【摘 要】有理數(shù)的運算是初中階段的運算基礎(chǔ)，以蘇科版“有理數(shù)的除法”教學(xué)為例，闡述基于學(xué)生經(jīng)驗的教學(xué)實踐，主張教學(xué)要摸清學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建，重視學(xué)生經(jīng)驗總結(jié).

【關(guān)鍵詞】學(xué)生經(jīng)驗;有理數(shù)的除法;教學(xué)實踐

1 緣起

有理數(shù)的運算是初中階段的運算基礎(chǔ)，隨著負(fù)數(shù)的引入，原先的運算過程就變?yōu)榱藘刹剑聪扰袛喾?，再進行絕對值運算.這對于剛步入初中的學(xué)生來說，具有一定的挑戰(zhàn)性.不難發(fā)現(xiàn)，對于有理數(shù)加法與乘法的教學(xué)，都需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將算理直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，再經(jīng)過歸納總結(jié)得到運算法則.而對于有理數(shù)減法與除法的教學(xué)，大多將其分別視為加法與乘法的逆運算，最終將其轉(zhuǎn)化為加法與乘法的運算.近期，筆者有幸參加了區(qū)公開課展示活動，對其中“有理數(shù)的除法”一課深有感觸，該課的設(shè)計思路大致如下：首先創(chuàng)設(shè)求平均氣溫的教學(xué)情境，給出了兩組氣溫，分別列出了算式14÷7和（-14）÷7，利用除法是乘法的逆運算得到算式結(jié)果，而后類比14÷7可以轉(zhuǎn)化為14×1/7，列出（-14）×1/7=-2，觀察歸納得到有理數(shù)除法法則1（除以一個不為0的數(shù)，等于乘以它的倒數(shù)），隨后給出若干個簡單的除法運算，引導(dǎo)學(xué)生類比有理數(shù)乘法法則得到有理數(shù)除法法則2（兩個不為0的數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除），最后鞏固練習(xí)、課堂總結(jié).

2 兩點思考

2.1 現(xiàn)實情境創(chuàng)設(shè)的必要性

蘇科版教材在編寫意圖上強調(diào)生活化、情境化，有理數(shù)除法的導(dǎo)入也設(shè)計了求平均氣溫的情境，由于氣溫存在負(fù)數(shù)，因此在求平均氣溫時，發(fā)現(xiàn)一周的氣溫和為負(fù)數(shù)，進而得到了負(fù)數(shù)除以正數(shù)的算式，指出負(fù)數(shù)引入除法運算是有實際意義的，開啟對有理數(shù)除法法則的探索.該情境也可以替換為求商店的日均收入、水位的日均變化等問題，目的都是從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，列出有理數(shù)除法算式.這些情境歸根到底都是求均值的數(shù)學(xué)模型，存在兩點不足，其一，求均值需先進行有理數(shù)加法運算，而有理數(shù)的加法雖簡單，但對本課的探索沒有實際幫助;其二，求均值所得的除法算式中除數(shù)都是正數(shù)，從本質(zhì)上說該情境只解釋了負(fù)數(shù)除以正數(shù)是有實際意義的，而忽略了除數(shù)是負(fù)數(shù)的情況，當(dāng)然除數(shù)是負(fù)數(shù)的現(xiàn)實情境在學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)上很少出現(xiàn).縱觀其他版本教材，在人教版、北師大版、華師大版等數(shù)學(xué)教材中均未設(shè)置現(xiàn)實情境，而是直接從具體的除法算式出發(fā)進行探索.綜上，該情境能夠得到含負(fù)數(shù)的除法算式、引出對有理數(shù)除法法則的探索，有一定的課堂呈現(xiàn)價值，但只能一定程度地解釋有理數(shù)除法的現(xiàn)實意義.

2.2 “乘它的倒數(shù)”引導(dǎo)的自然化

在學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，他們確實知道“除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，但他們只用于正數(shù)的除法中，并且只有當(dāng)除數(shù)是分?jǐn)?shù)或除不盡時才會使用該法則.對于14÷7這個算式而言，學(xué)生根據(jù)九九乘法表就可以得出結(jié)果，又何必轉(zhuǎn)化為乘法呢？教師刻意引導(dǎo)學(xué)生類比得到（-14）×1/7=-2，再觀察歸納得到有理數(shù)除法法則.在這過程中缺乏了學(xué)生的思考，顯得不夠自然.這就相當(dāng)于教師先“告知”了法則，學(xué)生配合驗證，而非學(xué)生思考、猜想、交流、發(fā)現(xiàn)、探索的結(jié)果.3 基于學(xué)生經(jīng)驗的教學(xué)分析

建構(gòu)主義強調(diào)，學(xué)生不是空著腦袋進入課堂的，在他們過去的學(xué)習(xí)和生活中已經(jīng)積累了豐富的知識經(jīng)驗.即便是一些未曾接觸的問題，學(xué)生也能在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到與之相近的經(jīng)驗，并結(jié)合他們的認(rèn)知能力，形成對問題的解釋或假設(shè).一般來說，對原有經(jīng)驗的再構(gòu)建是學(xué)生獲得新知的最有效方式[1].在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的原有認(rèn)知經(jīng)驗可以分為三類，分別是已有知識經(jīng)驗、生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.這些經(jīng)驗都能通過適當(dāng)?shù)那榫臣ぐl(fā)出來，并通過數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、情感體驗等共同作用下形成了新的認(rèn)知經(jīng)驗（如圖1）.隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，這些經(jīng)驗不斷積累，不斷內(nèi)化為他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗體系.

在有理數(shù)除法的學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)擁有了豐富的認(rèn)知經(jīng)驗.從已有知識經(jīng)驗來說，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)、絕對值等數(shù)學(xué)概念，掌握了有理數(shù)加法、減法和乘法法則，能夠進行正數(shù)范圍內(nèi)的除法運算;在過去的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也積累了一定的數(shù)學(xué)思想方法，例如分類思想、類比思想等，學(xué)生就能夠從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度認(rèn)同有理數(shù)除法的存在性與必要性，這些經(jīng)驗構(gòu)成了探索有理數(shù)除法的基礎(chǔ).從生活經(jīng)驗來說，學(xué)生能夠在實際生活中找到對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解釋負(fù)數(shù)除以正數(shù).從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗來說，學(xué)生經(jīng)歷了小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，自然具有一定的數(shù)學(xué)思考、實際操作、合作交流、數(shù)學(xué)表達等經(jīng)驗可供參考與模仿.4 教學(xué)過程

4.1 對接經(jīng)驗，類比明晰目標(biāo)

教師：在有理數(shù)的運算學(xué)習(xí)中，我們首先學(xué)習(xí)了有理數(shù)加法法則，而后學(xué)習(xí)了有理數(shù)減法法則，這里減法與加法互為逆運算，計算有理數(shù)的減法就是將減法轉(zhuǎn)化為加法，利用有理數(shù)加法法則進行運算.為了簡便表示相同量的累加，這就出現(xiàn)了乘法運算.我們在水位問題的探究中，發(fā)現(xiàn)了有理數(shù)乘法法則.結(jié)合練習(xí)，回顧有理數(shù)乘法法則.

練習(xí)1 直接寫出結(jié)果.

結(jié)合練習(xí)1，教師引導(dǎo)學(xué)生說出有理數(shù)乘法法則，并指出第（2）題中的-3與-13互為倒數(shù).

教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法、減法、乘法，那我們接下來要學(xué)習(xí)……

學(xué)生（眾）：有理數(shù)的除法.

教師：除法是乘法的逆運算，那類比減法的探索過程，對我們探索有理數(shù)除法有什么啟發(fā)？

學(xué)生1：有理數(shù)除法也可以轉(zhuǎn)化為乘法進行運算.

教師：有理數(shù)的除法是否可以轉(zhuǎn)化為乘法呢？又怎樣轉(zhuǎn)化為乘法呢？那我們今天一起來探索有理數(shù)的除法法則.

評注 教師通過對有理數(shù)運算的梳理，繪制圖2所示的思維導(dǎo)圖，激活學(xué)生過去學(xué)習(xí)有理數(shù)運算的經(jīng)驗，并類比過去經(jīng)驗提出猜想，導(dǎo)入探究主題.同時，從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的角度指出有理數(shù)除法的存在性和必要性，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知共鳴.

4.2 激活經(jīng)驗，自主探究法則

教師：從算式“（-2）×（+7）=-14”出發(fā)，你能得到什么除法算式？

學(xué)生2：“（-14）÷7=-2”和“（-14）÷（-2）=7”.

教師：很好，利用除法是乘法的逆運算，得到了兩個有理數(shù)除法算式，那除法如何轉(zhuǎn)化為乘法呢？借助算式“（-14）÷7=-2”來說明.小組合作討論.

學(xué)生3：小學(xué)里學(xué)過“除一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)”，所以我計算了（-14）×1/7=-2，發(fā)現(xiàn)兩個算式結(jié)果一樣，而7與1/7互為倒數(shù)，所以我們可以用“除一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)”將除法轉(zhuǎn)化為乘法.

教師：他借助小學(xué)的經(jīng)驗，并通過計算驗證得出了結(jié)論.有沒有更一般的做法？

學(xué)生4：由于除法和乘法互為逆運算，所以我列出了算式（-14）÷7=（-14）×？（？表示未知數(shù)）.這里（-14）÷7=-2，也就是說（-14）要乘一個數(shù)等于-2，我猜測是17，代入計算發(fā)現(xiàn)未知數(shù)？確實為17，所以（-14）÷7=（-14）×17.又因為7與17互為倒數(shù)，所以我得到結(jié)論“除一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)”.

教師：兩位同學(xué)都得到了結(jié)論“除一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，這里要強調(diào)除數(shù)不能為0.當(dāng)然一個算式肯定不具有普遍性，請同學(xué)們仿照“（-14）÷7=（-14）×17=-2”這個驗證過程，再舉幾個例子.

學(xué)生5：（-14）÷（-2）=（-14）×-12=7.

學(xué)生6：1÷（-3）=1×-13=-13.

……

教師歸納有理數(shù)除法法則1.

評注 教師先利用乘法算式得到有理數(shù)除法算式，讓學(xué)生有“形”可探，而后通過對“如何將除法轉(zhuǎn)化為乘法”的問題進行探索，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，并結(jié)合小組討論、猜想驗證等活動，經(jīng)歷“從特殊到一般”的過程，讓學(xué)生在認(rèn)知基礎(chǔ)上自主構(gòu)建新知.

4.3 借鑒經(jīng)驗，再探除法法則

練習(xí)2 計算.

（1）（-10）÷2=;

（2）24÷（-8）=;

（3）（-12）÷（-4）=.

教師：通過上述三個算式，你能發(fā)現(xiàn)什么？

提示：仿照有理數(shù)乘法法則.

學(xué)生7：我發(fā)現(xiàn)它們的符號也滿足“同號得正，異號得負(fù)”，然后把它們的絕對值相除.

教師：那請你類比有理數(shù)乘法法則，說出有理數(shù)除法法則.

學(xué)生7：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.

教師：兩個什么數(shù)？

學(xué)生7：不為0的數(shù).

教師：那0呢？再考慮完善一下.

學(xué)生8：兩個不為0的數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.0除以任何不為0的數(shù)都為0.

教師歸納有理數(shù)除法法則2.

評注 通過對具體算式的觀察和提示，學(xué)生很快能夠發(fā)現(xiàn)有理數(shù)除法與乘法的相似點，并依托經(jīng)驗仿寫有理數(shù)除法法則，培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).但學(xué)生得到的法則往往是不完善的，還需教師一步步引導(dǎo)、補充與完善.

4.4 強化經(jīng)驗，形成知識體系

總結(jié)提綱：

（1）在本節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)除法法則，那我們是如何得到兩條法則的？在探索的過程中，我們用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你積累到了哪些經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

（2）你能創(chuàng)設(shè)一個情境來解釋算式“（-14）÷7=-2”嗎？

（3）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你還存在什么數(shù)學(xué)問題呢？

評注 通過第（1）題的設(shè)計，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧探究內(nèi)容、探索過程、運用的數(shù)學(xué)思想方法以及積累的經(jīng)驗，幫助學(xué)生構(gòu)建新知體系，形成新的認(rèn)知經(jīng)驗.通過第（2）題的設(shè)計，在一定程度上解釋了有理數(shù)除法的實際意義，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維、應(yīng)用意識.通過第（3）題的設(shè)計，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度提出問題，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，也為學(xué)生課后探究問題提供參考.5 教學(xué)反思

5.1 摸清學(xué)生原有經(jīng)驗

數(shù)學(xué)知識并非孤立存在的，任何新知都是在學(xué)生已有舊知的基礎(chǔ)上建構(gòu)起來的.在有理數(shù)除法的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了有理數(shù)加減乘三種運算法則的學(xué)習(xí)，擁有了豐富的經(jīng)驗可供模仿.因此，教師更應(yīng)立足整體，利用復(fù)習(xí)回顧、思維導(dǎo)圖等形式激活學(xué)生原有經(jīng)驗，讓經(jīng)驗驅(qū)動學(xué)生從“毫無頭緒”轉(zhuǎn)向“敢于嘗試”.

5.2 引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生自主構(gòu)建的過程，積極啟發(fā)學(xué)生思考.例如，在“如何將除法轉(zhuǎn)化為乘法”的探究中，教師并沒有著急給出“（-14）×17”，而是組織學(xué)生小組討論.學(xué)生原有認(rèn)知中存在正數(shù)除法法則以及倒數(shù)的概念，通過討論交流與計算驗證，讓學(xué)生在一定思維范式的引導(dǎo)下，實現(xiàn)經(jīng)驗的對接與思維的聯(lián)結(jié)，深化了學(xué)生對于法則的理解.同時，由于經(jīng)驗的指引，學(xué)生自主構(gòu)建的過程相對較順利，這也增強了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

5.3 重視學(xué)生經(jīng)驗總結(jié)

學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗并非只包含知識經(jīng)驗，還涉及生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.在本節(jié)課中，存在著歸納、類比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，這些非知識性的經(jīng)驗對于學(xué)生而言是他們未來學(xué)習(xí)中的“無價之寶”.甚至對于法則的學(xué)習(xí)過程、探索思路中蘊藏的經(jīng)驗也能成為后續(xù)有理數(shù)的乘方、代數(shù)式的運算等內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要參考.因此，在課堂教學(xué)的尾聲，教師應(yīng)設(shè)計總結(jié)提綱，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)課堂學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，形成自己的認(rèn)知經(jīng)驗體系，最終指向?qū)W生能力與素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻

[1]丁益民.基于學(xué)生經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教學(xué)理解與實踐——以2019年人教A版“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”為例[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（06）：64-67.

作者簡介 黃賢明（1999—），男，江蘇蘇州人，中學(xué)二級教師;主要研究初中數(shù)學(xué)教學(xué).