黃曉冬 林英語(yǔ)

(1.泉州師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 福建 泉州 362000； 2.晉江市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 福建 晉江 362200)

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)科最本質(zhì)的特征，這決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的核心本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的形成、發(fā)展與應(yīng)用。思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思維方式、理性思維、數(shù)學(xué)思考等串起了從“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(四基)”到“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(四能)”再到“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界(三會(huì))”這樣一條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主線[1]。為此，不少研究對(duì)融入數(shù)學(xué)思維的教學(xué)策略進(jìn)行了探索，提出了諸如思維導(dǎo)圖[2]、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)[3]等眾多策略，其中說(shuō)理策略[4-5]方興未艾，并逐步在教學(xué)實(shí)踐應(yīng)用上顯示有效實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”的功效。基于此，本文提出小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)， 重點(diǎn)對(duì)其涵義、類型與應(yīng)用進(jìn)行學(xué)理分析與實(shí)踐解讀， 一是探明其在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力、促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面的特質(zhì)與價(jià)值， 二是勾勒出其應(yīng)用于素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)實(shí)踐的模式路線。

一、小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)的涵義

“說(shuō)理”語(yǔ)出我國(guó)西漢揚(yáng)雄《法言·寡見(jiàn)》的“說(shuō)理者莫辯乎《春秋》”。今天的理解，“說(shuō)理”就是“講明道理”。在我國(guó)中小學(xué)教育實(shí)踐境域中，說(shuō)理常被視為思想政治教育時(shí)所采用的主要手段與方式，但往往表現(xiàn)為教師向度的說(shuō)教、說(shuō)服與勸導(dǎo)的過(guò)程。當(dāng)從學(xué)生向度考慮說(shuō)理并進(jìn)入課堂教學(xué)時(shí)，教學(xué)將呈現(xiàn)為一種以邏輯、理?yè)?jù)、質(zhì)疑為基礎(chǔ)的分析、評(píng)價(jià)、論證與共識(shí)過(guò)程。顯然，小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)是一種以學(xué)生“說(shuō)理”作為數(shù)學(xué)教、學(xué)、評(píng)核心策略的教學(xué)觀念或方式。理解小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)有必要從“說(shuō)”“理”與“數(shù)學(xué)思維”等方面進(jìn)行解構(gòu)與學(xué)理分析。

(一)說(shuō)：數(shù)學(xué)表達(dá)

依照構(gòu)詞法分析，說(shuō)理為動(dòng)賓結(jié)構(gòu)組合方式。其中，“說(shuō)”是行為動(dòng)詞，意為表達(dá)，是通過(guò)各種語(yǔ)言工具來(lái)傳達(dá)的外在行為表現(xiàn)。理解說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)之“說(shuō)”可以從表達(dá)主體、表達(dá)方式與表達(dá)程度三個(gè)層面進(jìn)行剖析。

1.明確“說(shuō)”的主體——誰(shuí)來(lái)說(shuō)。教學(xué)中“說(shuō)”的主體可以是教師，可以是學(xué)生，也可以是教學(xué)環(huán)境和教學(xué)材料，如音視頻、教科書、操作材料等。這里的說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)，表達(dá)主體界定為學(xué)生，其受眾可以是教師，可以是自我或同伴，也可以是家長(zhǎng)或其他成人。以小學(xué)生作為說(shuō)理主體，實(shí)質(zhì)上就是基于教育面向?qū)W生發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)主體性、主動(dòng)性與能動(dòng)性等理念的踐行，從而實(shí)現(xiàn)由教師講理到學(xué)生說(shuō)理的轉(zhuǎn)變，由教師“講與傳”向教師“問(wèn)、導(dǎo)、評(píng)”的轉(zhuǎn)變，由“機(jī)械接受學(xué)習(xí)”“淺層學(xué)習(xí)”向“主動(dòng)探究學(xué)習(xí)”“深度學(xué)習(xí)”的轉(zhuǎn)變，體現(xiàn)“生本”教學(xué)生態(tài)。通俗理解，轉(zhuǎn)“師說(shuō)”“師講”為“生說(shuō)”，就是“教師所要講的是由學(xué)生說(shuō)出來(lái)的”，這就是自主建構(gòu)學(xué)習(xí)。那么，如何讓學(xué)生成為“說(shuō)”的主體，并且習(xí)以為常呢？一個(gè)必要的前提就是讓學(xué)生“敢說(shuō)”。這就要求教師要尊重與鼓勵(lì)學(xué)生的表達(dá)，要容納學(xué)生的“挑刺”之問(wèn)，要靜候?qū)W生的“沉默”之答，要善待學(xué)生的“無(wú)知”之說(shuō)。教師既要有“順風(fēng)耳”，也要有“逆風(fēng)耳”，支持“敢說(shuō)”。

2.選擇“說(shuō)”的工具與方式——怎樣說(shuō)。“說(shuō)”的工具為語(yǔ)言，可以是日常語(yǔ)言，也可以是數(shù)學(xué)語(yǔ)言，表現(xiàn)為文字、符號(hào)、圖形、圖表甚至動(dòng)作等語(yǔ)言形式?！罢f(shuō)”的方式與目的，可以有敘述、補(bǔ)充、澄清、爭(zhēng)論、論證、證明、質(zhì)疑等不同形式。在說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生選擇與使用不同的“說(shuō)”的工具和方式，體現(xiàn)“能說(shuō)”。

3.分清“說(shuō)”的程度——說(shuō)得怎樣。說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)由于數(shù)學(xué)的抽象性以及小學(xué)生生活經(jīng)歷、社會(huì)文化知識(shí)等的局限性，使得說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程必然是一個(gè)復(fù)雜的、多態(tài)的、漸變的過(guò)程，其過(guò)程雖是曲折前行，但前進(jìn)的方向極為明確，就是“用數(shù)學(xué)思維去思考、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)、用數(shù)學(xué)觀念去理解”。因而，推進(jìn)小學(xué)生學(xué)習(xí)前行的每一步考驗(yàn)著也質(zhì)問(wèn)著教師教學(xué)的每一言行，這要求教師的言行要變“以講帶說(shuō)”為“以問(wèn)導(dǎo)說(shuō)”，適時(shí)、有效、謹(jǐn)慎地提供與拆除“說(shuō)”的支架，精心引導(dǎo)學(xué)生從“想不到、說(shuō)不出”到“想出些、說(shuō)不明”再到“想通了、說(shuō)透了”，引導(dǎo)學(xué)生“有思考地說(shuō)”“有條理地說(shuō)”“有理?yè)?jù)地說(shuō)”，實(shí)現(xiàn)“會(huì)說(shuō)”。

綜上所述，理解小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)之“說(shuō)”，需對(duì)表達(dá)主體、表達(dá)方式與表達(dá)程度進(jìn)行剖析，并在實(shí)踐中落實(shí)落細(xì)“敢說(shuō)”“能說(shuō)”與“會(huì)說(shuō)”。

(二)理：數(shù)學(xué)思維

相對(duì)于“說(shuō)”之外在，“理”顯然是說(shuō)理之內(nèi)核、之訴求。何謂“理”，普遍地回答就是“道理”。何謂“道理”，從哲學(xué)上看，道與理并不同。有學(xué)者認(rèn)為：道是所然，理是所以然；道有多條路徑，理則是唯一；理規(guī)定一切，道完成一切[6]。依此推之，數(shù)學(xué)的解題思路與技巧可視為“道”，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維則為“理”，數(shù)學(xué)的“道”“理”相通相輔相成，無(wú)道則無(wú)理，明理則道通。傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，極為注重解題方法與策略的教學(xué)，這是知其然的教學(xué)，極容易將數(shù)學(xué)教學(xué)引向解題技巧訓(xùn)練的困局。突出“理”有助于突破技巧訓(xùn)練的桎梏，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思維的重視，走出一條知其然且知其所以然的教學(xué)道路，并通向體會(huì)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)境界。

數(shù)學(xué)的“理”是抽象的，“理”的形成過(guò)程中經(jīng)驗(yàn)是必要的基礎(chǔ)，甚至“理”包括經(jīng)驗(yàn)之理。正如，在實(shí)際情境中，富有經(jīng)驗(yàn)往往比邏輯能力更高強(qiáng)，也就是說(shuō)經(jīng)驗(yàn)中隱含重要的道理，把內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)用起來(lái)、說(shuō)出來(lái)，就如同庖丁若能把解牛之經(jīng)驗(yàn)說(shuō)出來(lái)一樣，說(shuō)著說(shuō)著就會(huì)說(shuō)出“理”了。關(guān)于經(jīng)驗(yàn)，亦稱之為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，意指數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的產(chǎn)物，按不同角度可將其分為動(dòng)作技能性、認(rèn)知性、情感體驗(yàn)性與觀念性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，過(guò)程性和結(jié)果性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)部活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與外部活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等類型[7]。簡(jiǎn)單而實(shí)用的角度，更傾向?qū)?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分為“實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)”和“思維的經(jīng)驗(yàn)”[8]。兩種經(jīng)驗(yàn)的積累對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成至關(guān)重要[9]。積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的根本目的在于促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維模式，即“在觀察基礎(chǔ)上，從最簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，逐步猜想和發(fā)現(xiàn)，不斷檢驗(yàn)和修正，感悟問(wèn)題的核心和問(wèn)題之間的聯(lián)系，并學(xué)會(huì)演繹地證明”[10]45，進(jìn)而建立一定的數(shù)學(xué)直覺(jué)，能夠直覺(jué)到數(shù)學(xué)關(guān)系。明確了“理”含有“經(jīng)驗(yàn)”的成分或初始于“經(jīng)驗(yàn)”，教學(xué)有了從“經(jīng)驗(yàn)”向“道理”進(jìn)階的邏輯主線，這樣的教學(xué)才能真正達(dá)成“悟道理”。比如，小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)是基于數(shù)形結(jié)合活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的思考與整數(shù)乘法經(jīng)驗(yàn)的類推，并在此基礎(chǔ)上加深乘法是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，形成“乘法模型”思想與思維。

“理”基于經(jīng)驗(yàn)，而經(jīng)驗(yàn)源于活動(dòng)，因此理的形成過(guò)程要重視“問(wèn)題提出、問(wèn)題解決”等數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)。相關(guān)研究指出，問(wèn)題提出與問(wèn)題解決互為相關(guān)，而能否提出具有思考性、探究性和價(jià)值性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在一定程度上受限于問(wèn)題提出情境的刺激[11]。好的情境產(chǎn)生合理的問(wèn)題，好的活動(dòng)積累好的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而有助于“理”的孕生?？梢?jiàn)，情境創(chuàng)設(shè)了“理”產(chǎn)生的場(chǎng)域，給定了“理”發(fā)展的條件。數(shù)學(xué)的情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，每種情境還可分為熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境[1]。各種情境各有其意涵：現(xiàn)實(shí)情境取向生活真實(shí)，關(guān)注習(xí)常，意在從生活、生產(chǎn)、生態(tài)之現(xiàn)象和常理抽象出數(shù)學(xué)之理，從而“通理”“識(shí)理”；數(shù)學(xué)情境取向?qū)W科真實(shí)，突出“異常”，利于探求本原與學(xué)會(huì)融通，從而“窮理”“明理”；科學(xué)情境取向自然與社會(huì)真實(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在自然、社會(huì)研究中的應(yīng)用，從而“悟理”“用理”。數(shù)學(xué)教學(xué)可以是某類情境的使用，也可以是多種情境的聯(lián)用，形成符合邏輯與認(rèn)知順序的情境串，使“理”孕育于合適的情境之中。

(三)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)：以發(fā)展與應(yīng)用數(shù)學(xué)思維為核心

基于上述對(duì)“說(shuō)”與“理”的分析，說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)就是以生產(chǎn)生活、社會(huì)、自然與數(shù)學(xué)情境等為語(yǔ)境，以生活現(xiàn)象、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)據(jù)信息等為依據(jù)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言工具(實(shí)物操作、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言)，通過(guò)求實(shí)、邏輯、建模、批判、質(zhì)疑等理性思維形式來(lái)“說(shuō)”解題策略及依據(jù)，“說(shuō)”思路與方法，“說(shuō)”規(guī)則發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用，從而把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、整體與聯(lián)系的理性思維建構(gòu)與表達(dá)過(guò)程。

數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)的誕生與發(fā)展依靠思維的研究與發(fā)展。那么，當(dāng)觀察一種現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)家是怎么思考的呢？分析數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造過(guò)程發(fā)現(xiàn)：其過(guò)程一般可以表述為“準(zhǔn)備(觀察、分類比較、歸納概括、類比等)、醞釀(聯(lián)想)、頓悟(領(lǐng)悟本質(zhì))、整理(數(shù)學(xué)表達(dá)、證明等)”[9]26。在這個(gè)過(guò)程中，表現(xiàn)并發(fā)展出數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型、形象思維、計(jì)算思維、數(shù)據(jù)思維等多種思維形式。其中，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型被視為當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的三個(gè)基本要素，對(duì)應(yīng)于“三會(huì)”[12]。因此，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考，學(xué)會(huì)與發(fā)展數(shù)學(xué)思維是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與“三會(huì)”的核心要求。而說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)的“有思考地說(shuō)”“有條理地說(shuō)”“有理?yè)?jù)地說(shuō)”“按經(jīng)驗(yàn)說(shuō)”“按道理說(shuō)”“說(shuō)出道理”等無(wú)不關(guān)聯(lián)著數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與應(yīng)用，數(shù)學(xué)思維顯然應(yīng)是說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。

二、小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)的類型

按不同維度，小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)可分為不同的類型。根據(jù)互動(dòng)方式，大體上可分為班級(jí)集體學(xué)習(xí)的師生對(duì)話式說(shuō)理、小組合作學(xué)習(xí)的生生對(duì)話式說(shuō)理、個(gè)別學(xué)習(xí)的自述式說(shuō)理。根據(jù)說(shuō)理所采用的材料，可分為以據(jù)說(shuō)理(以事實(shí)證據(jù)進(jìn)行合情表達(dá))，以知說(shuō)理(以觀念、概念、原理、法則等進(jìn)行演繹表達(dá))，以史說(shuō)理(以數(shù)學(xué)史作為線索進(jìn)行引證表達(dá))等。根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施流程，還可分為課前說(shuō)理、課中說(shuō)理、課后說(shuō)理。“美國(guó)學(xué)者萊許(R.Lesh)等所指出的：‘實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表述方式——如圖像、書面語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、現(xiàn)實(shí)情景等——同樣也發(fā)揮了十分重要的作用?！盵13]31本文參照萊許的觀點(diǎn)，將說(shuō)理按表述方式大體分為操作式說(shuō)理、圖像式說(shuō)理、符號(hào)式說(shuō)理、文字式說(shuō)理與應(yīng)用式說(shuō)理(突出現(xiàn)實(shí)情境)。

(一)操作式說(shuō)理

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論指出，7至11歲的小學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，思維以形象思維為主。而按感覺(jué)通道的不同，學(xué)習(xí)類型可以分為視覺(jué)型、聽(tīng)覺(jué)型與動(dòng)覺(jué)型學(xué)習(xí)。對(duì)于動(dòng)覺(jué)型學(xué)習(xí)或形象思維優(yōu)勢(shì)的學(xué)生，“做中學(xué)”是他們獲得進(jìn)步的有效方法。在小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)這類學(xué)生宜采取操作式說(shuō)理，讓他們操作學(xué)具、擺弄實(shí)物，在與學(xué)具的互動(dòng)中多感官收集信息，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷“動(dòng)腦想、動(dòng)手做、動(dòng)口說(shuō)”的過(guò)程，從而識(shí)理、明理與悟理。比如，湊十法的加法教學(xué)，可以讓小學(xué)生進(jìn)行學(xué)具“小棒”的操作，并鼓勵(lì)學(xué)生邊操作邊有理有據(jù)地表達(dá)。實(shí)際上，從經(jīng)驗(yàn)到理的過(guò)程，操作式說(shuō)理對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的作用不可忽視。

(二)圖像式說(shuō)理

對(duì)于低齡小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程往往需要從實(shí)物到圖像圖形再到符號(hào)的過(guò)程。圖像與圖形不僅具有直觀性，而且能剝離一些非數(shù)學(xué)信息，概要地描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象、過(guò)程與規(guī)律，是發(fā)展小學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的有效中介。因此，在不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中圖像圖形情境廣為運(yùn)用。圖像式說(shuō)理首先引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方式(畫圖、繪表)表達(dá)題意，然后觀察圖表，運(yùn)用幾何直觀、邏輯辨析及轉(zhuǎn)化等發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，最后以自己擅長(zhǎng)的方式進(jìn)行說(shuō)理。比如，“200本書，放2個(gè)書柜，每個(gè)書柜有4層，平均每層放幾本？”這樣的題目可引導(dǎo)學(xué)生畫出書柜圖形進(jìn)行觀察與思考，借助圖解說(shuō)出算術(shù)平均數(shù)的涵義與應(yīng)用。

(三)符號(hào)式說(shuō)理

數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)等是數(shù)學(xué)的抽象語(yǔ)言。符號(hào)式說(shuō)理以數(shù)學(xué)抽象語(yǔ)言為表達(dá)方式，用數(shù)字、字母、運(yùn)算符號(hào)等將文字、圖像信息符號(hào)化，進(jìn)而用算式、等式等表征關(guān)系，學(xué)生通過(guò)分析、比較、評(píng)價(jià)各算式、等式與解法，從而理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)法則，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)與思想。比如，“故事書比科技書多1/4，如果科技書有40本，那么故事書有多少本；反之，故事書比科技書少1/4，如果科技書有40本，那么故事書有多少本？”這樣的題目可以要求學(xué)生列出算式進(jìn)行比較分析，概括總結(jié)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律。若將較為直觀的圖像式說(shuō)理與較為抽象的符號(hào)式說(shuō)理相結(jié)合，則生成“數(shù)形結(jié)合”說(shuō)理，這種說(shuō)理方式對(duì)于發(fā)展小學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象和數(shù)學(xué)抽象思維能力大有裨益。

(四)文字式說(shuō)理

隨著學(xué)習(xí)的推進(jìn)，小學(xué)生積累的語(yǔ)言文字與數(shù)學(xué)詞匯也越來(lái)越豐富，這使得文字式說(shuō)理成為可能。文字式說(shuō)理以口頭語(yǔ)言、書面語(yǔ)言為表達(dá)形式，突出“動(dòng)腦想、動(dòng)口說(shuō)、動(dòng)手寫”，適用于課中交流、課后檢測(cè)。比如，在大量異分母分?jǐn)?shù)相加減的習(xí)題練習(xí)后，問(wèn)學(xué)生“異分母分?jǐn)?shù)相加減時(shí)，你是怎樣思考的，有什么發(fā)現(xiàn)嗎”，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明其算理、悟其道理，從而將具體的知識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，并指向核心觀念。在文字式說(shuō)理中，要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)約化、邏輯性以及結(jié)構(gòu)化表達(dá)的指導(dǎo)。概念圖、思維導(dǎo)圖方式的文字式說(shuō)理可以從小培養(yǎng)，并使之逐漸成為主流形式，因?yàn)檫@樣的表達(dá)更需要學(xué)生整合、聯(lián)絡(luò)知識(shí)，有利于發(fā)展學(xué)生系統(tǒng)性、條理性與邏輯性思維，并以知識(shí)的關(guān)聯(lián)化實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化。

(五)應(yīng)用式說(shuō)理

數(shù)學(xué)應(yīng)用體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具價(jià)值。應(yīng)用式說(shuō)理著眼于數(shù)學(xué)在情境中的應(yīng)用，嵌入了對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解。這里的情境界定為現(xiàn)實(shí)情境，通過(guò)情境提出非良構(gòu)的真實(shí)問(wèn)題，讓學(xué)生不僅能應(yīng)用數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)思維去分析，而且會(huì)結(jié)合生活、社會(huì)、環(huán)境等常理綜合考慮，從而將生活之理與數(shù)學(xué)之理融通。這種說(shuō)理類型由于直接面向真實(shí)問(wèn)題，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用多學(xué)科、多領(lǐng)域知識(shí)與方法解決問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)合情合理思維，而且能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與自然、科技、生活、社會(huì)等關(guān)系的理解，發(fā)展學(xué)生STEM(科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)稱)素養(yǎng)。比如，“A加油站油價(jià)5.5元/升，B加油站油價(jià)6.0元/升，住所離A加油站10公里，離B加油站8公里，從住所開(kāi)車(該車每百公里油耗為5升)出發(fā)加40升油，加完油后立即原路返回，請(qǐng)問(wèn)去哪個(gè)加油站加油合算呢？”這樣的問(wèn)題不僅是數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且是“超數(shù)學(xué)”問(wèn)題，它除了和數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，還和對(duì)交通情況、時(shí)間成本的認(rèn)識(shí)，甚至與環(huán)保觀均有關(guān)聯(lián)。思考與解決這樣的現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題顯然是基于數(shù)學(xué)但又高于數(shù)學(xué)，不僅指向數(shù)學(xué)應(yīng)用，更指向理性文化的培育。

三、小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用

教學(xué)作為一個(gè)系統(tǒng)，包括教學(xué)前、教學(xué)中、教學(xué)后三個(gè)不同時(shí)空。顯然，不同時(shí)空有不同的意旨，基于“教學(xué)評(píng)一致”的觀點(diǎn)，教學(xué)前旨在確定“從哪里出發(fā)”“到哪里去”，教學(xué)中重在解決與落實(shí)“怎么學(xué)”“怎么到那里”，教學(xué)后則關(guān)注“是否到了那里”。設(shè)計(jì)與實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，可將不同說(shuō)理類型應(yīng)用于教學(xué)前、教學(xué)中、教學(xué)后，并使之成為一個(gè)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)模型

(一)教學(xué)前說(shuō)理：診斷學(xué)情與翻轉(zhuǎn)預(yù)學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)前開(kāi)展說(shuō)理，就是讓學(xué)生應(yīng)用生活常理或已有認(rèn)知去嘗試“說(shuō)一說(shuō)”“寫一寫”“畫一畫”，其作用有兩方面：一是暴露前概念或錯(cuò)念，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知能力水平，以確定教學(xué)出發(fā)點(diǎn)與可能性，體現(xiàn)為診斷性評(píng)價(jià)。例如，“分?jǐn)?shù)加法”一課，在教學(xué)前可布置諸如“9+7=○，5/9+3/7=○”等題目的診學(xué)單，進(jìn)行診斷性測(cè)評(píng)，要求學(xué)生應(yīng)用文字式說(shuō)理寫出“我是這么想的”，從中了解學(xué)生的已知、能知、未知、難知與錯(cuò)知，從而使教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)的確定能基于微觀的學(xué)情診斷而達(dá)到精準(zhǔn)化。二是發(fā)揮課前預(yù)學(xué)作用，使學(xué)生帶著內(nèi)在動(dòng)力(好奇心與求知欲)、問(wèn)題思考、初步經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入課堂教學(xué)，體現(xiàn)為翻轉(zhuǎn)性學(xué)習(xí)。比如，采取“分?jǐn)?shù)加法”微課結(jié)合預(yù)學(xué)單的形式，在預(yù)學(xué)單設(shè)置“我也來(lái)說(shuō)說(shuō)，我是這樣想的”“我知道了，我不知道，我想知道”等問(wèn)題，讓學(xué)生課前觀看微課與提出疑惑，以此調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有知識(shí)，喚起其學(xué)習(xí)需求，補(bǔ)充其學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為隨后的教學(xué)提供方向與支架，從而提高課堂40分鐘的教學(xué)效率與學(xué)習(xí)質(zhì)量。

(二)教學(xué)中說(shuō)理：講理致知與明理致用

課堂是說(shuō)理應(yīng)用的主陣地。融入說(shuō)理的數(shù)學(xué)課堂，要在目標(biāo)、流程、過(guò)程、評(píng)價(jià)等方面全方位嵌入，實(shí)現(xiàn)以理生問(wèn)，講理致知與明理致用。

1.教學(xué)目標(biāo)要向“理”。課堂教學(xué)中要將教學(xué)目標(biāo)指向?qū)W科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，凸顯學(xué)科本質(zhì)、學(xué)科結(jié)構(gòu)和學(xué)科情境[14]，將核心觀念、關(guān)鍵能力、必備品質(zhì)等素養(yǎng)要素具體化、明確化、結(jié)構(gòu)化，突出將“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型”[15]三大關(guān)鍵思維能力滲透于教學(xué)各環(huán)節(jié)，使之成為教學(xué)目標(biāo)的核心。

2.教學(xué)流程要顯“理”。課堂中教師要建立一條明晰的“情境—問(wèn)題—探道—明理—達(dá)知—致用”的教學(xué)路徑，形成“情境—問(wèn)題”“探道—明理”“達(dá)知—致用”三大學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，并以導(dǎo)學(xué)單、問(wèn)學(xué)單等驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)程?！扒榫场獑?wèn)題”環(huán)節(jié)聚焦于問(wèn)題提出，著眼于讓學(xué)生“想知道”，為此，強(qiáng)調(diào)真實(shí)情境(現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境)將數(shù)學(xué)的“理”條件化、背景化，讓教學(xué)內(nèi)容變得有溫度、有情感[16]，也讓學(xué)生知道問(wèn)題“從何而來(lái)”“指向何方”，使教學(xué)流程有“基點(diǎn)”“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“指向性”?！疤降馈骼怼杯h(huán)節(jié)聚焦于問(wèn)題解決，著眼于讓學(xué)生“想辦法”“講道理”，探道在于知其然，即讓學(xué)生掌握解題策略與方法，明理在于知其所以然，即培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與思想，這是提升能力的環(huán)節(jié)，也是說(shuō)理的重要環(huán)節(jié)。例如，設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)情境引出“同分母分?jǐn)?shù)相加要怎么計(jì)算，異分母分?jǐn)?shù)相加又要怎么計(jì)算”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)導(dǎo)學(xué)單中的“分一分”“折一折”“涂一涂”等操作積累經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)問(wèn)學(xué)單“你是怎么想的”“你有什么發(fā)現(xiàn)”，讓學(xué)生聯(lián)系整數(shù)加法、小數(shù)加法的已知，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用類比與歸納推理等發(fā)現(xiàn)與說(shuō)出分?jǐn)?shù)加法的算理。這一環(huán)節(jié)的說(shuō)理遵循著“從操作式說(shuō)理到圖像式說(shuō)理再到符號(hào)式說(shuō)理”的認(rèn)知邏輯，體現(xiàn)從具體形象說(shuō)理到邏輯抽象說(shuō)理的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)說(shuō)理從經(jīng)驗(yàn)化到數(shù)學(xué)化的進(jìn)階?！斑_(dá)知—致用”環(huán)節(jié)聚焦于問(wèn)題解釋，著眼于讓學(xué)生“知道了”“可以用在哪”，即長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理，自主建構(gòu)核心觀念，形成思維模型，并能將其應(yīng)用于具體情境與遷移到其他情境中，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的“有意義”與“有用”。

3.教學(xué)過(guò)程要有“理”。課堂中教師要設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生提問(wèn)、質(zhì)疑、論證、評(píng)價(jià)、創(chuàng)新的“情境鏈”“問(wèn)題鏈”，要突出師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、團(tuán)隊(duì)互動(dòng)，根據(jù)教學(xué)進(jìn)程與活動(dòng)意圖靈活運(yùn)用多種互動(dòng)工具。如教師發(fā)起“你為什么這樣做呢?說(shuō)說(shuō)你的理由”“你是怎么想的?說(shuō)說(shuō)你的思考”等對(duì)話，擴(kuò)展“這樣能行嗎”“有沒(méi)有問(wèn)題”“能補(bǔ)充說(shuō)明一下嗎”“說(shuō)說(shuō)你的依據(jù)”“這些依據(jù)可靠嗎”“換個(gè)角度或方式可以怎么說(shuō)”等對(duì)話，用“能總結(jié)一下你的想法嗎”“發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)則”“還能用在哪”等結(jié)束對(duì)話。這些互動(dòng)工具很好地體現(xiàn)了學(xué)習(xí)性評(píng)價(jià)的理念與作法，能有效推進(jìn)思考進(jìn)階，使得“說(shuō)著說(shuō)著就有理了”，從而將說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)引出思維的深度與引向數(shù)學(xué)的高度。教師要善用教學(xué)組織形式，注重個(gè)別教學(xué)、小組合作與班級(jí)共學(xué)等教學(xué)組織形式在不同教學(xué)環(huán)節(jié)中的合理應(yīng)用，在“情境—問(wèn)題”“達(dá)知—致用”等環(huán)節(jié)適宜以個(gè)別教學(xué)與班級(jí)共學(xué)進(jìn)行，“探道—明理”環(huán)節(jié)則注重個(gè)別教學(xué)、同桌互助與小組合作，加強(qiáng)“組內(nèi)說(shuō)理、組間評(píng)理”的嘗試，讓“理”在多說(shuō)、多議、多評(píng)中越來(lái)越明晰。

4.教學(xué)評(píng)價(jià)要促“理”。教師要適時(shí)有效運(yùn)用多種評(píng)價(jià)技術(shù)促進(jìn)學(xué)生說(shuō)理，通過(guò)學(xué)習(xí)性評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，通過(guò)積極性評(píng)價(jià)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，善用點(diǎn)贊、激勵(lì)與賞識(shí)等方式支持與驅(qū)動(dòng)學(xué)生情感，如“說(shuō)錯(cuò)了，也有價(jià)值”“說(shuō)得很有條理”“說(shuō)得很在理”“這個(gè)思考很獨(dú)特”“這個(gè)總結(jié)很數(shù)學(xué)”“說(shuō)到本質(zhì)上了”等等，落實(shí)以情優(yōu)學(xué)。教師還要通過(guò)反思性評(píng)價(jià)引導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)，如通過(guò)“其他同學(xué)的說(shuō)理有什么優(yōu)點(diǎn)，對(duì)你有什么幫助”“說(shuō)理時(shí)，你想給其他同學(xué)提哪些建議”等反思與他評(píng)方式提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)以變促學(xué)。

(三)教學(xué)后說(shuō)理：拓展學(xué)習(xí)與質(zhì)量檢測(cè)

從目標(biāo)與內(nèi)容來(lái)看，教學(xué)后說(shuō)理主要包括對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固拓展和對(duì)課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量水平的檢測(cè)兩個(gè)方面。

1.在學(xué)習(xí)鞏固與拓展方面，可采取拓展學(xué)習(xí)單實(shí)施說(shuō)理。

(1)“說(shuō)理”講師團(tuán)說(shuō)理。結(jié)合當(dāng)天教學(xué)內(nèi)容或作業(yè)中的某些習(xí)題，學(xué)生小講師提前把錄制并經(jīng)教師審核好的“說(shuō)理”視頻上傳到班級(jí)QQ群、公眾號(hào)等，通過(guò)每日一講的線上“說(shuō)理”，讓學(xué)生隨時(shí)隨地泛在化學(xué)習(xí)，小講師還相應(yīng)承擔(dān)線下為同學(xué)釋疑解惑的任務(wù)。通過(guò)線上與線下混合說(shuō)理，有效延伸以說(shuō)理促全體學(xué)生思維發(fā)展的時(shí)空。

(2)學(xué)習(xí)共同體說(shuō)理。根據(jù)性別、能力、興趣等異質(zhì)分組組建3～6人的學(xué)習(xí)共同體，建立共同體規(guī)約，以共同體的“錯(cuò)題本”為依托，“優(yōu)帶差、強(qiáng)扶弱、對(duì)幫錯(cuò)”，學(xué)習(xí)共同體自主分析“錯(cuò)題”緣由，解說(shuō)解題思路與依據(jù)，挖掘并發(fā)揮“說(shuō)理”，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)交流與溝通能力[17]。

(3)題例式視頻說(shuō)理。打通家校合作渠道，引導(dǎo)教師、家長(zhǎng)、學(xué)生合作，根據(jù)某個(gè)“理”居家制作題例式解讀，做成相應(yīng)的視頻，形成共享的“說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)”資源庫(kù)，并以學(xué)生的“自主說(shuō)”發(fā)展思維的深刻性，“個(gè)性說(shuō)”發(fā)展思維的獨(dú)創(chuàng)性。

(4)大單元整體說(shuō)理。所謂大單元，是上接學(xué)科核心素養(yǎng)，以能起統(tǒng)率作用的“大”的觀念、能力組織而成的學(xué)習(xí)單位。例如，加法模型作為一個(gè)大單元的主題可整合“整數(shù)加法、小數(shù)加法、分?jǐn)?shù)加法”等章節(jié)。融通已知與新知進(jìn)行大單元整體說(shuō)理，有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括思維，形成數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。

學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)、思維能力培養(yǎng)并非一堂課就可以達(dá)成，需要長(zhǎng)期的累積，積極的體驗(yàn)。從這個(gè)意義上看，堅(jiān)持拓展教學(xué)后的多種說(shuō)理活動(dòng)，對(duì)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、提升思維品質(zhì)與增進(jìn)數(shù)學(xué)理解是一個(gè)重要的補(bǔ)充，也是“雙減”背景下數(shù)學(xué)作業(yè)實(shí)踐化、項(xiàng)目化的一種有益嘗試。

2.在學(xué)習(xí)質(zhì)量水平的檢測(cè)方面，可用評(píng)學(xué)單開(kāi)展說(shuō)理式測(cè)評(píng)[18]。在作業(yè)習(xí)題、紙筆測(cè)驗(yàn)、活動(dòng)評(píng)價(jià)上融入說(shuō)理設(shè)計(jì)。例如，在作業(yè)習(xí)題、紙筆測(cè)驗(yàn)上，增加文字式說(shuō)理、圖像式說(shuō)理、符號(hào)式說(shuō)理的設(shè)問(wèn)，以“我的理由是……”“我是這樣想的”“我能用圖表說(shuō)明”等句式要求學(xué)生“說(shuō)理”，繪出“數(shù)形結(jié)合”的析題、解題思路來(lái)體現(xiàn)“說(shuō)理”。又如，采取應(yīng)用式說(shuō)理進(jìn)行現(xiàn)實(shí)情境化命題，依核心素養(yǎng)，按年級(jí)序列化，定期開(kāi)展說(shuō)理現(xiàn)場(chǎng)展評(píng)活動(dòng)，并制定相應(yīng)的說(shuō)理評(píng)價(jià)表進(jìn)行表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視、數(shù)學(xué)能力可見(jiàn)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)可測(cè)。

四、結(jié)語(yǔ)

促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要內(nèi)容[19]。相比于其他教學(xué)主張與模式，說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)突出以思維為核心，強(qiáng)調(diào)基于情境的核心問(wèn)題提出、層級(jí)分析與探究驅(qū)動(dòng)，通過(guò)“說(shuō)”的探究與交流過(guò)程來(lái)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與應(yīng)用，這顯然有利于推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。設(shè)計(jì)與實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，將不同表達(dá)方式的說(shuō)理類型與教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)優(yōu)勢(shì)相匹配，并有效應(yīng)用于教學(xué)前、教學(xué)中、教學(xué)后一體化的說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)模型之中，使數(shù)學(xué)教學(xué)彰顯出目標(biāo)內(nèi)容方法的整體性與關(guān)聯(lián)化、學(xué)習(xí)過(guò)程的探究性與思維可視化、教學(xué)評(píng)一致的結(jié)構(gòu)性與全程化、面向?qū)W生的通用性與個(gè)性化等諸多特點(diǎn)。后續(xù)的研究中，有待基于小學(xué)說(shuō)理式數(shù)學(xué)教學(xué)模型發(fā)展出不同的變式與流程，并設(shè)計(jì)可行有效的“說(shuō)理”評(píng)價(jià)量規(guī)，以此導(dǎo)航說(shuō)理的過(guò)程、檢驗(yàn)說(shuō)理的質(zhì)量；有待聚焦大概念、關(guān)鍵能力與社會(huì)責(zé)任進(jìn)行素養(yǎng)化的整體性說(shuō)理活動(dòng)設(shè)計(jì)，探索出促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高質(zhì)量發(fā)展的新路徑。