劉啟函， 劉 靖， 葉國菊， 劉 尉

（河海大學(xué)理學(xué)院，南京 211100）

現(xiàn)實生活存在各種不確定信息，為了更好地表示這些信息并加以有效利用，Chang 和Zadeh［1］在概率函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了模糊數(shù)的概念. 此后，模糊數(shù)（1 維或n維模糊數(shù)）及其相關(guān)問題得到了廣泛研究與應(yīng)用［2-6］. 由于模糊數(shù)只通過隸屬度對不確定信息進行描述，而在實際問題求解中，隸屬度函數(shù)往往依據(jù)專家的主觀經(jīng)驗確定，即獲取方式不夠客觀，且本身就具有一定的不確定性. 為了精確地刻畫不確定信息，1986年保加利亞學(xué)者Atanassov［7］提出了直覺模糊集的概念，在隸屬度函數(shù)的基礎(chǔ)上引入了非隸屬度函數(shù)，可以更加細膩地對不確定對象進行描述. 此后，直覺模糊數(shù)在不確定決策等領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用［8-10］. 另一方面，雖然n維模糊數(shù)能很好地解決多屬性不確定性問題，但是難以直觀地表示，這給應(yīng)用帶來了很多不便.2002年，Wang 和Wu［12］將Kaleva 使用的一種特殊的n維模糊數(shù)［11］定義為模糊n-cell 數(shù)，并且證實了模糊n-cell 數(shù)比一般的n維模糊數(shù)應(yīng)用更加方便. 作為一種特殊的n維模糊數(shù)，模糊n-cell數(shù)同樣僅使用隸屬度函數(shù)來描述不確定信息. 為更清晰地表征高維不確定信息. 本文在模糊n-cell數(shù)的基礎(chǔ)上，參考直覺模糊集引入了非隸屬度函數(shù)，定義了直覺模糊n-cell數(shù).

1 預(yù)備知識

本文是對模糊n-cell數(shù)的一種推廣，所以本節(jié)將介紹n維模糊數(shù)和模糊n-cell數(shù)的基本概念和表現(xiàn)定理.設(shè)u滿足u:Rn→I=[0,1]，則稱u是Rn上的一個模糊集. 任取r∈( 0,1]，記[u]r為模糊集u的r-截集，其中[u]r={x∈Rn:u(x)≥r} .

定義1［12］若模糊集u滿足如下四個性質(zhì)：

1）u是正規(guī)的，即?x0∈Rn使得u(x0)=1；

2）u是模糊凸的，即?x,y∈Rn，0 ≤λ≤1使得u(λx+(1 -λ)y)≥min{u(x),u(y)}；

3）u是上半連續(xù)的，即?xk∈Rn（k=0，1，…，n），xk→x0使得u(x0)≥u(xk)；

4）[u]0是緊的，則稱u是一個n維模糊數(shù). 全體n維模糊數(shù)的集合記作En.

n維模糊數(shù)可以很好地表示高維不確定信息，但是難以直觀地表示. 2002年，Wang和Wu［12］將Kaleva使用的一種特殊的n維模糊數(shù)定義為模糊n-cell數(shù)，并且應(yīng)用到了排序［13］、分類等問題中.

定理1［12］如果u∈L(En)，則有

2）對于任意0 ≤r1≤r2≤1，有[u]r2?[u]r1；

2 主要結(jié)果

2.1 直覺模糊n-cell數(shù)

Wang和Wu［12］將模糊n-cell數(shù)很好地應(yīng)用到了不確定信息的排序、分類、識別等場景中，但是與n維模糊數(shù)相同，模糊n-cell數(shù)只是利用單一標(biāo)度的隸屬度同時表示模糊現(xiàn)象或模糊概念的支持和反對兩種對立狀態(tài). 而實際問題中往往存在支持與反對之外的第三種情況，即猶豫. 用投票模型可以解釋為：有贊成票，有反對票，還有棄權(quán)票. 為此，本文采用了直覺模糊集的思想，在模糊n-cell 數(shù)的基礎(chǔ)上，加入了猶豫度的概念，定義了直覺模糊n-cell數(shù).

定義3如果u(x)=(μ(x),v(x))∈En，x∈Rn，μ、v分別為u的隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)，滿足如下條件：

1）?x∈Rn，有0 ≤μ(x)+v(x)≤1；

滿足這三個條件，則稱u是一個直覺模糊n-cell 數(shù). 全體直覺模糊n-cell數(shù)構(gòu)成的集合記作IL(En).

對于一個直覺模糊n-cell數(shù)u，我們記π(x)=1-μ(x)-v(x)為其猶豫度函數(shù). 特別地，當(dāng)π(x)=0，即μ(x)+v(x)=1 時，u為模糊n-cell數(shù). 圖1為一個直覺模糊2-cell數(shù).

圖1 直覺模糊2-cell數(shù)Fig.1 Intuitionistic fuzzy 2-cell number

為了進一步說明直覺模糊n-cell 數(shù)與經(jīng)典集合之間的關(guān)系，本文基于模糊n-cell數(shù)的表現(xiàn)定理（定理2），給出了直覺模糊n-cell數(shù)的表現(xiàn)定理.

證明由定理2可得，定理3中條件③以及①、②、④的前半部分顯然成立，下面證明后半部分.

由IL(En)的定義知(β)(β)（i=1，2，…，n）分別是非增和非減的. 設(shè){βm} 是一個正的且收斂到β∈[ )0,1 的非增序列，于是有

若{βm} 是一個正的且收斂到1的非減序列，則有

于是有

故結(jié)合定理1可知，?α，β∈[0 ,1] 存在唯一的u=(μ,v)∈IL(En)使得

2.2 構(gòu)造方法

對于高維不確定數(shù)據(jù)，我們參考Wang 等［13］的方法，基于數(shù)據(jù)的均值和離散度，設(shè)計了一種直覺模糊n-cell數(shù)的構(gòu)造方法.

現(xiàn)有某種不確定（邊界不確定）或不準(zhǔn)確觀測目標(biāo)O，假設(shè)O具有n個不同的（數(shù)字）特征，用oi（i=1，2，…，n）表示第i個特征，則我們可以通過如下步驟構(gòu)造一個直覺模糊n-cell數(shù)u表征觀測目標(biāo)O.

步驟1：根據(jù)實際情況，對于每一個特征oi，即每一個i（i=1，2，…，n）均確定一個適當(dāng)?shù)娜≈捣秶?，記為Di.

步驟2：任取O的m個樣本，并對第j（j=1，2，…，m）個樣本的n個特征分別獲取一個觀測值，記為(o1j,o2j,…,onj)T. 這樣就可以獲得以下數(shù)據(jù)：

步驟3：對于每一個i（i=1，2，…，n），分別計算出每個特征量的均值（記為ei）以及左、右離散度（分別記為Lσi和Rσi），即

其中，NLi和NRi分別表示滿足oijei的m個觀測值oi（jj=1，2，…，m）中的所有oij的個數(shù).

步驟4：對于每個i（i=1，2，…，n），構(gòu)造1-維三角形直覺模糊數(shù)ui(x)=(x,μi(x),vi(x))，其中：

式中，λ，λ′∈[2 ,4] 是兩個參數(shù)，可以根據(jù)實際情況選取且需滿足λ≤λ′.

步驟5：構(gòu)造直覺模糊n-cell數(shù)

來表征不確定對象O，之后可以應(yīng)用u進行排序、分類等.

3 結(jié)語

較之傳統(tǒng)的n維模糊數(shù)以及模糊n-cell數(shù)，直覺模糊n-cell數(shù)可以充分利用不確定信息，并且一定程度上削減了隸屬度函數(shù)確定的主觀性. 通過將多維不確定信息進行模糊構(gòu)造，表征為直覺模糊n-cell數(shù)，可以進一步分析利用，實現(xiàn)模糊排序、分類、模式識別等.本文定義了直覺模糊n-cell數(shù)，給出了直覺模糊n-cell數(shù)的一種構(gòu)造方法. 文中只選取了目標(biāo)數(shù)據(jù)的均值和離散度進行模糊數(shù)構(gòu)造，可以比較其他模糊數(shù)構(gòu)造方法進一步改善數(shù)據(jù)表征效果，從而使得后續(xù)數(shù)據(jù)處理（如排序、識別等）結(jié)果更加有效.