劉 杰，韓繼偉，高 夯

由描述性到形式化：中學(xué)函數(shù)定義的發(fā)展及其價(jià)值

劉 杰，韓繼偉，高 夯

（東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

函數(shù)概念是貫穿于初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線之一，兩學(xué)段教材中函數(shù)概念的定義內(nèi)容發(fā)生了本質(zhì)的變化．在對(duì)初、高中數(shù)學(xué)教材中的函數(shù)定義內(nèi)容的異同點(diǎn)進(jìn)行比較的基礎(chǔ)上，分析了從初中函數(shù)概念到高中函數(shù)概念發(fā)展的學(xué)科價(jià)值和教育價(jià)值，以及中學(xué)數(shù)學(xué)教材處理函數(shù)概念的合理性，并提出當(dāng)前教材在兩個(gè)函數(shù)的相等和大小問題上仍存在值得討論的問題．

函數(shù)概念；對(duì)應(yīng)關(guān)系；教材分析；中學(xué)數(shù)學(xué)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心概念之一，更是貫穿初、高中數(shù)學(xué)的一條重要主線，但由于其內(nèi)容的高度抽象性和復(fù)雜性，函數(shù)概念常常被視為中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教和最難學(xué)的概念之一[1]．

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中少有的在初、高中階段均給出明確定義的數(shù)學(xué)概念，但對(duì)比兩個(gè)學(xué)段教材中給出的定義，將不難發(fā)現(xiàn)兩者之間存在著本質(zhì)的不同，函數(shù)概念的定義由初中到高中的發(fā)展經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象水平不斷加深的過(guò)程[2]．但在實(shí)際教學(xué)中，兩個(gè)定義的差異似乎并未引起廣大師生的注意，例如有研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)問及高中生函數(shù)概念的定義時(shí)，被試學(xué)生給出的各種答案中占比最多的仍是初中階段學(xué)習(xí)的定義內(nèi)容[3]；當(dāng)問及教師初、高中教材中的兩個(gè)函數(shù)定義的區(qū)別時(shí)，受訪教師中竟有很大一部分高中教師無(wú)法說(shuō)清兩個(gè)定義的本質(zhì)區(qū)別是什么[4]．由此可見為實(shí)現(xiàn)初、高中函數(shù)概念教與學(xué)的有效銜接，將十分有必要對(duì)中學(xué)函數(shù)概念的發(fā)展問題做出澄清．

盡管當(dāng)前有關(guān)函數(shù)概念的歷史演變、教材設(shè)計(jì)、概念教學(xué)以及學(xué)生認(rèn)知水平等方面多有研究[5–9]，也有研究者就初、高中函數(shù)知識(shí)的教學(xué)銜接問題展開了討論[2]，但針對(duì)初、高中函數(shù)概念定義內(nèi)容的發(fā)展問題的分析卻少有涉及．因此，這里以人教版初中和高中數(shù)學(xué)教材為例，分析初、高中函數(shù)定義的發(fā)展特征以及函數(shù)定義發(fā)展的學(xué)科價(jià)值和教育價(jià)值，并對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容的處理展開進(jìn)一步的討論，為中學(xué)函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)提供借鑒．

1 中學(xué)函數(shù)定義的發(fā)展

由初、高中函數(shù)概念的定義內(nèi)容可見，中學(xué)函數(shù)定義的發(fā)展既有階段性也有連續(xù)性，階段性表現(xiàn)在函數(shù)定義的發(fā)展經(jīng)歷了初中的描述性定義和高中的形式化定義兩個(gè)階段．連續(xù)性則表現(xiàn)在函數(shù)概念的描述性定義是形式化定義的基礎(chǔ)，從初中到高中，函數(shù)定義的抽象水平不斷加深．下面以人教版教材（由于中國(guó)的教材編制采取“一綱多本”的原則，目前使用的版本數(shù)量較多，但整體而言人教版、北師大版等版本的適用范圍較廣[10]，因此選擇適用范圍最廣的人教版數(shù)學(xué)教材為例進(jìn)行分析）中所呈現(xiàn)的內(nèi)容為例，來(lái)分析初、高中函數(shù)概念的發(fā)展．教材中有關(guān)函數(shù)概念的定義被安排在初中的八年級(jí)下冊(cè)和高中的數(shù)學(xué)必修1（A版）．

1.1 函數(shù)的描述性定義

直觀的自然語(yǔ)言表示、符號(hào)語(yǔ)言表示和公理化語(yǔ)言表示是中學(xué)數(shù)學(xué)概念的3種表示方式[11]，而用簡(jiǎn)明、直觀的自然語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行描述的定義方式可稱為數(shù)學(xué)概念的描述性定義．

人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材中給出的函數(shù)概念的定義如下：

函數(shù)概念的本質(zhì)屬性是元素與元素之間的對(duì)應(yīng)[12]，這個(gè)定義用簡(jiǎn)單清晰的自然語(yǔ)言直觀地描述出了函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，因此可將初中教材中給出的函數(shù)概念的定義視為函數(shù)的描述性定義．

1.2 函數(shù)的形式化定義

中學(xué)數(shù)學(xué)的形式化主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用[11]，相應(yīng)地，數(shù)學(xué)概念的形式化主要表現(xiàn)為對(duì)概念結(jié)構(gòu)的符號(hào)表達(dá)．而用符號(hào)化語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行描述的定義方式可稱為數(shù)學(xué)概念的形式化定義．

人教版高中數(shù)學(xué)必修1（A版）數(shù)學(xué)教材中給出的函數(shù)概念的定義如下：

這個(gè)定義抽象出了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并用符號(hào)化的語(yǔ)言對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行定義，因此可將高中教材中給出的函數(shù)概念的定義視為函數(shù)的形式化定義．

1.3 描述性定義與形式化定義的區(qū)別

由定義內(nèi)容來(lái)看，初中的描述性定義是基于變量的依賴關(guān)系，定義內(nèi)容強(qiáng)調(diào)的是用函數(shù)描述一個(gè)變化過(guò)程[13]．而高中的形式化定義則是基于集合間的對(duì)應(yīng)，定義內(nèi)容強(qiáng)調(diào)的是用函數(shù)描述一種對(duì)應(yīng)關(guān)系或者是一個(gè)變化結(jié)果．

為使表達(dá)簡(jiǎn)潔方便，下文將初中教材給出的函數(shù)概念描述性定義和高中教材給出的函數(shù)概念形式化定義分別簡(jiǎn)稱為定義1和定義2．

2 函數(shù)由描述性定義到形式化定義的學(xué)科價(jià)值

2.1 形式化定義嚴(yán)格刻畫了函數(shù)的性質(zhì)

表1 初中和高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)單調(diào)性描述

因此高中函數(shù)單調(diào)性的描述是基于推理和運(yùn)算的，使定義1意義下的性質(zhì)描述所產(chǎn)生的問題得以克服．?dāng)?shù)學(xué)教材中的函數(shù)概念由定義1向定義2的發(fā)展，使函數(shù)的性質(zhì)得以嚴(yán)格的形式化表達(dá)，這是后續(xù)數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)．

2.2 形式化定義擴(kuò)充了函數(shù)研究的范圍

2.3 形式化定義改變了函數(shù)研究的方法

函數(shù)概念由定義1向定義2的發(fā)展不僅擴(kuò)大了函數(shù)研究的范圍，函數(shù)研究的方法也得以拓展．初中研究函數(shù)的方法只能通過(guò)“描點(diǎn)作圖”先畫出函數(shù)圖象再根據(jù)圖象進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的分析，而高中對(duì)函數(shù)的研究不再局限于根據(jù)圖象分析性質(zhì)這一條研究路徑，還可以先分析函數(shù)的性質(zhì)再借助性質(zhì)分析圖象，或者性質(zhì)與圖象交互分析．

表2 高中數(shù)學(xué)教材中研究三角函數(shù)的方法

3 函數(shù)由描述性定義到形式化定義的教育價(jià)值

3.1 形式化定義有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力

抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維基礎(chǔ)，幾乎所有學(xué)科都離不開抽象，但抽象的價(jià)值在數(shù)學(xué)中表現(xiàn)得尤為淋漓盡致．抽象是個(gè)體在心理層面上從特定角度構(gòu)建對(duì)象之間關(guān)系的過(guò)程[14]，學(xué)生的抽象能力與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)存在密切的聯(lián)系[15]，精通數(shù)學(xué)的學(xué)生必須具備較高的抽象能力，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是提高學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)和發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要舉措．

3.2 形式化定義有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要表現(xiàn)形式，通過(guò)數(shù)學(xué)模型使現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)這兩個(gè)不同的世界得以關(guān)聯(lián)[13]．所謂建模簡(jiǎn)而言之就是用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)由現(xiàn)實(shí)進(jìn)入到數(shù)學(xué)最終再回到現(xiàn)實(shí)的過(guò)程．經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程能夠讓學(xué)生體會(huì)如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，如何用數(shù)學(xué)的思維思考世界以及如何用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[17]，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一．盡管在不同研究中數(shù)學(xué)建模被賦予不同內(nèi)涵，但無(wú)論是在建模過(guò)程的“四階段”“五階段”還是“七階段”劃分中[18]，建立數(shù)學(xué)模型始終是建模活動(dòng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其本質(zhì)特征便是從復(fù)雜的問題情境中抽取出相關(guān)變量并建立起變量間的函數(shù)關(guān)系．

3.3 形式化定義有利于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

4 討論

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是數(shù)學(xué)知識(shí)與思維相融合的結(jié)果[22]，有關(guān)初、高中數(shù)學(xué)教材對(duì)函數(shù)定義的設(shè)置問題，在初中教材中給出描述性定義的基礎(chǔ)上在高中階段進(jìn)一步給出抽象水平更高的形式化定義，無(wú)論在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)還是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育上均具有重要意義．但不可否認(rèn)的是，現(xiàn)行教材在函數(shù)概念的處理上仍存在幾點(diǎn)值得進(jìn)一步討論與思考的地方．

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From Descriptive to Formal: The Development of Middle Schools’ Function Definition and Its Value

LIU Jie, HAN Ji-wei, GAO Hang

(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

Function concept is one of the main lines running through the mathematics teaching in middle and high schools. The definition of function concept in the textbooks for the two levels of schooling has undergone essential changes. On the basis of comparing the similarities and differences of the function concept’s definition in mathematics textbooks for middle and high schools, this paper analyzes the subject value and educational value of function concept’s development from middle schools to high schools and presents the rationality of processing function concept in mathematics textbooks for middle and high schools. This study also points out that there are still some problems worth discussing in the current textbooks on the equality and magnitude of the two functions.

function concept; corresponding relationship; textbook analysis; middle school mathematics

2022–02–13

2021 年度吉林省社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目——教師評(píng)價(jià)素養(yǎng)的發(fā)展研究（2021B152）

劉杰（1992—），女，山東日照人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

G632

A

1004–9894（2022）03–0001–05

劉杰，韓繼偉，高夯．由描述性到形式化：中學(xué)函數(shù)定義的發(fā)展及其價(jià)值[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（3）：1-5．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]