韓 魯，宋志強(qiáng)，王 飛，劉云賀

(西安理工大學(xué)省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室，陜西，西安 710048)

地震動輸入[1?4]是結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析和抗震安全[5?7]研究的前提。目前，地震動輸入多是在均質(zhì)基巖組成的半無限地基中構(gòu)建地震動空間自由場[8?10]。對于覆蓋層場地，由于地震波經(jīng)過基巖-覆蓋層界面時的透射、到達(dá)覆蓋層地表時的反射以及土層介質(zhì)阻尼造成的幅值衰減作用，使得覆蓋層場地地震動場明顯區(qū)別于均質(zhì)基巖地基自由場[11]。開展基巖-覆蓋層場地地震動特征及空間自由場構(gòu)建研究，對于覆蓋層地基地震動輸入及其上建筑物地震響應(yīng)研究具有重要意義。

目前，關(guān)于場地效應(yīng)的研究中，垂直入射假定應(yīng)用最為廣泛[12?13]。Mehdi等[14]假定地震波從基巖垂直入射至地表，使用改進(jìn)的直接有限元法對高拱壩-水庫-地基進(jìn)行了非線性地震分析。但在近場地震中，地震波往往是以一定角度斜入射至地表[15?18]。孫緯宇等[19]研究了河谷地形在SV波斜入射下的場地效應(yīng)，結(jié)果表明：斜入射條件下場地效應(yīng)受入射角影響且與垂直入射有明顯差異。García等[20]研究表明：SV波和P波斜入射下拱壩的地震反應(yīng)明顯大于垂直入射的地震反應(yīng)。同時，大量的研究將場地簡化為均質(zhì)半無限彈性空間[21?23]，以此推導(dǎo)地震波在場地中的傳播規(guī)律并分析場地效應(yīng)，如黃博等[24]基于半無限彈性空間研究SV波斜入射形成的動應(yīng)力路徑；Pelli等[25]采用線彈性模型研究了具有空腔的半平面空間在SV波作用下的應(yīng)力場和變形場。但由于覆蓋層[26]和基巖的材料力學(xué)特性存在明顯差異，將基巖-覆蓋層場地視為均質(zhì)半無限彈性空間并不合理，根據(jù)場地條件分別賦予覆蓋層和基巖不同的材料參數(shù)，考慮地震波經(jīng)過基巖-覆蓋層界面時的透射、到達(dá)覆蓋層地表時的反射[27]更符合實際。地震波在覆蓋層傳播時會發(fā)生幅值衰減，將場地視為彈性介質(zhì)會忽略這一因素，因而需引入新的參數(shù)以考慮由覆蓋層引起的幅值衰減[28]。此外，當(dāng)?shù)卣鸩ńM合斜入射時，由于場地不同空間點波場組合疊加方式不同，場地地震動具有空間非一致性[29]，何衛(wèi)平等[30]考慮地震波組合效應(yīng)獲得了具有空間差異性的均質(zhì)基巖場地自由場，并研究場地地震動的空間非一致性對重力壩響應(yīng)的影響。目前，尚未見關(guān)于基巖-覆蓋層場地地震動空間自由場構(gòu)建及空間非一致特性研究。

因此，本文提出了一種基于覆蓋層地表設(shè)計地震動的基巖-覆蓋層場地空間差異自由場構(gòu)建方法。首先建立了覆蓋層場地空間任一點地震動與入射SV波和P波的關(guān)系式，其次根據(jù)覆蓋層地表控制點兩向設(shè)計地震動和入射角獲得入射SV波和P波的時程，進(jìn)而分析地震波在覆蓋層場地經(jīng)多次反射的傳播路徑，引入阻尼比考慮衰減作用，最終構(gòu)建了基巖-覆蓋層場地空間自由場，并采用美國La Cienega場地實際臺陣記錄進(jìn)了驗證。

1 SV波、P波組合斜入射下的自由場

1.1 入射波在彈性分界面的透射及反射

由于SV波和P波在覆蓋層和基巖的傳播速度不同，其在覆蓋層和基巖的彈性分界面上均會產(chǎn)生透射SV波、透射P波、反射SV波和反射P波。另一方面，當(dāng)SV波和P波傳播到覆蓋層自由表面時，由于自由表面以上不存在傳播介質(zhì)，因此只會產(chǎn)生反射波SV波和P波。SV波和P波在彈性分界面和自由表面的透射和反射關(guān)系如圖1。根據(jù)彈性分界面的位移和應(yīng)力連續(xù)條件及斯奈爾定律，可以得到SV波在彈性分界面的透射和反射系數(shù)的矩陣如式(1)，P波在彈性分界面的透射和反射系數(shù)的矩陣形式如式(2)。

圖1 SV波和P波的透射和反射關(guān)系Fig. 1 Relationship between transmission and reflection of SV and P waves

式中：ρ1和ρ2分別為基巖和覆蓋層的密度；νS1和νP1分別為SV波和P波在基巖中的傳播速度；νS2和νP2分別為SV波和P波在覆蓋層中的傳播速度。SV波入射時，β1和α1分別SV波和P波在基巖中的反射角；β2和α2分別SV波和P波在覆蓋層中的反射角；RSS、RSP、TSS、TSP分別為反射SV波、反射P波、透射SV波、透射P波的系數(shù)。P波入射時，符號表示與SV波入射相似，不再贅述。

1.2 入射波在自由表面的反射

根據(jù)覆蓋層自由表面應(yīng)力為零的邊界條件及斯奈爾定律可以得到SV波和P波在自由表面的反射系數(shù)如式(3)。

1.3 自由場任意空間點位移分量表達(dá)

地震波在彈性分界面和自由表面的每一次反射都會產(chǎn)生兩種反射波，隨著反射次數(shù)的增多，反射波的數(shù)量也呈幾何式上升。對于任意空間點，經(jīng)過該點的反射波有無數(shù)條，每一條對該點地震動的貢獻(xiàn)程度不同，隨著反射次數(shù)的增加，反射波幅值逐漸減小，當(dāng)反射次數(shù)超過某一數(shù)值時，反射波幅值減小至可以忽略不計。在確定入射波信息和入射角后，根據(jù)空間點的位置和波速計算到達(dá)該點的所有反射波及其延時效應(yīng)，由地震波的疊加理論可以獲得空間點的位移分量。設(shè)入射P波的時程為g(t)，入射SV波的時程f(t)。

若空間點位于覆蓋層自由表面，則其反射次數(shù)只能為偶數(shù)，圖2表示SV波入射時到達(dá)自由表面空間點的地震波傳播路徑。以S和P分別表示SV波和P波。當(dāng)反射次數(shù)為0時，有SS和SP 2條地震波；當(dāng)反射次數(shù)為2時，有SSSS、SSSP、SSPS、SSPP、SPSS、SPSP、SPPS、SPPP8條地震波；以此類推，當(dāng)反射次數(shù)為m時，由SV波入射產(chǎn)生的一系列地震波有2m+1條，其中到達(dá)空間點的P波和SV波各2m條。P波入射的情況與SV波入射相似，在此不再贅述。由圖1和圖2中的幾何關(guān)系可以得到自由場任意空間點位移分量的表達(dá)式，如式(4)和式(5)。

圖2 SV波入射時自由表面空間點的地震波傳播路徑Fig. 2 Propagation path of seismic waves at a point on free surface when SV wave is incident

若空間點位于覆蓋層內(nèi)，則其反射次數(shù)為自然數(shù)。圖3表示SV波入射時到達(dá)覆蓋層內(nèi)空間點的地震波傳播路徑?？梢钥闯?，反射次數(shù)為偶數(shù)代表反射波從空間點下方入射，反射次數(shù)為奇數(shù)代表反射波從空間點上方入射。由圖3中的幾何關(guān)系可以得到自由場任意空間點位移分量的表達(dá)式，如式(6)和式(7)。

圖3 SV波入射時覆蓋層內(nèi)空間點的地震波傳播路徑Fig. 3 Propagation path of seismic waves at a point in overburden when SV wave is incident

2 基于設(shè)計地震動的自由場構(gòu)建

2.1 入射SV波、P波時程的求解

目前大多數(shù)研究是直接采用地表地震動作為入射波進(jìn)行輸入，而基于設(shè)計地震動的自由場構(gòu)建首先要由控制點時程(即設(shè)計地震動)反演入射P波和SV波的時程和入射角等信息。以往的研究大多依據(jù)地表地震動水平分量進(jìn)行一維反演(即取基巖入射波峰值加速度為地表峰值加速度的一半)輸入。顯然，根據(jù)覆蓋層表面地震動進(jìn)行二維反演獲得入射SV波和P波的信息，再根據(jù)SV波和P波得到空間自由場，進(jìn)而完成地震動波動輸入更為合理。該過程可保證控制點時程與設(shè)計地震動在水平和豎直兩向均是一致的。由式(4)和式(5)可以得到地表的兩向設(shè)計地震動與入射SV波和P波的關(guān)系式，如式(8)和式(9)：

在時域上難以直接由式(8)和式(9)求入射波時間歷程f(t)和g(t)，但通過傅里葉變化可將式(8)和式(9)轉(zhuǎn)化為頻域的方程：

式中：h(ω)和v(ω)分別為水平向時程h(t)和豎直向時程v(t)的傅里葉變換；f(ω)和g(ω)分別為SV波時程f(t)和P波時程g(t)的傅里葉變換。應(yīng)用式(10)和式(11)即可求解出f(ω)和g(ω)，再根據(jù)傅里葉逆變換即可獲得SV波和P波的時間歷程。

2.2 入射角度的求解

入射角對地震動的影響很大，確定合理的入射角是構(gòu)建自由場的另一重要步驟。在實際地震中，水平向地震動一般受SV波影響較大，豎直向地震動一般受P波影響較大，同時P波往往相較SV波更早到達(dá)地面。因而可以通過地表水平向地震動和豎直向地震動的平均幅值的比值來確定SV波和P波的主要貢獻(xiàn)時段，并在SV波和P波的主要貢獻(xiàn)時段內(nèi)分別確定SV波和P波的入射角，如圖4。

圖4 兩向地震動的平均幅值比Fig. 4 Average amplitude ratio of two directional ground motions

平均幅值的計算如式(12)所示。

式中：將地震持續(xù)時間劃分為N段時窗；Mi為時窗i的平均幅值；l為一個時窗內(nèi)數(shù)據(jù)點的個數(shù)；T1、T2分別為每個時窗的起始和終止時刻；a(t)為加速度時程。

在SV波主要貢獻(xiàn)時段，記水平向的地震動平均峰值(正負(fù)峰值絕對值的平均)為PSV-h，豎直向地震動平均峰值為PSV-v。在P波主要貢獻(xiàn)時段，記水平向的地震動平均峰值為PP-h，豎直向地震動平均峰值為PP-v。則SV波和P波入射角可用式(13)和式(14)表示：

2.3 地震波幅值衰減的影響

地震波在覆蓋層中傳播時，覆蓋層有著明顯的隔震作用，即地震波在覆蓋層中傳播相較基巖幅值有明顯的衰減，并且對于高頻部分，其幅值衰減更加明顯。為了考慮覆蓋層對地震波的衰減作用，假設(shè)覆蓋層是具有粘性的介質(zhì)，引入阻尼比，地震波在傳播過程中的衰減作用[31]可用式(15)表示：

式中：A為考慮衰減后的幅值；A0為未考慮衰減的幅值；z為地震波在覆蓋層中傳播路徑的長度；k反映隨著傳播路徑長度的增大，振幅衰減的快慢程度，可用式(16)表示：

式中：v為入射波速；λ為阻尼比；ω為入射波的頻率。不同覆蓋層對地震波衰減的影響不同，故應(yīng)采取合適的阻尼比來考慮覆蓋層的衰減作用。阻尼比由試驗或根據(jù)場地條件和工程經(jīng)驗確定，可在一定合理的范圍據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行調(diào)整，以減小土體非線性、不均勻性等因素的影響。此外，地震波的頻率組成是復(fù)雜的，因而需將地震波時間歷程利用傅里葉變換轉(zhuǎn)化為頻譜，然后將每一頻率下的k依次求出并代入式(15)得到該頻率衰減后的幅值，再利用傅里葉逆變換即可求得衰減后的時間歷程。式(16)也可以簡化處理，由于實際地震中與場地頻率接近的部分受場地的影響較大，因而可以取ω為場地的固有頻率。

2.4 自由場構(gòu)建流程

由式(13)和式(14)獲得SV波和P波的入射角，由式(10)和式(11)及傅里葉變換和逆變換獲得入射SV波和P波的時間歷程，根據(jù)式(4)～式(7)即可得到任意空間點在SV波、P波組合斜入射作用下的地震動。圖5為本文計算方法的流程圖。

圖5 本文計算方法的流程圖Fig. 5 Flow chart of calculation method in this paper

3 自由場構(gòu)建算例分析

3.1 覆蓋層場地實測地震動的選取及計算模型

為了驗證本文方法的準(zhǔn)確性，以一臺陣的實測地震動作為設(shè)計地震動構(gòu)建自由場并與其它測點對比分析。La Cienega臺陣位于美國南加州，該臺陣地表海拔為26 m，在地下0 m、18 m、100 m、252 m共布置4個測點，根據(jù)地表(0 m)處的實測地震動獲得入射SV波和P波，由入射波建立的自由場與其他測點的實測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比驗證本文方法的可行性。La Cienega臺陣地表125 m深度內(nèi)的橫波波速VS和縱波波速VP分布如圖6所示，由該臺陣沿深度方向的剪切波速可認(rèn)為100 m深度下的地質(zhì)為基巖[32]。其100 m深度內(nèi)的等效剪切波速為490 m/s，等效壓縮波速為1626 m/s，土層飽和密度為1.99 g/cm3；100 m深度下的剪切波速為650 m/s，壓縮波速為1900 m/s，土層飽和密度為2.10 g/cm3。該臺陣在一次地震事件中0 m處的實測位移時間歷程如圖7，依據(jù)式(13)和式(14)確定SV波入射角為14°，P波入射角為57°。

圖6 La Cienega臺陣VS和VP沿深度的分布Fig. 6 La Cienega array VS and VP distribution along depth

圖7 0 m處地震波實測數(shù)據(jù)Fig. 7 Measured seismic data at 0 m

3.2 覆蓋層底部入射的P波、SV波

由入射角和實測地表兩向地震動獲得入射SV波和P波的位移時程，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯觯琒V波與水平向位移時程更為相似，而P波與豎直向位移時程相似，這表明水平向地震動主要由SV波引起，而豎直向地震動主要由P波引起。

圖8 入射波位移時程Fig. 8 Time history of incident wave displacement

圖9為SV波和P波分別對0 m位置處的水平向位移和豎直向位移的貢獻(xiàn)值。根據(jù)SV波和P波在兩向位移分量上的峰值位移可初步確定SV波和P波對兩向位移的貢獻(xiàn)百分比。SV波對水平位移的貢獻(xiàn)占主要作用，達(dá)到75%；P波對豎直位移的貢獻(xiàn)占主要作用，其對豎直向位移的貢獻(xiàn)達(dá)到80%。

圖9 SV波和P波對0 m位置處兩向位移的貢獻(xiàn)Fig. 9 Contribution of SV waves and P waves to two directional displacements at 0 m

3.3 自由場空間特征點地震動

由入射SV波和P波及其入射角建立La Cienega臺陣在本次地震事件中的空間自由場，預(yù)測各個測點的位移時程及位移傅立葉譜并與實測數(shù)據(jù)對比。圖10～圖12分別為0 m、18 m、100 m深度處預(yù)測與實測的地震動數(shù)據(jù)對比情況，由圖10～圖12可以看出，預(yù)測的位移與實測位移幅值基本一致，但在極少時間段下預(yù)測與實測位移幅值存在差異。將三個位置處的峰值位移匯總?cè)绫?，可見本文預(yù)測的峰值位移與實測數(shù)據(jù)誤差不超過10%，結(jié)果良好。

圖10 0 m處實測地震波與預(yù)測地震波數(shù)據(jù)Fig. 10 Measured seismic wave and predicted seismic wave data at 0 m

圖11 18 m處實測地震波與預(yù)測地震波數(shù)據(jù)Fig. 11 Measured seismic wave and predicted seismic wave data at 18 m

圖12 100 m處實測地震波與預(yù)測地震波數(shù)據(jù)Fig. 12 Measured seismic wave and predicted seismic wave data at 100 m

表1 峰值位移誤差Table 1 Peak displacement errors

對比預(yù)測和實測的位移傅里葉譜可以看到，除100 m位置的豎直向傅里葉譜在0.1 Hz～1 Hz誤差相對較大，其它位置的預(yù)測與實測傅里葉譜基本一致。原因在于選取0 m處的實測地震波作為控制點，而入射波信息是基于控制點的時程確定的，因而距離控制點越深，受覆蓋層影響越大，其誤差也越大?？梢姡疚奶岢龅挠嬎惴椒梢栽谝欢ǔ潭壬戏从车卣鸩ㄔ诟采w層場地的傳播規(guī)律，并保證計算的自由場中控制點的兩向時程與設(shè)計地震動一致。

3.4 自由場的空間差異性

圖13給出了以0 m為中心1000 m范圍內(nèi)兩向峰值加速度在不同水平位置的差異性，可以看出，兩向峰值加速度沿水平位置存在明顯的差異，水平向峰值加速度變化達(dá)到10%，豎直向峰值加速度變化達(dá)到15%。

圖13 兩向峰值加速度沿水平位置的差異Fig. 13 Difference of two directional peak accelerations along horizontal position

圖14為上述自由場中(0, 0) m、(500, 50) m、(1000, 100) m三個不同空間位置的位移時程?？梢钥闯?，無論水平位移還是垂直位移，三點的時間歷程都是不同的，不僅存在時滯效應(yīng)，而且還存在振幅的變化。因此，本文建立的自由場存在明顯的空間差異。

圖14 兩向位移的空間差異性Fig. 14 Spatial difference in displacement in two directions

4 結(jié)論

本文基于覆蓋層地表水平和豎直兩向設(shè)計地震動獲得基巖組合入射SV波和P波，實現(xiàn)了基巖-覆蓋層場地空間二維自由場構(gòu)建。

(1)該方法的優(yōu)點在于SV波和P波信息由控制點的設(shè)計地震動反演得到，理論依據(jù)充分，同時實現(xiàn)構(gòu)建的自由場中控制點的時程與設(shè)計地震動在水平和豎直方向上一致。

(2)通過La Cienega場地實測臺陣記錄，驗證了本文自由場構(gòu)建方法的正確性。構(gòu)建的基巖-覆蓋層場地空間自由場任意點水平和豎直兩向地震動時程具有空間非一致性，依據(jù)入射SV波、P波結(jié)合地基人工邊界條件以及依據(jù)本文方法確定的空間點自由場時程可以實現(xiàn)覆蓋層-壩體系統(tǒng)的非一致地震動輸入。

(3)需要注意的是，本研究采用的為線彈性模型，引入阻尼比以考慮地震波在覆蓋層中的衰減作用，忽略了土體的非線性特性，在中弱地震作用下精度很好，對于強(qiáng)震作用下的自由場構(gòu)建，誤差可能會放大，此時需要考慮土體的非線性。目前，針對考慮土體非線性特性下地震波組合斜入射的有限元模擬問題已展開研究。