式計(jì)算這個(gè)變化來(lái)的平行四邊形面積，從而得到平行四邊形面積公式：

同樣地，再讓學(xué)生根據(jù)圖形動(dòng)態(tài)變化，想象演變成長(zhǎng)方形和正方形（如圖8、圖9），再用梯形面積公式推出長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式：

圖9 梯形就變成正方形

這樣的延展性練習(xí)教學(xué)，教師通過(guò)演示，引導(dǎo)學(xué)生想象，不僅發(fā)現(xiàn)5種直線平面圖形之間的聯(lián)系，而且抽象的直線平面圖形面積計(jì)算公式之間也有著聯(lián)系，這里可用梯形面積公式來(lái)統(tǒng)整，這樣的操作，把知識(shí)串線連片，結(jié)成了網(wǎng)絡(luò)，從而讓學(xué)生獲得直線平面圖形面積計(jì)算內(nèi)在邏輯的全新知識(shí)．

【效果分析】通過(guò)諸如上述這些具有可操作性的延展性練習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐，老師堅(jiān)持把數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的語(yǔ)言傳遞、直接感知、實(shí)際訓(xùn)練、引導(dǎo)探究、活動(dòng)欣賞等幾種常用方法融成了一體．學(xué)生在兩種推理交互作用中發(fā)展了數(shù)學(xué)新知識(shí)．為此，還專(zhuān)門(mén)請(qǐng)了有關(guān)研究人員對(duì)“中學(xué)生一般能力傾向測(cè)驗(yàn)”中的“數(shù)學(xué)推理”這個(gè)項(xiàng)目作修改，把它改造成適合于小學(xué)生的測(cè)量工具，運(yùn)用它對(duì)實(shí)施一年后的實(shí)驗(yàn)班學(xué)生進(jìn)行測(cè)試．在方差齊性的前提下，對(duì)平均數(shù)差數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果表明：小學(xué)生在數(shù)學(xué)推理這個(gè)項(xiàng)目上，均極其顯著或顯著優(yōu)于實(shí)驗(yàn)初的水平（已考慮相關(guān)系數(shù)和系統(tǒng)誤差），如表2所示．學(xué)生在空間想象能力和計(jì)算能力方面的測(cè)量有待于進(jìn)一步研究，不同年齡段的學(xué)生需要使用不同的測(cè)試工具和方法，因此打算先進(jìn)行“設(shè)計(jì)研究”[10]．另外非智力因素對(duì)人的發(fā)展格外重要，更應(yīng)該重視學(xué)生非智力因素方面的培養(yǎng)與提高．延展性練習(xí)教學(xué)也有助于學(xué)生非智力因素方面的建設(shè)．學(xué)生的意志、信念、合作精神等非智力因素都有所改變；反之，非智力因素的培養(yǎng)與提高對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的提高也有著積極的促進(jìn)作用．它們都是相輔相成的．只要編制適當(dāng)?shù)牧勘恚€可以探究它們的相關(guān)度，即相關(guān)系數(shù)，求出非智力因素與智力因素這兩個(gè)變量之間的回歸方程，有興趣的讀者盡可參見(jiàn)“大中小學(xué)班集體建設(shè)的人機(jī)模型和統(tǒng)計(jì)分析”[11-12]．

4 延展性練習(xí)教學(xué)中兩種推理交互作用的進(jìn)一步詮釋和關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)終極目標(biāo)的一點(diǎn)思考

延展性練習(xí)教學(xué)的目的是要高標(biāo)準(zhǔn)地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．當(dāng)然其過(guò)程是逐步實(shí)現(xiàn)的，不能一蹴而就．需要反復(fù)進(jìn)行訓(xùn)練，延展與鍛造．俗話(huà)說(shuō)數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教育的目的是要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地進(jìn)行思維”即數(shù)學(xué)推理，用數(shù)學(xué)的思想方法去考慮和處理問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)推理主要有兩種，所謂的合情推理與演繹推理，前者也叫似真推理，后者可叫邏輯推理．

數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展依賴(lài)的就是邏輯推理．愛(ài)因斯坦認(rèn)為：“適用于科學(xué)幼年時(shí)代以歸納為主的方法，正讓位于探索性的演繹法．”[9]探索性的演繹法應(yīng)該全面地理解為歸納基礎(chǔ)上的演繹，數(shù)學(xué)的理解鏈?zhǔn)牵骸爸庇X(jué)—嘗試—出錯(cuò)—推測(cè)—猜想—證明．”其中的推測(cè)和猜想是合情推理的過(guò)程．而證明則是對(duì)推理的檢驗(yàn)和論證．如果發(fā)現(xiàn)矛盾，則要重新提出猜想．可見(jiàn)，合情推理與演繹推理是數(shù)學(xué)鏈條中不可缺少的環(huán)節(jié)．演繹推理的特征是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，合情推理的特征是想象豐富，相互之間并不矛盾．相反，它們互相補(bǔ)充．直覺(jué)具有洞察力．萊布尼茨說(shuō)過(guò)，人們依靠直覺(jué)洞察力，“往往一眼就能看出我們靠推論的力量在花費(fèi)了許多時(shí)間精力以后才能找出的東西”．然而，這種直覺(jué)洞察力要以邏輯分析為“前奏”，又要以邏輯推理來(lái)“補(bǔ)臺(tái)”．過(guò)分強(qiáng)調(diào)直覺(jué)在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，而低估邏輯發(fā)現(xiàn)的力量是一種短視的見(jiàn)解．直覺(jué)問(wèn)題很復(fù)雜，直覺(jué)中有理性因素，也有非理性因素；有邏輯因素，也有非邏輯因素；要看到它們的辯證統(tǒng)一．將直覺(jué)看成是一個(gè)純粹的邏輯問(wèn)題，顯然是不妥的；但是，將直覺(jué)看成是一個(gè)純粹非邏輯的心理因素，那也是不妥的．

徐利治先生把直覺(jué)與邏輯比喻為“眼睛和雙腿”，他說(shuō)：“從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究如同人在迷霧中摸索前進(jìn)那樣，需要用眼睛辨別方向，用雙腿邁向目的地．直覺(jué)好比眼睛，起向?qū)бI(lǐng)作用．邏輯就是雙腿，沒(méi)有邏輯不可能達(dá)到目的地．”總之，直覺(jué)思維運(yùn)籌帷幄，邏輯思維循規(guī)蹈矩，在數(shù)學(xué)的思維過(guò)程中兩者交相輝映[13]．因此，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該既要重視合情推理，又要重視演繹推理．兩者不可偏廢．要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過(guò)程，即發(fā)展學(xué)生合情推理能力與邏輯推理能力交融的數(shù)學(xué)綜合思維能力．

數(shù)學(xué)思維到了一定境界，思考和解決問(wèn)題往往不是用公式和數(shù)字來(lái)運(yùn)算，而是用思想來(lái)運(yùn)算．這就是所謂的“用數(shù)學(xué)的思維想問(wèn)題”．正是文獻(xiàn)[2]所指出的那樣，在赫爾巴特那里，教學(xué)總是使兩方面日臻完善——人的智力與道德．它是教學(xué)也應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)．王梓坤院士在“今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”一文中指出：“數(shù)學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗鸵唤z不茍的計(jì)算，使得每一數(shù)學(xué)結(jié)論不可動(dòng)搖．這種思想方法不僅培養(yǎng)了數(shù)學(xué)家，也有助于提高全國(guó)人民的科學(xué)文化素質(zhì)．它是人類(lèi)巨大的精神財(cái)富．”[14]而教師通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維想問(wèn)題的習(xí)慣，達(dá)到上述終極目標(biāo)也就不遠(yuǎn)了．在本質(zhì)上，這樣的目標(biāo)不是教師短時(shí)間內(nèi)“教”出來(lái)的，而是學(xué)生悟出來(lái)的，是長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)的積累，是在一系列教學(xué)過(guò)程中慢慢形成的．《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把推理能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，認(rèn)為“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中”，并在“數(shù)學(xué)思考”的課程目標(biāo)中明確要求：在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法．明確指出發(fā)展合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中是密切聯(lián)系、相輔相成的．所以在教學(xué)中要根據(jù)不同階段和不同知識(shí)內(nèi)容，去探索如何優(yōu)化組合，互補(bǔ)應(yīng)用，發(fā)揮其在認(rèn)知發(fā)展中的最大效益．教師在設(shè)想過(guò)程性目標(biāo)時(shí)，不僅要說(shuō)“經(jīng)歷什么”“探究什么”，還應(yīng)該明確“得到什么”．教師備課不應(yīng)局限于某一堂課，而應(yīng)該把相對(duì)成邏輯體系的知識(shí)整合在一起，思考通過(guò)這些課程怎樣將學(xué)生自如地應(yīng)用兩種推理思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力培養(yǎng)，落實(shí)到常態(tài)的教學(xué)中．只有這樣，讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維去想問(wèn)題的習(xí)慣，才算是把開(kāi)啟數(shù)學(xué)知識(shí)大門(mén)的鑰匙交給了學(xué)生．如果沒(méi)有達(dá)成這一目標(biāo)，那么不算是獲得成功的教學(xué)．

【研究結(jié)論與討論】人們把物質(zhì)的延展性這一物理屬性擬人化（指人的可塑性），老師抓住幾個(gè)典型案例，首先從學(xué)生感悟小數(shù)的特征建立數(shù)感[15]開(kāi)始；接著操作跳格游戲，讓學(xué)生在情境中感悟數(shù)學(xué)的演繹過(guò)程，構(gòu)建知識(shí)體系提升數(shù)學(xué)能力；最后教師引導(dǎo)學(xué)生共同演示直線平面圖形面積計(jì)算公式之間的聯(lián)系，把知識(shí)串線連片結(jié)成了網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了5種直線圖形面積公式的綜合建構(gòu)，從而讓學(xué)生獲得了面積計(jì)算內(nèi)在邏輯的全新知識(shí)．實(shí)踐證明數(shù)學(xué)課堂的延展性教學(xué)這種教學(xué)方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是可行的、有效的．通過(guò)延展性數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行延伸與拓展，推廣、擴(kuò)充和遷移數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，獲得廣闊的思維空間，找到新的方法與觀點(diǎn)，更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)新知識(shí)．尤其是把延展性教學(xué)與“三象一作”的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程結(jié)合起來(lái)，重在可操作性，把數(shù)學(xué)教學(xué)變得有血有肉，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化、具體化，數(shù)學(xué)已不再是一些數(shù)字和符號(hào)的堆砌，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性，在“直覺(jué)—嘗試—出錯(cuò)—推測(cè)—猜想—證明”等一些數(shù)學(xué)的理解鏈上，為學(xué)生在今后能自如地應(yīng)用合情推理和演繹推理這兩種思維模式打好基礎(chǔ)．

討論：實(shí)際上，延展性數(shù)學(xué)教學(xué)與優(yōu)智教育方案在下列幾個(gè)方面是接軌的．它意味著課堂教學(xué)內(nèi)容在深度和廣度上的拓展，它實(shí)質(zhì)上要提供給學(xué)生一個(gè)比正常課程內(nèi)容層次更高的課程知識(shí)，它將給予學(xué)生更復(fù)雜的信息，涵蓋更密集的材料，對(duì)學(xué)生具有更大的挑戰(zhàn)性．它強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系，上位知識(shí)和下位知識(shí)、新舊知識(shí)、課堂知識(shí)與生活實(shí)踐知識(shí)之間的聯(lián)系，重視對(duì)呈現(xiàn)效果的檢測(cè)與反饋．這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)典型事例激發(fā)學(xué)生的機(jī)智，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的優(yōu)化，提升認(rèn)知水平與層次，為提高學(xué)生高層次數(shù)學(xué)認(rèn)知能力打好小學(xué)基礎(chǔ)．

從上看到，研究與實(shí)踐在具操作過(guò)程中盡管也重視了數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性和學(xué)生認(rèn)識(shí)過(guò)程的層次性，也是由淺入深，由易到難，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，尤其是與數(shù)學(xué)的認(rèn)知過(guò)程，與元認(rèn)知理論，與情感度相融通．但在某種意義上說(shuō)，它還應(yīng)該考慮到不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)識(shí)方式的差異，必須為學(xué)生呈現(xiàn)多樣化策略的應(yīng)用與選擇．因此有專(zhuān)家建議，如果“在延展性數(shù)學(xué)練習(xí)的界定或理論化過(guò)程中，能夠增強(qiáng)與相關(guān)理論體系（例如數(shù)學(xué)習(xí)題的層次水平）的關(guān)聯(lián)和比較”，那么就能使這種研究與實(shí)踐“更具開(kāi)放性和推廣性”．因此，研究者今后將在延展性練習(xí)教學(xué)的數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)上進(jìn)一步下功夫．還可以把它與數(shù)學(xué)問(wèn)題和習(xí)題教學(xué)中的變式訓(xùn)練等結(jié)合起來(lái)．一線數(shù)學(xué)教師為此創(chuàng)造了許多有效的理論與方法．例如，從模仿型基礎(chǔ)訓(xùn)練，到拓展型變式訓(xùn)練，再到遷移型創(chuàng)新訓(xùn)練，等等[16]．總之，既關(guān)注教材，更關(guān)注學(xué)生，也就是傳統(tǒng)教學(xué)中所說(shuō)的“備兩頭”．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)的關(guān)鍵是教學(xué)設(shè)計(jì)，只要首先抓緊和進(jìn)一步完善這個(gè)重要環(huán)節(jié)，那么延展性練習(xí)教學(xué)必將別開(kāi)生面．

致謝：無(wú)錫市大橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)楊錫偉先生審閱了文稿并給出了有關(guān)圖表，誠(chéng)致謝意！

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To Manipulate the Exercise Teaching of Ductility and Malleability: Developing New Mathematical Knowledge in the Interaction of Two Kinds of Reasoning

GU Li-ying1, DENG De-wei2

(1. Wuxi Xinzhou Primary School, Jiangsu Wuxi 214112, China;2. Hongze Experimental Primary School of Huai’an City, Jiangsu Huai’an 223100, China)

Under the condition that the macro background and educational environment remain relatively unchanged, improving teaching methods is the fundamental measure to improve teaching quality.Various teaching methods emerge in an endless stream, and their types and definitions are more specific, more precise, and more professional. Ductility teaching is one of them.Ductility is a physical property derived from matter, which refers to the degree to which it can be tempered and calendared. Here, it is used in mathematics teaching to temper a person’s mathematical quality and ability, so as to improve students’ mathematics competencies to a high standard. After reviewing and analyzing the characteristics and models of this teaching method, it was incorporated into the “three images and one work” mathematical cognitive process of cognitive psychology and pedagogy research. This ductility and malleability teaching practice was carried out by Wuxi Xinzhou Primary School and other schools. Teachers carefully design the teaching process, through some typical teaching examples, integrate several common methods such as “l(fā)anguage transmission, direct perception, practical training, guided inquiry, and activity appreciation”, extend the interaction between plausible reasoning and deductive reasoning, expand mathematical thinking activities, and develop mathematical knowledge. Through statistical analysis, students’ mathematical reasoning ability has been significantly improved. Practice has confirmed that the teaching method of extension teaching in mathematics classroom is feasible and effective in primary school mathematics teaching.The direction of its efforts is: in view of the differences in the cognitive basis and cognitive methods of different students, the teaching design must also provide and present the application and selection of diverse strategies for students. In the process of further interpretation of ductility teaching, some thoughts are also made on the ultimate goal of mathematics teaching.

the process cognitive psychology (“three images and one work”); teaching of ductility and malleability; the plausible reasoning ability; logical reasoning ability; ultimate goal

2022–01–20

江蘇省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目——發(fā)生認(rèn)識(shí)論與數(shù)學(xué)的抽象度分析法（C-c/2001/02/007）；江蘇省教學(xué)研究“十三五”立項(xiàng)課題——基于ELLI框架的多元文化背景下兒童學(xué)習(xí)力培養(yǎng)研究（2019JK13-L038）

顧麗英（1974—），女，江蘇無(wú)錫人，高級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究．

G447

A

1004–9894（2022）03–0050–06

顧麗英，鄧德?。僮餮诱剐跃毩?xí)教學(xué)——在兩種推理交互作用中發(fā)展數(shù)學(xué)新知識(shí)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（3）：50-55．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]