俞全波

[摘要]義務(wù)教育拓展型課程的開發(fā)注重的是方法的拓展和思維的拓展，目的是通過對(duì)拓展問題的解決，感悟數(shù)學(xué)解題策略.教學(xué)設(shè)計(jì)注重多樣性，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考、合作探究，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題.本課堂教學(xué)以幾何中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題的探究，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]拓展型課程;幾何直觀;問題探究;課堂教學(xué)

中學(xué)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)主要指學(xué)生應(yīng)具備的能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必要品格和關(guān)鍵能力.中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與三個(gè)方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新等六大素養(yǎng).在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，義務(wù)教育拓展性課程建設(shè)正在如火如荼地進(jìn)行，為培養(yǎng)學(xué)生的興趣和綜合素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性地發(fā)展，本著多樣性、層次性、綜合性、實(shí)踐性的基本原則，在各個(gè)年級(jí)滲透初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如幾何直觀、歸納推理能力等.鑒于此分析，數(shù)學(xué)拓展性課程的開發(fā)因著力于普及型課程與提高型課程兩方面，普及型課程的開發(fā)重點(diǎn)關(guān)注教材原有的性質(zhì)規(guī)律，結(jié)合生活實(shí)例做出合理解釋，重在培養(yǎng)學(xué)生興趣;提高型課程可選擇適當(dāng)內(nèi)容進(jìn)行拓展，重在培養(yǎng)學(xué)生的思維.本文以“軌跡問題”為例，對(duì)初中數(shù)學(xué)如何開發(fā)及開展拓展性課程做一些嘗試.

教學(xué)內(nèi)容的選擇和依據(jù)

拓展性課程的開發(fā)因以課本為本，教師能通過對(duì)教材的系統(tǒng)把控及學(xué)生思維的瓶頸提出較好的課題及教學(xué)目標(biāo).此類問題的選擇因側(cè)重于基本思想、基本技能的提升，讓學(xué)生能通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)不僅在知識(shí)上有所拓展，更重要的是能體會(huì)數(shù)學(xué)思想并把這一思想用于解決其他問題.因此，本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象設(shè)定為九年級(jí)學(xué)生.教學(xué)基礎(chǔ)是在他們學(xué)習(xí)了圓的基本性質(zhì)、弧長(zhǎng)計(jì)算公式、三角函數(shù)及相似三角形的情況下進(jìn)行的.課題定為“一類與中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題的探究”.

教學(xué)目標(biāo)：1.理解軌跡問題的含義，學(xué)會(huì)用畫圖猜想點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)一步運(yùn)用具體條件驗(yàn)證結(jié)論.

2.經(jīng)歷直觀感知——畫圖探究——科學(xué)驗(yàn)證的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

3.感受數(shù)學(xué)中靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的聯(lián)系，感受在數(shù)學(xué)變化中找不變的魅力.

教學(xué)重點(diǎn)：畫圖求軌跡并驗(yàn)證軌跡是圓弧還是線段.

教學(xué)難點(diǎn)：如何合理使用中點(diǎn)，如何在動(dòng)態(tài)中找不變的量（點(diǎn)、線、角等）是本節(jié)課的難點(diǎn).

教學(xué)過程的設(shè)計(jì)和說明

拓展性課程的編寫需思考如何促進(jìn)學(xué)生思維，一般從學(xué)生較熟悉的生活情景或者已有的教學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)，讓學(xué)生生成既熟悉又陌生的情愫，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)因有梯度性，讓不同層次的學(xué)生都能體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.同時(shí)，在教學(xué)形式上更應(yīng)注重多樣性，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考、主動(dòng)探究、合作交流，能大膽地用所學(xué)知識(shí)分析和解決生活問題，從而提升當(dāng)代中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（一）立足課本，提出問題：

在浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章“1.1銳角三角函數(shù)”有這樣一道練習(xí)：

如圖1所示，一根3m長(zhǎng)的竹竿AB斜靠在墻上，當(dāng)端點(diǎn)A離地面高度AC的長(zhǎng)為1m時(shí)，竹竿AB的傾斜角α的正切tanα的值是多少？當(dāng)端點(diǎn)A位于A′時(shí)，離地面的高度A′C為2m，傾斜角α′的正切tanα′的值是多少？tanα的值可以大于100嗎？

在該問題的基礎(chǔ)上作如下修改：

問題1：如圖2所示，一根長(zhǎng)為2m的木棒AB斜靠在墻角處，此時(shí)BC為1m，當(dāng)A點(diǎn)下滑至A′處并且A′C=1m時(shí)，木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為________m.

提出問題：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？

引出課題：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑問題是我們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，當(dāng)你遇到一個(gè)全新的路徑運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，到底如何尋求解題思路是我們這節(jié)課要解決的問題.今天就來研究一類與“中點(diǎn)”這一條件有關(guān)的路徑問題.

（二）探索路徑，發(fā)覺竅門

問題2：如圖3所示，AB為⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)C為圓上任意一點(diǎn)，D是線段AC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為________.

教學(xué)步驟：

1.要求學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，尋求解決問題的方法，教師根據(jù)學(xué)生提出的解決問題的辦法，進(jìn)行相應(yīng)指導(dǎo).

2.請(qǐng)同學(xué)展示探究路徑過程.根據(jù)觀察學(xué)生的解決過程，遵循特殊到一般的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從直觀感知——理性認(rèn)知——幾何辯證這樣的數(shù)學(xué)思考過程.

3.進(jìn)一步提出問題：題目中的關(guān)鍵條件是如何幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路徑是一段圓弧.在解決完這一問題之后，給今后的解決問題帶來哪些經(jīng)驗(yàn)？問題1和問題2的運(yùn)動(dòng)路徑都是圓弧，那么軌跡是圓弧的動(dòng)態(tài)圖形必須具備怎樣的幾何特征？

本題有多種說明該軌跡是圓弧的方法：

方法一：由點(diǎn)D是中點(diǎn)及垂徑定理可得，∠ADO是直角，則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑就是以AO為直徑的圓弧.

方法二：連接BC，由AB是直徑，得出∠ACB是直角，再根據(jù)點(diǎn)D、O分別是AC、AB中點(diǎn)得出DO是三角形ABC的中位線，則DO∥BC，則∠ADO是直角，則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑就是以AO為直徑的圓弧.

解決該問題的關(guān)鍵之一是在變化中找不變的量——即“動(dòng)中求靜”，關(guān)鍵之二是合理地運(yùn)用題目中的已知條件來解決問題.得出的一般結(jié)論是：軌跡為圓弧的幾何圖形中有定點(diǎn)及定長(zhǎng)，或者圖中有定角及定長(zhǎng).問題的本質(zhì)是：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離保持不變.

設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)該問題的研究，讓學(xué)生體會(huì)解決路徑問題的一般方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀畫圖感知到理性認(rèn)識(shí)的過程.并且初步體會(huì)中點(diǎn)在這一問題中的用途.在尋求問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生在變化中找不變，在動(dòng)態(tài)中找靜態(tài).

（三）運(yùn)用方法，解決問題

教學(xué)步驟：

1.要求學(xué)生根據(jù)問題1和問題2積累的經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立思考并尋求解決辦法，教師觀察學(xué)生解決問題的方法.

2.小組討論，通過猜想——驗(yàn)證——計(jì)算解決問題，并嘗試能用不同的方法解決這一問題，找到圖形與圖形之間的聯(lián)系.

3.課堂展示，請(qǐng)每個(gè)小組派代表展示小組學(xué)習(xí)成果并予以匯報(bào).

解決該問題的方法主要有以下幾種：

方法二：如圖6所示，取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC，取OC中點(diǎn)N，連接MN，則MN是△POC的中位線，則M的路徑是以N為圓心，MN長(zhǎng)為半徑的圓弧.

方法三：如圖7所示，連接AP，PB，由AB是直徑，則∠APB是直角，分別取AC，BC中點(diǎn)H，I，連接HM，MI，HI，則△PAB∽△MHI，則∠HMI是直角，而HI是定長(zhǎng)，則M點(diǎn)的路徑是以HI為直徑的圓弧.

方法四：如圖8所示，把該半圓補(bǔ)全，便可把問題轉(zhuǎn)化成問題2，思路同上.

（四）歸納總結(jié)，形成體系

1.軌跡是圓弧的幾何動(dòng)態(tài)圖形往往有何特點(diǎn)？

2.你是如何合理使用中點(diǎn)這一條件的？

僅僅作為知識(shí)傳遞的課程不具有拓展性，我們應(yīng)該把課程背后無限的可能拓開去、展開來.因此，能夠使學(xué)生具有拓展能力的課程才是真正的拓展性課程，并不是設(shè)置一類課程就叫拓展性課程.在解決問題之后，教師要求學(xué)生能自行總結(jié)軌跡問題是圓弧的幾何動(dòng)態(tài)圖形所具備的特征，即定點(diǎn)+定長(zhǎng)以及定角+定長(zhǎng)（本節(jié)課介紹90°角）.同時(shí)，針對(duì)以上問題中所出現(xiàn)的共同條件即“中點(diǎn)”這一條件，讓學(xué)生能對(duì)初中階段數(shù)學(xué)解題中能夠看到的中點(diǎn)問題作一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)，遵循了“源于課本，但高于課本”的原則.讓學(xué)生看到題目中的中點(diǎn)，能結(jié)合直角三角形，聯(lián)系到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理;在圓中，能結(jié)合中點(diǎn)考慮到垂徑定理;在等腰三角形中，能與等腰三角形三線合一這一定理相結(jié)合;同時(shí)，在一般的三角形中，能用中位線解決問題，或者構(gòu)造相關(guān)三角形解決問題等等，這些重要經(jīng)驗(yàn)的積累便是數(shù)學(xué)拓展課最為重要的價(jià)值，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下扎實(shí)基礎(chǔ).

教后反思及幾點(diǎn)思考

拓展性課程的開發(fā)注重的是方法論層面的拓展，而不是窄化意義上知識(shí)的拓展.數(shù)學(xué)學(xué)科強(qiáng)調(diào)不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)，不因知識(shí)過分強(qiáng)調(diào)往深往難拓展，這樣便失去了拓展課本該有的意義.

1.源于課本，“簡(jiǎn)約”而不簡(jiǎn)單

本節(jié)課從書本一個(gè)較簡(jiǎn)單的問題出發(fā)，合理地開發(fā)教材，對(duì)問題作適當(dāng)變式，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境下挖掘新的內(nèi)涵，立足課本、由淺至深、層層深入的教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)拓展課堂的簡(jiǎn)約化，簡(jiǎn)約不是簡(jiǎn)單的壓縮與簡(jiǎn)化，而是一種深廣的豐富，是寓“豐富”于“簡(jiǎn)單”之中.

2.注重提煉方法，積累經(jīng)驗(yàn)

拓展課的重要目的是通過對(duì)拓展問題的解決，感悟數(shù)學(xué)解題策略，提煉基本數(shù)學(xué)方法，從而達(dá)到學(xué)生能力的目的.本節(jié)課的設(shè)計(jì)緊緊抓住“在變化中找不變”這一原則，時(shí)刻抓住圖形的特征.在總結(jié)方法之后，話鋒回轉(zhuǎn)，抓住問題的本質(zhì)，把這類問題融會(huì)貫通，提高學(xué)生對(duì)該問題更深層次的理解.

3.注意思維轉(zhuǎn)換，拓展思維

拓展學(xué)生的思維，其實(shí)就是要讓學(xué)生固有的思維空間進(jìn)一步擴(kuò)大，就是要提高學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的靈活程度.從學(xué)生的實(shí)際情況看，拓展學(xué)生的思維，主要是通過提高學(xué)生的思維靈活能力和轉(zhuǎn)換能力來實(shí)現(xiàn)的.畢竟，對(duì)初中學(xué)生而言，其學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)都不足，思維能力也有待提高，要讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維的高度提升并不容易，而通過轉(zhuǎn)換的思維方式，也是可以實(shí)現(xiàn)的.

素質(zhì)教育要求學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合素養(yǎng)，思維能力就是其中最關(guān)鍵的素質(zhì)之一.初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生思維能力，為學(xué)生的發(fā)展奠定思想基礎(chǔ)的重任.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的需要，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的數(shù)學(xué)思想訓(xùn)練，有效地拓展學(xué)生的思維.數(shù)學(xué)方法是解決問題的手段和工具，而數(shù)學(xué)思維則是引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)行數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才算真正掌握了數(shù)學(xué).因此，數(shù)學(xué)思想方法的掌握，是建立在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)之上的.這就要求初中數(shù)學(xué)拓展課中，有效開展思維教學(xué)，從各方面拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生的綜合能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ)，這樣的拓展課開展才有意義.