林丹蘭

摘 要：數(shù)學(xué)是一門(mén)集抽象性與邏輯性于一體的學(xué)科，在學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中發(fā)揮著不可小覷作用。高中數(shù)學(xué)教師在新課程改革下要在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入核心素養(yǎng)，鍛煉學(xué)生思維能力與解決問(wèn)題能力，切實(shí)提升學(xué)生綜合素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)基于對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)充分理解與深入把握的基礎(chǔ)上，采取針對(duì)性的培養(yǎng)方法。為給高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)提供參考，文章探討教學(xué)實(shí)踐中直觀想象以及邏輯推理的培養(yǎng)思路與方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);教學(xué)策略

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1673-8918（2022）17-0099-04

新課程改革對(duì)課堂教學(xué)提出比以往更高的要求和標(biāo)準(zhǔn)。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)列為重點(diǎn)目標(biāo)。其中直觀想象以及邏輯推理是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，實(shí)踐中應(yīng)正確處理其兩個(gè)素養(yǎng)與教學(xué)之間的關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到提升兩個(gè)核心素養(yǎng)的重要價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)以及核心素養(yǎng)的雙重提升。

一、 基于學(xué)科特征 培養(yǎng)學(xué)生直觀想象

直觀想象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，即借助空間想象與幾何直觀感知事物形態(tài)與變化，同時(shí)運(yùn)用圖形等空間形式高效理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。換言之，直觀想象即幾何直觀與空間想象結(jié)合。另外，數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)科主要研究對(duì)象，二者緊密相依，其中可用數(shù)描述形，或用數(shù)展示形的特征。

具體可從以下方面著手：首先，基于核心素養(yǎng)層面理解直觀想象。數(shù)學(xué)教師只有自身深刻理解直觀想象才能運(yùn)用正確理念驅(qū)使正確教學(xué)行為，促使學(xué)生形成直觀想象素養(yǎng)。直觀想象包括空間想象與幾何直觀，形是直觀想象的直接研究對(duì)象，數(shù)則是研究形的輔助工具。與此同時(shí)直觀想象還具有以下關(guān)系，即幾何直觀所描述的幾何圖形均為學(xué)生觀察后所形成的直觀感悟，空間想象即學(xué)生在幾何直觀基礎(chǔ)上構(gòu)建的全新圖形，對(duì)此，可將幾何直觀理解為空間想象的基礎(chǔ)，空間想象則可理解為對(duì)幾何直觀思維的延伸，故而只有明確二者的邏輯關(guān)系才能高效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，并認(rèn)識(shí)到直觀想象能提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，逐漸形成良好的創(chuàng)新意識(shí)、思維習(xí)慣與應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)，從而欣賞與眾不同的數(shù)學(xué)美。

例如：求一個(gè)正四面體外接球的體積與表面積。（如圖1所示）由于要明確球心位置與球的半徑，多數(shù)學(xué)生會(huì)看到難度較大，難以尋找到解題切入點(diǎn)。究其原因，在于學(xué)生缺乏幾何模型，若大腦中存在相對(duì)清晰的正方體模型，就可將正四面體還原至正方體中（如圖2所示），上述就是幾何直觀效果。學(xué)生只要具備直觀清晰的正方體模型就可基于此直觀展開(kāi)想象，那么正方體中就會(huì)有正四面體，有效突破解題困境。

其次，注重啟發(fā)學(xué)生智慧。直觀想象能力在學(xué)生解題中發(fā)揮著不可小覷作用，無(wú)論從核心素養(yǎng)培養(yǎng)層面或應(yīng)試層面分析都有著顯著價(jià)值，因此，教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)在例題講解中給予學(xué)生啟發(fā)，更好地激活其思維，鍛煉其智慧。

例如：如圖3分別取正方體ABCD-A1B1C1D1各面的中點(diǎn)，形成一個(gè)八面體，則該八面體的內(nèi)切球的體積與正方體外接球的體積之比為（? ）

A. 1∶8

B. 1∶9

C. 1∶27

D. 1∶24

取八面體的上半部分為研究對(duì)象，如圖4所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則底面正四邊形的邊長(zhǎng)EF=2，其中點(diǎn)M為內(nèi)切球的球心，MN=22。側(cè)面正三角形的邊長(zhǎng)PE=PF=2，易求得側(cè)面上的高PN的長(zhǎng)為62。設(shè)T為八面體內(nèi)切球和面PEF的切點(diǎn)，則T落在PN上，連接MT，易得MT⊥PN，則△PMN∽△PTM，則PM/PN=MT/MN，可得MT=33，其即為正八面體內(nèi)切球的體積。圖4

正方體外接球的半徑為3，因此，對(duì)應(yīng)的比值為1∶27，選擇C項(xiàng)。

通過(guò)該例題的講解既能很好的鍛煉學(xué)生的空間想象能力，又能很好地啟發(fā)其在以后分析立體幾何問(wèn)題時(shí)可通過(guò)分割選擇恰當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象，以降低分析問(wèn)題的難度，提高解題效率。

最后，組織學(xué)生開(kāi)展專(zhuān)題訓(xùn)練活動(dòng)。直觀想象核心素養(yǎng)涉及的內(nèi)容較多，其中建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路是直觀想象素養(yǎng)的重要內(nèi)容。教學(xué)實(shí)踐中為更好的提高學(xué)生的這一素養(yǎng)，在講解相關(guān)理論以及例題后應(yīng)注重組織學(xué)生開(kāi)展專(zhuān)題訓(xùn)練活動(dòng)，使其更好地掌握形向數(shù)以及數(shù)向形轉(zhuǎn)化的思路，積累數(shù)形結(jié)合的技巧。

（一）由形向數(shù)的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

由形向數(shù)的轉(zhuǎn)化在平面幾何中的思路為建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。在立體幾何中則需要空間直角坐標(biāo)系，同樣需要運(yùn)用坐標(biāo)表示出圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，而后借助向量運(yùn)算求解相關(guān)問(wèn)題。高中階段由形向數(shù)的轉(zhuǎn)化主要體現(xiàn)在借助空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何問(wèn)題上，因此訓(xùn)練過(guò)程中需做好相關(guān)習(xí)題的設(shè)計(jì)。

例如：如圖5，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1的邊界及內(nèi)部移動(dòng)，且滿足D1O⊥OP，則異面直線D1P和AB所成角的余弦的最大值為??? 。

題干中并未直接給出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，因此需要通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行合理的假設(shè)，化形為數(shù)進(jìn)行解決。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6所示。對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），O（1，1，0），則D1O=（1，1，-2），AB=（0，2，0）。假設(shè)P（a，2，b），a、b∈[0，2]，由D1O⊥OP可得到D1O·OP=0，而OP=（a-1，1，b），即，a-1+1-2b=0，即，a=2b，則P（2b，2，b）。在側(cè)面A1D1DA內(nèi)取一點(diǎn)O，使得QP∥AB，易得Q（2b，0，b），容易得到△D1QP為直角三角形，則|cos〈D1P，AB〉|=|cos〈QP，PD1〉|=|QP|/|PD1|，|QP|=2，PD1=（-2b，-2，2-b），|PD1|=4b2+4+b2+4-4b=5b2-4b+8，由二次函數(shù)可知，|PD1|min=365，則異面直線D1P和AB所成角的余弦的最大值為2365=53。59A921FD-515D-4292-9CD5-7A3F6E01CED4

解答上述立體幾何習(xí)題采用構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系的方法將形轉(zhuǎn)化為數(shù)。結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)通過(guò)數(shù)的運(yùn)算求解幾何問(wèn)題，如此可迅速地找到解題切入點(diǎn)，確保問(wèn)題得以順利、有效地解決。

（二）由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化主要通過(guò)對(duì)數(shù)的深入理解，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的幾何圖形，運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題。解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)應(yīng)注重增強(qiáng)由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化意識(shí)，通過(guò)對(duì)數(shù)巧妙的處理，化抽象為直觀，降低解題的難度。組織學(xué)習(xí)者開(kāi)展訓(xùn)練活動(dòng)時(shí)，可向其展示如下問(wèn)題，要求其思考作答。

例如，已知定義在R上的增函數(shù)f（x）滿足y=f（x-1）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，若不等式 f（16-x2）+f（23-k（x+2））≤0的解集為區(qū)間[a，b]，且b-a=2，則k的值為??? 。

該題以函數(shù)為背景求k的值，較為抽象。解題的關(guān)鍵在于能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，將數(shù)轉(zhuǎn)化為形。由y=f（x-1）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù) f（x）的圖像關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)，而f（x）是R上的增函數(shù)，因此，函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)且遞增。由 f（16-x2）+f（23-k（x+2））≤0，可得f（16-x2）≤-f（23-k（x+2））=f（-23+k（x+2）），即，16-x2≤k（x+2）-23的解集區(qū)間為[a，b]，且b-a=2。其中y=16-x2的圖像為圓心在原點(diǎn)半徑為4的圓的上半部分，

y=k（x+2）-23是過(guò)定點(diǎn)（-2，-23）的直線。在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=16-x2和y=k（x+2）-23的圖像，如圖7所示。

由圖并結(jié)合已知條件可得b=4，而b-a=2，則a=2，即，直線和半圓的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，N（2，23），則k=（23+23）/4=3。

通過(guò)上述習(xí)題的解答可知，數(shù)的問(wèn)題較為抽象，基于對(duì)數(shù)規(guī)律的分析，積極聯(lián)系相關(guān)圖形化數(shù)為形，便可直觀地揭示出數(shù)的邏輯關(guān)系，真正地達(dá)到化抽象為具體，迅速破題的目標(biāo)。

二、 基于學(xué)科特征 培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維

邏輯推理能力為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)之一，除了能幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成良好邏輯思維，更能在一定程度上優(yōu)化學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力與抽象思維等核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生潛在探究數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中可圍繞核心素養(yǎng)目標(biāo)從多方面培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，引領(lǐng)學(xué)生基于客觀事實(shí)與邏輯規(guī)則，準(zhǔn)確、迅速推理和判斷數(shù)學(xué)核心問(wèn)題，促使全面理解和掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，強(qiáng)化核心素養(yǎng)。

具體從以下方面著手：

首先，注重夯實(shí)基礎(chǔ)。教師在教學(xué)過(guò)程中需不斷增強(qiáng)概念教學(xué)。數(shù)學(xué)教師在訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維時(shí)需注重夯實(shí)其基礎(chǔ)，只有學(xué)生掌握基礎(chǔ)概念才能基于抽象思維對(duì)概念進(jìn)行深入分析，提高學(xué)習(xí)效率。

例如：m=12為直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）+x（m+2）y-3=0相互垂直的何種條件（? ）

A. 充分不必要條件

B. 充分必要條件

C. 必要不充分條件

D. 既不充分也不必要條件

數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中先讓學(xué)生了解直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）+x（m+2）y-3=0相互垂直的概念，學(xué)生只有了解該條件成立的因素才能解題。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)概念得知，若兩條直線均存在斜率，其斜率之積為-1。若其中一條直線不存在斜率，另一條直線斜率為0。根據(jù)概念分析上述題目，若讓直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，則當(dāng)m=12時(shí)，兩條直線斜率乘積為-1，或當(dāng)m=-2時(shí)，兩條直線一條斜率為0，則另一直線不存在斜率。所以當(dāng)m=12時(shí)，兩條直線為相互垂直形態(tài)，然而當(dāng)兩條直線相互垂直時(shí)m=12或m=-2，正確答案為A。

其次，發(fā)揮學(xué)生想象力。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)對(duì)學(xué)生想象力進(jìn)行培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)結(jié)合自身想象力展開(kāi)邏輯推理。若假設(shè)正確可繼續(xù)沿著該思路解題，反之則需及時(shí)調(diào)整解題思路。在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力時(shí)可先為學(xué)生設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生觀察探究問(wèn)題并以此為前提展開(kāi)假設(shè)，激發(fā)學(xué)生想象力。還要在此基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比和歸納，鼓勵(lì)學(xué)生表述自身猜想，驗(yàn)證所學(xué)知識(shí)，得出正確結(jié)論。

例如，在學(xué)習(xí)猜想空間中四面體性質(zhì)時(shí)，數(shù)學(xué)教師先行導(dǎo)入勾股定理與平面直角三角形等知識(shí)，促使學(xué)生猜測(cè)性質(zhì)，再運(yùn)用此方法提高學(xué)生的邏輯推理能力。

圖8（a）為直角三角形，圖8（b）四面體的三個(gè)面相互垂直，側(cè)面ABC、ACD、ADB的面積分別為S1、S2、S3，底面BCD的面積為S。課堂上讓學(xué)生認(rèn)真觀察圖片，結(jié)合勾股定理知識(shí)對(duì)四面體提出假設(shè)。教師讓學(xué)生以小組合作的形式相互討論分析，必要時(shí)給予學(xué)生相應(yīng)的提示和點(diǎn)撥。學(xué)生根據(jù)Rt△ABC中a2+b2=c2，直接類(lèi)比推導(dǎo)四面體A-BCD中S21+S22+S23=S2。再在此之后讓學(xué)生驗(yàn)證猜想并得出結(jié)論，學(xué)生會(huì)感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂(lè)趣，不斷強(qiáng)化邏輯推理能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

再次，展示例題。為更好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)，使其把握邏輯推理的切入點(diǎn)，養(yǎng)成尊重事實(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)推理的良好習(xí)慣，給其以后更好地解題提供參考，教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重與學(xué)生一起分析具有代表性的例題，展示邏輯推理的具體過(guò)程，使其更好地把握邏輯推理的關(guān)鍵。在進(jìn)行數(shù)列知識(shí)教學(xué)時(shí)可為學(xué)生講解如下例題：

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=6，an+1=54an+34a2n-2，n∈N*，其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S2020的個(gè)位數(shù)字為（? ）

A. 6B. 5C. 2D. 1

解答該題不僅需要充分理解[x]表示的含義，而且需要從給出的已知條件嘗試著進(jìn)行歸納推理。根據(jù)數(shù)列中的首項(xiàng)以及an+1和an的關(guān)系進(jìn)行推理。根據(jù)題意不難得出，a2=11，a3=21，a4=41，a5=81，…，an+1=54an+34a2n-2<54an+34an=2an，歸納可知，從第2項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)的個(gè)位數(shù)均為1，因此，S2020=6+（2020-1）=2025，個(gè)數(shù)數(shù)字是5，選擇B項(xiàng)。59A921FD-515D-4292-9CD5-7A3F6E01CED4

實(shí)踐中通過(guò)在課堂上為學(xué)生展示推理過(guò)程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到歸納推理的具體步驟，啟發(fā)其在以后解答數(shù)列類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情境先寫(xiě)出前幾項(xiàng)，而后歸納出相關(guān)規(guī)律，如此可取得事半功倍的解題效果。

最后，鼓勵(lì)總結(jié)。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)是一個(gè)非常緩慢的過(guò)程，因此實(shí)踐中不能急于求成，應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容安排好培養(yǎng)工作進(jìn)度，尤其應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生做好邏輯推理的總結(jié)，把握不同問(wèn)題邏輯推理的相關(guān)思路，以及對(duì)應(yīng)邏輯推理方法適用的問(wèn)題類(lèi)型，避免在以后的推理過(guò)程中走彎路。例如在講解導(dǎo)數(shù)知識(shí)后，可為學(xué)生展示如下習(xí)題：

已知實(shí)數(shù)x>1，y∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若exlnx+eyA. eylnx>eB. eylnx