李亞瓊，潘禹辰，徐文彬，錢詣文，張海燕

高考概率與統(tǒng)計試題的統(tǒng)計與分析——以2021年全國課標(biāo)卷為例

李亞瓊1，潘禹辰1，徐文彬1，錢詣文2，張海燕3

（1．南京師范大學(xué) 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210079；2．南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023；3．赤峰學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

基于2021年6套課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計試題的統(tǒng)計與分析，從情境設(shè)置、知識考查、統(tǒng)計素養(yǎng)、綜合難度4個維度進行定量和定性分析，研究發(fā)現(xiàn)：試題強調(diào)問題情境的創(chuàng)新融合，關(guān)注基礎(chǔ)知識的變式考查，滲透統(tǒng)計素養(yǎng)的應(yīng)用考查，凸顯了概率統(tǒng)計的綜合考查．具體表現(xiàn)為，注重由實際問題抽象出統(tǒng)計概念，并能用統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析，以此進行統(tǒng)計判斷；運用概率統(tǒng)計的視角去分析問題、構(gòu)建模型、計算結(jié)果及依據(jù)結(jié)果提出決策，凸顯運用統(tǒng)計思維解決問題的能力．結(jié)合全國課標(biāo)卷概率統(tǒng)計試題特點，基于高考對教學(xué)的導(dǎo)向作用，概率統(tǒng)計專題教學(xué)需要重視：關(guān)注新舊課標(biāo)的變化，落實知識整體；兼顧情境設(shè)計與概念理解，適應(yīng)趨勢要求；優(yōu)化概率與統(tǒng)計教學(xué)，提升學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)．

全國課標(biāo)卷；概率統(tǒng)計；綜合難度；統(tǒng)計素養(yǎng)；統(tǒng)計與分析

1 問題提出

傳統(tǒng)概率統(tǒng)計教學(xué)中，往往重視概率統(tǒng)計的科學(xué)工具性價值，而忽視其文化內(nèi)涵與育人功能[1]．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱2017新課標(biāo)）將“數(shù)據(jù)分析”作為高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中培養(yǎng)學(xué)生所必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，這既凸顯高中課程中概率統(tǒng)計內(nèi)容的教學(xué)價值，也是對概率統(tǒng)計的育人價值提出更高的要求．高考實行不分文理科的改革后，數(shù)學(xué)科考試中概率統(tǒng)計的定位、考查內(nèi)容和形式以及考生群體和水平隨之發(fā)生變化，所以研究概率統(tǒng)計試題、試卷結(jié)構(gòu)和難度要求等[2]對教學(xué)有較大的價值．結(jié)合試題研究回歸課標(biāo)要求、落實教學(xué)目標(biāo)、開展有效教學(xué)[3]，發(fā)揮新高考數(shù)學(xué)科新要求對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到積極導(dǎo)向作用．

已有研究基于2011—2020年10年全國卷，從考查總分、考查知識、試題特點和命題導(dǎo)向4個方面對概率統(tǒng)計試題特點進行了統(tǒng)計與分析[4]．這里將在前面研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合2021年新課標(biāo)I、新課標(biāo)II卷、全國甲卷（文、理）、全國乙卷（文、理）共6套試卷，繼續(xù)對概率與統(tǒng)計部分進行統(tǒng)計分析，試圖梳理出2021年課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計試題的特點，在回應(yīng)前面研究的基礎(chǔ)上，批判性地再分析教學(xué)啟示部分．

2 分析維度

采用定性與定量研究相結(jié)合的研究方法，分別從情境設(shè)置、知識考查、統(tǒng)計素養(yǎng)、綜合難度4個維度[5]對試題進行統(tǒng)計分析，以期分析概率與統(tǒng)計試題的命題特點．

2.1 情境設(shè)置

新課標(biāo)在劃分學(xué)業(yè)質(zhì)量水平時，第一個考慮了“情境與問題”，可見對數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查需要在一定情境中進行[6]．通過對2021年課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計試題的研究發(fā)現(xiàn)：試題重視情境創(chuàng)設(shè)和問題提出，這與新課標(biāo)的要求相契合，也是接下來需要繼續(xù)關(guān)注的地方．依據(jù)2017年新課標(biāo)中對情境的維度劃分（科學(xué)情境、數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實情境）[7]進行問題情境設(shè)置的統(tǒng)計與分析．

2.2 知識考查

對概率與統(tǒng)計知識的梳理有利于把握核心知識，明確考查方向．基于2019年高考考試大綱及2017新課標(biāo)對概率與統(tǒng)計知識進行整理和歸納，將概率統(tǒng)計知識分為8個一級知識和22個二級知識，并對其進行編碼[5]（具體內(nèi)容見表1）．如B3指的是考查樣本估計總體中的用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體，G4指的是考查隨機變量中的正態(tài)分布．

2.3 統(tǒng)計素養(yǎng)

何為統(tǒng)計素養(yǎng)？李金昌教授認(rèn)為，統(tǒng)計素養(yǎng)就是人們掌握統(tǒng)計基本知識的程度、統(tǒng)計理論方法的水平及運用統(tǒng)計方法解決現(xiàn)實問題的能力，包含統(tǒng)計知識、統(tǒng)計方法、統(tǒng)計思維等[8]．統(tǒng)計素養(yǎng)的內(nèi)涵不僅包含由統(tǒng)計知識、統(tǒng)計觀念等知識技能；還包括統(tǒng)計判斷、統(tǒng)計推斷等統(tǒng)計思維；也還包含對概率的要求，統(tǒng)計素養(yǎng)的形成具有層次性．Gal對統(tǒng)計素養(yǎng)的界定是：（1）解釋和批判性地評估在不同背景下可能遇到的相關(guān)統(tǒng)計信息、有關(guān)數(shù)據(jù)的論證或隨機現(xiàn)象的能力；（2）討論或傳達對此類統(tǒng)計信息的反應(yīng)能力，例如他們對信息的理解、對信息含義的看法，或是對給定結(jié)論的可接受性關(guān)注[9]．Watson提出統(tǒng)計素養(yǎng)的3層次結(jié)構(gòu)：理解基本的統(tǒng)計術(shù)語；理解出現(xiàn)在社會背景中的術(shù)語；能夠質(zhì)疑在脫離適當(dāng)統(tǒng)計論證的背景下提出的主張[10]．

表1 概率與統(tǒng)計知識考查編碼

基于表2[11]對2021年課標(biāo)卷中概率統(tǒng)計試題側(cè)重考查的統(tǒng)計素養(yǎng)進行分析．其中，表2中S1和S2對應(yīng)“理解用于統(tǒng)計決策的術(shù)語”，S3和S4對應(yīng)“解釋在背景中呈現(xiàn)的術(shù)語”，S5和S6對應(yīng)“質(zhì)疑在脫離適當(dāng)統(tǒng)計基礎(chǔ)的背景中的陳述”．

表2 統(tǒng)計素養(yǎng)水平劃分

2.4 綜合難度

高考試題難度是試卷評價的重要特點之一，對于試題難度的分析，較多學(xué)者采用鮑建生綜合難度模型，該模型包含“探究”“背景”“運算”“推理”“知識含量”5個難度影響因素[12]．在標(biāo)準(zhǔn)化測試中該模型應(yīng)用效果需要改善，因此武小鵬和孔企平（2020）在此基礎(chǔ)上進行了改進，增加“是否含參”“思維方向”兩個維度，鑒于評級模型維度的合理性和全面性，采用武小鵬和孔企平構(gòu)建的綜合難度模型對2021年課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計試題難度進行分析評估[13]．由于原模型是分析整套試卷的，基于此進行調(diào)整并應(yīng)用于分析某道題的難度系數(shù)（具體詳見表3）．

表3 難度因素等級劃分

注：記第個因素第個等級為，n為第個等級的權(quán)重，分別取1、2、3、4．則該題的等級難度系數(shù)為：

3 試題特點分析

2021年6套全國課標(biāo)卷共考查16道概率與統(tǒng)計試題（文理卷中題目相同均重復(fù)計算），基于表3的分析框架，梳理出每道題的綜合難度系數(shù)（具體詳見表4）．總體來說（從表4中可以看出），概率統(tǒng)計考查題量為選填題考查1—2題（2021年課標(biāo)卷中填空題均未考查概率統(tǒng)計），解答題考查1題，基本處于中檔題．除了新高考I卷概率統(tǒng)計選擇題處在第8題（即單選最后一題），新高考II卷中概率統(tǒng)計解答題在21題（處于解答題壓軸題），其余4套試卷中概率統(tǒng)計試題處于選填題（新高考I、II卷中，1—8題為單選，9—12題為多選）中檔位置，解答題位于17題或18題．總體來說，概率與統(tǒng)計試題情境設(shè)置綜合，試題難度適中，試題總體具有“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的特點．

3.1 基于情境的創(chuàng)新融合 關(guān)注基礎(chǔ)知識的變式考查

這里分析的6套試卷16道概率統(tǒng)計題（由表4知）中，生活情境考查10次，科學(xué)情境考查2次，數(shù)學(xué)情境考查4次．可以看出選填題及解答題以生活情境為背景較多，主要考查學(xué)生能將現(xiàn)實背景抽象為統(tǒng)計語言，基于此去分析問題和解決問題，這也充分體現(xiàn)了概率統(tǒng)計與現(xiàn)實緊密相關(guān)．在大數(shù)據(jù)時代背景下，概率與統(tǒng)計的理論與應(yīng)用研究更有價值．如，新高考I卷第18題以“一帶一路知識競賽”為情境，重視考查離散型隨機變量分布列及期望，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及統(tǒng)計判斷的能力．新高考II卷第21題取材于微生物繁殖的問題情境，體現(xiàn)概率與統(tǒng)計在生命科學(xué)中的應(yīng)用．該試題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)，重點考查學(xué)生概率、數(shù)列、函數(shù)與方程等知識的綜合應(yīng)用能力，體現(xiàn)概率統(tǒng)計試題重視問題情境的創(chuàng)新考查，凸顯試題具有“綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的特點．

同時，全國卷對概率統(tǒng)計的考查重基礎(chǔ)知識、基本經(jīng)驗、基本技能及基本方法．從知識維度來看（詳見表1和表4），概率與統(tǒng)計選填題一般只考查1～2個知識點，考查要求都以概念理解及簡單應(yīng)用為主，部分題目融入了函數(shù)、不等式、幾何等知識點．比如2021年乙卷理科第8題利用線性規(guī)劃的知識建立圖形，再考查幾何概型的簡單運用．概率與統(tǒng)計解答題一般考查2個知識點及以上，對學(xué)生的應(yīng)用和分析能力要求較高．高頻考查知識點一般集中于隨機變量和統(tǒng)計分析，偏重于考查學(xué)生在復(fù)雜情境中的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力．

表4 2021年課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計試題（選填題及解答題）統(tǒng)計

試題基本貼近高中生的知識水平和生活體驗，在基本知識上推陳出新，體現(xiàn)命題源于基礎(chǔ)而又高于基礎(chǔ)的特點．比如，2021年新高考I卷第8題以有放回摸球為背景考查隨機事件的獨立性，該題在命題設(shè)置上雖屬于單選題最后一題，但試題難度適中．新高考II卷第6題以某物理量為背景考查正態(tài)分布基本概念的理解，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的靈活運用．2021年乙卷理科第6題以“冬季奧運會”為背景考查計數(shù)原理，2021年新高考I卷第18題以知識競賽為素材考查離散型隨機變量分布列及期望，2021年甲卷文理科第2題都是以“農(nóng)戶家庭收入”為背景考查對頻率分布直方圖的分析，2021年甲卷文理科第17題是以“產(chǎn)品質(zhì)量”為背景考查獨立性檢驗（2′2列聯(lián)表）……這些試題均通過對基礎(chǔ)知識的重新變式或拓展，賦予時代氣息，體現(xiàn)課標(biāo)卷的設(shè)計理念，命題尊重了不同學(xué)生的思維差異，體現(xiàn)人文教育精神．

3.2 滲透統(tǒng)計素養(yǎng)的應(yīng)用考查

學(xué)科思維是核心素養(yǎng)中的最高層[14]，所以統(tǒng)計素養(yǎng)可以理解為不僅含有數(shù)學(xué)層面的關(guān)于數(shù)據(jù)、概率等的思維，還應(yīng)當(dāng)包含指向現(xiàn)實意義的運用統(tǒng)計解決問題、理解世界的方面．那么高考題所要考查的應(yīng)是學(xué)生能否用統(tǒng)計思維去思考和解決（現(xiàn)實）問題，以及基于此進行統(tǒng)計判斷或決策．而對統(tǒng)計的考查側(cè)重于用樣本數(shù)字特征對總體進行估計，考查樣本估計總體的統(tǒng)計思想[15]．2021年全國課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計試題注重考查學(xué)生能根據(jù)實際問題抽象出統(tǒng)計概念，并能用統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析，以此進行統(tǒng)計判斷，將數(shù)學(xué)解答轉(zhuǎn)化成對現(xiàn)實對象的分析．

概率統(tǒng)計的知識與現(xiàn)實生活和科技發(fā)展緊密相關(guān)，具有較強的理論性和應(yīng)用性，是數(shù)學(xué)模型的重要載體[16]．從統(tǒng)計素養(yǎng)維度分析來看（具體詳見表4），2021年課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計試題對統(tǒng)計思維的考查主要側(cè)重于S4和S5水平．其中，16道題中考查S4水平的有10次，考查S5水平的有5次，新高考II卷第21題考查S6水平．由此可以看出，概率與統(tǒng)計試題強調(diào)，結(jié)合現(xiàn)實情境使用統(tǒng)計術(shù)語計算統(tǒng)計量并理解統(tǒng)計量，有時需要對統(tǒng)計量進行定性的解釋．比如新高考I卷第18題，需要學(xué)生從知識競賽的背景下，計算出相應(yīng)的概率及數(shù)學(xué)期望，并要求學(xué)生去判斷“先答哪一類題”累計積分的期望最大，這其實是考查學(xué)生結(jié)合統(tǒng)計量進行統(tǒng)計判斷的能力．再比如新高考II卷第21題結(jié)合離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望表達式及函數(shù)與方程的思想去驗證結(jié)論，并利用計算結(jié)果去分析結(jié)論的實際含義及依據(jù)數(shù)據(jù)分析做出初步的統(tǒng)計判斷．在強調(diào)不確定性前提下，使用統(tǒng)計語言對結(jié)論進行解釋或統(tǒng)計決策，這其實是考查學(xué)生S6水平的統(tǒng)計素養(yǎng)．解答題或選填題多以現(xiàn)實情境為背景，運用統(tǒng)計視角分析問題、構(gòu)建模型、計算結(jié)果及依據(jù)結(jié)果提出決策，這一過程考查學(xué)生運用統(tǒng)計思維解決問題的能力．

3.3 凸顯概率統(tǒng)計的綜合考查

由表3可以看出，2021年課標(biāo)卷中概率統(tǒng)計試題的綜合難度系數(shù)都在0.5左右．需要說明的是，此處的綜合難度系數(shù)模型不同于一般意義上試題難度的考量標(biāo)準(zhǔn)，但能充分考慮到不同因素對測試試題考查因素的影響，其中n為第個等級的權(quán)重，分別取1、2、3、4，可能不同學(xué)者采用不同的賦值方式，但在同一賦值標(biāo)準(zhǔn)下計算出的綜合難度系數(shù)，從某種程度上可以對比出同一類型試題的綜合考查情況．

為了分析6套試卷概率統(tǒng)計試題的難度特征，對同一年的選填題難度取平均值（解答題不變），并繪制統(tǒng)計圖．由圖1可知，概率統(tǒng)計選填題的綜合難度在0.4左右，解答題的難度系數(shù)在0.5左右，而難度系數(shù)的偏度值為1.279，數(shù)據(jù)呈明顯的右偏態(tài)，這表明概率與統(tǒng)計試題難度偏低（與前5年全國卷概率統(tǒng)計試題綜合難度系數(shù)比較）[5]．其中新高考II卷的解答題（內(nèi)容詳見例*）難度系數(shù)為0.75，其難度系數(shù)最高．該題位于解答題壓軸題位置，以生命科學(xué)中微生物繁殖為問題情境，情境容易理解，學(xué)生較容易抽象出統(tǒng)計概念，并計算出()．難點在于第二問，其運算過程含有參數(shù)，考查學(xué)生綜合應(yīng)用概率、數(shù)列、函數(shù)與方程的知識和方法解決問題的能力．第三問需要結(jié)合得到的結(jié)論，再回到情境本身，運用統(tǒng)計判斷去解釋結(jié)論的實際含義，即一個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)不大于1時，會臨近滅絕；個數(shù)大于1時，不會滅絕．這也強調(diào)了，對概率的考查不應(yīng)只停留在計算的層面，需要能夠利用計算結(jié)果為決策提出關(guān)鍵性的依據(jù)驗證，并能為解決問題提供較為科學(xué)的決策建議，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的綜合性和應(yīng)用性的考查要求．

圖1 選填題與解答題綜合難度系數(shù)統(tǒng)計

例*：（新高考II卷第21題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第一代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列．設(shè)表示1個微生物個體繁殖為下一代的個數(shù)，(=)=p(=1, 2, 3)．

（1）已知0=0.4，1=0.3，2=0.2，3=0.1，求()；

（2）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的 概率，是關(guān)于的方程：0+122+33=的最小正實根，求證：當(dāng)()≤1時，=1；當(dāng)()>1時，<1；

（3）根據(jù)你的理解說明（2）結(jié)論的實際含義．

結(jié)合表3和表4可以看出，概率統(tǒng)計試題側(cè)重考查學(xué)生思維的靈活性，有時需要學(xué)生運用“正難則反”的逆向思維去解決問題．比如甲卷文理卷第10題中，求2個0不相鄰的概率，可以從對立命題去考慮2個0相鄰的概率，這樣可以優(yōu)化解題過程，提高解題效率．當(dāng)然，試題考查難度提升的標(biāo)志之一便是題目中設(shè)有參數(shù)，如新高考II卷第21題第二問便增加了參數(shù)，這在一定程度上讓學(xué)生產(chǎn)生了恐懼心理．當(dāng)然這樣的考查符合壓軸題的難度要求，同時也體現(xiàn)知識的交互性，需要學(xué)生結(jié)合多個知識點及思想方法去分析問題解決問題，體現(xiàn)了高考課標(biāo)卷對概率統(tǒng)計考查的綜合性．

總體來說，全國課標(biāo)卷對概率統(tǒng)計命題趨于綜合化，其重視情境的創(chuàng)新融入、基礎(chǔ)知識的變式考查和統(tǒng)計素養(yǎng)的應(yīng)用考查．試題注重與情境相結(jié)合，突出概率統(tǒng)計在解決實際問題中的作用．知識點考查上，加大了學(xué)科間的知識融合命題，注重概率與函數(shù)、概率與不等式、概率與數(shù)列等交匯知識的融合考查．統(tǒng)計素養(yǎng)的應(yīng)用體現(xiàn)滲透于隨機思想、抽樣思想、或然與必然思想[17]的理解及運用，側(cè)重用概率或統(tǒng)計模型來表達隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，用數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律來解釋隨機現(xiàn)象及對抽樣方法的統(tǒng)計意義的理解．

4 教學(xué)啟示

結(jié)合分析維度的設(shè)置及試題特點的分析，剖析高考試卷的導(dǎo)向教學(xué)作用：教學(xué)中，需要結(jié)合新舊課標(biāo)的變化，落實知識整體；需要兼顧情境設(shè)計與概念理解，適應(yīng)趨勢要求；通過優(yōu)化概率統(tǒng)計教學(xué)，提升學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)．

4.1 關(guān)注新舊課標(biāo)變化 落實知識整體

由表1的概率統(tǒng)計知識的梳理及表4中概率統(tǒng)計知識的考查情況可知，概率統(tǒng)計選填題和解答題的綜合難度系數(shù)在0.5左右，難度適中（詳見圖1），但對概率統(tǒng)計知識點的考查具有系統(tǒng)化、關(guān)聯(lián)性及層次性的特點．而這與2017新課標(biāo)的理念不謀而合，其中提到，教師要以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，明晰學(xué)科素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生整體上把握課程．教學(xué)建議中指出，整體把握教學(xué)內(nèi)容，才能促進學(xué)科素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展[7]．然而，高中概率統(tǒng)計知識分布于必修和選擇性必修中，知識內(nèi)容分散與新課標(biāo)的整體要求相矛盾．再者，學(xué)生認(rèn)知能力的局限性，教材編寫時需要將知識分解到各個年段，教材編寫的限制帶來教學(xué)內(nèi)容的分散性，而課時的限制又帶來教學(xué)過程的間斷性．但概率統(tǒng)計知識結(jié)構(gòu)具有內(nèi)在統(tǒng)一性，教師需要處理好概率統(tǒng)計知識的整體把握和學(xué)生的局部認(rèn)識之間的矛盾，從而落實知識教學(xué)的整體性．

學(xué)生在答題時會出現(xiàn)符號表達不準(zhǔn)確或概念理解不到位，其根本原因在于知識掌握不系統(tǒng)，這就需要高中概率統(tǒng)計教學(xué)中關(guān)注知識整體性，讓學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上去掌握相關(guān)性質(zhì)．李亞瓊、徐文彬（2021）提到，概率統(tǒng)計知識的結(jié)構(gòu)層次不是概率和統(tǒng)計的并列式呈現(xiàn)，其橫向需要關(guān)注必修內(nèi)容和選擇性必修內(nèi)容的銜接，體現(xiàn)知識的螺旋式上升，縱向需要關(guān)注概率與統(tǒng)計知識的內(nèi)在生成關(guān)系（具體詳見圖2）．比如，其中“整理、分析數(shù)據(jù)”和“表達與解釋”共同為研究“樣本估計”和“相關(guān)關(guān)系”作鋪墊[4]．了解知識整體結(jié)構(gòu)圖是教師落實概率與統(tǒng)計整體教學(xué)的邏輯起點，教師需要厘清知識間的聯(lián)系以及同一部分內(nèi)容中知識的關(guān)聯(lián)性和層次性，最后呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化知識體系，再用于教學(xué)實踐．

4.2 兼顧情境設(shè)計與概念理解 適應(yīng)趨勢要求

由表4可以看出，概率與統(tǒng)計的情境設(shè)置注重生活情境的創(chuàng)新融入（其中生活情境考查10次，占比62.5%），蘊含時代性及多元文化性．結(jié)合2011—2020年全國卷概率統(tǒng)計試題情境設(shè)計的變化趨勢[4]及文中概率統(tǒng)計情境設(shè)置的分析，可以看出：如何引導(dǎo)學(xué)生從豐富的問題情境出發(fā)，運用概率與統(tǒng)計的思想與方法去解決問題，這是關(guān)鍵所在．即引導(dǎo)學(xué)生通過情境抽象出信息與問題，從而運用統(tǒng)計思維去解決問題．高中階段概率與統(tǒng)計的學(xué)習(xí)中，學(xué)生大多停留在簡單機械運用統(tǒng)計符號或統(tǒng)計概念解決問題，導(dǎo)致統(tǒng)計符號或概念的理解過程缺乏系統(tǒng)性和準(zhǔn)確性．

統(tǒng)計目的是為了解決問題，而統(tǒng)計背后的基本概念（也被稱為“重要思想”）是教學(xué)重點．盡管對于“基本概念具體包括哪些”還存在爭議，且基本概念的表示形式也有所不同，但基本上都涵蓋了數(shù)據(jù)、期望、分布、樣本和抽樣等思想．統(tǒng)計學(xué)家陳希孺教授曾提到：“關(guān)于抽樣、數(shù)據(jù)、誤差、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、統(tǒng)計規(guī)律、統(tǒng)計相關(guān)性、大數(shù)律等內(nèi)容，是與我們現(xiàn)實生活緊密相連的基本概念．”[18]Watson等人（2013）凝練出的5個與統(tǒng)計相關(guān)的重要概念，包括期望、分布、隨機性和非正式推斷，并強調(diào)了這些重要思想在整個統(tǒng)計中是緊密相連的[10]．2017新課標(biāo)中加大了概率統(tǒng)計的教學(xué)學(xué)時，這不僅體現(xiàn)在高中必修選修內(nèi)容中，也已經(jīng)滲入義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程（將“數(shù)據(jù)分析觀念”作為十大核心詞之一）．培養(yǎng)“學(xué)生的統(tǒng)計觀念”目標(biāo)的課程發(fā)展理念，預(yù)示概率與統(tǒng)計的教學(xué)需要關(guān)注學(xué)生統(tǒng)計概念的理解，這也是對統(tǒng)計教育變化趨勢的回應(yīng)．

圖2 2017版課標(biāo)中概率統(tǒng)計內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)

4.3 優(yōu)化概率與統(tǒng)計教學(xué) 提升學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)

從表2統(tǒng)計素養(yǎng)的水平劃分及表4中統(tǒng)計素養(yǎng)考查的數(shù)據(jù)可以看出，高考試題在概率統(tǒng)計知識設(shè)置上，關(guān)注對統(tǒng)計素養(yǎng)S4的考查，對S4考查有8次，占比50%（由表4可知）；側(cè)重對統(tǒng)計素養(yǎng)S5的考查，對S5的考查有5次，占比30%左右（由表4可知），重視理解概念背景下的統(tǒng)計量，關(guān)注考查對統(tǒng)計量進行定性解釋和統(tǒng)計判斷．這些數(shù)據(jù)表明，試題越來越關(guān)注統(tǒng)計概念本質(zhì)理解及統(tǒng)計素養(yǎng)的培養(yǎng)．對高中生來說，他們需要明確統(tǒng)計概念，掌握系統(tǒng)的統(tǒng)計知識，培養(yǎng)有層次的統(tǒng)計素養(yǎng)，這就對概率統(tǒng)計教學(xué)提出更高的要求．伴隨著學(xué)生群體的多樣化，教師面臨著為不同知識和技能水平的學(xué)生提供差異化概率統(tǒng)計教學(xué)[19]．很多高中教授概率統(tǒng)計的教師并未系統(tǒng)學(xué)習(xí)過概率統(tǒng)計專業(yè)知識，如何讓這類教師做好統(tǒng)計教學(xué)的準(zhǔn)備，是當(dāng)前教師專業(yè)發(fā)展中一個迫切需要解決的問題．無論是滿足統(tǒng)計學(xué)習(xí)、教學(xué)的需要，還是促進教師自身的發(fā)展需求，概率與統(tǒng)計教學(xué)都應(yīng)以統(tǒng)計素養(yǎng)為核心目標(biāo)．Scheaffer等人在1998年曾提及中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)的專題內(nèi)容需包括：數(shù)感；理解變量；讀懂統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖；設(shè)計調(diào)查或?qū)嶒灚@取樣本，收集數(shù)據(jù)的方法，問卷調(diào)查的設(shè)計等；數(shù)據(jù)分析；概率與統(tǒng)計的聯(lián)系，顯著性檢驗的理論背景等；統(tǒng)計推斷等[20]．與此相比，中國統(tǒng)計教育內(nèi)容在課程設(shè)計上偏重于書本知識的學(xué)習(xí)，忽視實踐應(yīng)用知識的學(xué)習(xí)，忽視學(xué)習(xí)過程中常見認(rèn)知錯誤的矯正，這樣的忽視必然會影響學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)的培養(yǎng)[18]．

數(shù)學(xué)教材中的例、習(xí)題偏重于統(tǒng)計量的計算和圖表繪制和解讀這類基本知識的練習(xí)，而非側(cè)重于對統(tǒng)計判斷、決策、質(zhì)疑等統(tǒng)計素養(yǎng)的考查．比如，通過設(shè)置適當(dāng)?shù)那榫匙寣W(xué)生理解統(tǒng)計量對決策的作用，通過讓學(xué)生根據(jù)給定結(jié)論設(shè)計調(diào)查活動進行檢驗，從而培養(yǎng)其對現(xiàn)實數(shù)據(jù)的質(zhì)疑與統(tǒng)計論證能力．此外，對統(tǒng)計實踐完整過程的重視沒有在評估試題中得以體現(xiàn)，一般為碎片式的局部考查，可以嘗試采用其它多樣化的評價形式，如調(diào)研報告、主題匯報等，這能給學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決統(tǒng)計問題的機會．目前教學(xué)中，統(tǒng)計素養(yǎng)尚未引起足夠的重視，且大多數(shù)統(tǒng)計教學(xué)評價仍限于借助筆紙測試來反映教學(xué)效果．

此外，教師需要多設(shè)計真實統(tǒng)計實踐融入教學(xué)，就統(tǒng)計實踐本身而言，每一個調(diào)查步驟的設(shè)計都應(yīng)蘊涵著對學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)的滲透．單就統(tǒng)計實踐的本質(zhì)來說，為了體現(xiàn)統(tǒng)計學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義，需要把現(xiàn)實與統(tǒng)計學(xué)中的核心概念相關(guān)聯(lián)．另外，學(xué)生的統(tǒng)計表達也需要被重視，不能固化學(xué)生統(tǒng)計表達的呈現(xiàn)．比如新高考I卷第18題，其考查背景為知識競賽，一般學(xué)生都有類似經(jīng)驗，所以理解起來并不困難．干擾學(xué)生的因素是如何使用合適的統(tǒng)計符號去準(zhǔn)確表達．比如，在回答的可能取值并寫出相應(yīng)的取值概率時，有學(xué)生呈現(xiàn)(=0)=0.2，(=20)=0.32，(=80)=0，(=100)= 0.48．離散型隨機變量的研究前提下，“概率為零”就意味取不到80．該生其實表達的就是的可能取值為0、20、100，這便是很好的研究契機．教學(xué)中，教師需要規(guī)范引導(dǎo)學(xué)生如何更準(zhǔn)確理解“概率為0的事件”，并引導(dǎo)學(xué)生將自己的理解規(guī)范表達，做出準(zhǔn)確的判斷．通過這樣的細(xì)節(jié)引導(dǎo)，可以遷移默化地滲透統(tǒng)計素養(yǎng)的培養(yǎng)．

5 小結(jié)

概率與統(tǒng)計教育教學(xué)的最終目的是實現(xiàn)公民統(tǒng)計素養(yǎng)的提升，學(xué)校教育正為未來一代的發(fā)展做好準(zhǔn)備．基礎(chǔ)教育階段概率與統(tǒng)計的學(xué)習(xí)，試圖為高等教育階段的統(tǒng)計教育打下堅實的基礎(chǔ)與補充．如何優(yōu)化當(dāng)前基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計教育的質(zhì)量也是未來研究需要繼續(xù)關(guān)注的．

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[5] 廖藝捷，朱展霖，胡典順．近五年高考概率與統(tǒng)計試題的統(tǒng)計與分析——以全國Ⅰ卷（理科）為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2021，60（2）：56–62．

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Statistics and Analysis of Probability and Statistics Test Questions for College Entrance Examination——Taking the 2021 National Curriculum Standard Paper as a Case

LI Ya-qiong1, PAN Yu-chen1, XU Wen-bin1, QIAN Yi-wen2, ZHANG Hai-yan3

（1. Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210079, China;2. School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210023, China;3.School of Educational Sciences, Chifeng College, Inner Mongolia Chifeng 024000, China)

Based on the statistics and analysis of the probability and statistics test questions in the six sets of papers in 2021, the test questions are sorted out from the following four dimensions: situation setting, knowledge points, statistical literacy, and comprehensive difficulty. It is found that probability and statistics paid attention to the innovation of problem situations, focusing on the variant examination of basic knowledge, penetrating the application examination of statistical literacy, and thus highlighting the comprehensive examination of probability and statistics. Specifically, it focuses on abstracting statistical concepts from actual problems and can use statistical data for analysis to make statistical judgments; uses the perspective of probability statistics to analyze problems, build models, calculate results, and make decisions based on results, highlighting the use of statistics thinking to solve problems. Combined with the characteristics of the probability and statistics test questions in the national curriculum standard paper and based on the guiding role of the college entrance examination in teaching, the teaching of probability and statistics should focus on the changes between the old and the new curriculum standards, implement the overall knowledge. Teachers should take into account the situational design and conceptual understanding, adapt to the trend requirements, optimize the probability and statistics teaching, and enhance the students’ statistical literacy.

national curriculum standard paper; probability and statistics; comprehensive difficulty; statistical literacy; statistics and analysis

2022–02–08

江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題——教師研究的理論思考與模式建構(gòu)（2021JY14_L390）；江蘇省研究生科研與實踐創(chuàng)新計劃項目——高中數(shù)學(xué)整體教學(xué)設(shè)計的模式建構(gòu)與實踐應(yīng)用（SJCX22_0506）

李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，博士生，主要從事高中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．徐文彬為本文通訊作者．

G632

A

1004–9894（2022）03–0020–06

李亞瓊，潘禹辰，徐文彬，等．高考概率與統(tǒng)計試題的統(tǒng)計與分析——以2021年全國課標(biāo)卷為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（3）：20-25．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]