樂惠驍 賈積有

摘 要：了解初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點對于促進教師教學(xué)具有重要意義。但是一般教師對于教學(xué)重點的把握主要靠教學(xué)經(jīng)驗，已有的研究主要采用問卷調(diào)查等方法對教師觀念中的教學(xué)重點進行探討，得到的結(jié)論主觀性較強。本文梳理了教學(xué)重點的概念，從發(fā)生認(rèn)識論的視角入手，基于在線學(xué)習(xí)者的380萬條行為日志數(shù)據(jù)以及87萬余套試題文本，將人教版初中數(shù)學(xué)教材的每章知識點及其關(guān)系用三個量化指標(biāo)進行客觀描述：概念網(wǎng)絡(luò)、成績網(wǎng)絡(luò)以及對后續(xù)成績的影響。本文在分別計算了三個指標(biāo)并進行三位一體的可視化呈現(xiàn)后，得到三個結(jié)論：初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中早期學(xué)習(xí)的知識往往更重要;代數(shù)與幾何的知識是初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點，但是學(xué)習(xí)者代數(shù)知識的掌握情況對于后續(xù)學(xué)習(xí)有更大的影響;代數(shù)和幾何的銜接類知識在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著獨特的重要性。本文提出并實現(xiàn)的基于大數(shù)據(jù)挖掘的教學(xué)內(nèi)容重點發(fā)現(xiàn)技術(shù)及其結(jié)論對數(shù)學(xué)和其他各個學(xué)科的教和學(xué)都具有重要的參考價值。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);教學(xué)重點;知識結(jié)構(gòu);教育大數(shù)據(jù)

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-0069（2022）03-0049-09

收稿日期：2021-12-12

基金項目：2017年度中央電化教育館全國教育技術(shù)研究規(guī)劃重點課題“基于智能技術(shù)和大數(shù)據(jù)分析的個性化教學(xué)研究”（176220009）;2020年度北京大學(xué)教育大數(shù)據(jù)研究項目“基于大規(guī)模學(xué)生學(xué)習(xí)活動數(shù)據(jù)挖掘的自適應(yīng)性智能教學(xué)系統(tǒng)研究”（2020YBC07）

作者簡介：樂惠驍（1995— ? ），男，浙江嘉善人，北京大學(xué)教育學(xué)院教育技術(shù)系博士研究生，研究方向為人工智能教育應(yīng)用;賈積有

（1969— ? ），男，河南獲嘉人，北京大學(xué)教育學(xué)院教育技術(shù)系主任、教授、博士生導(dǎo)師、北京大學(xué)教育信息化國際研究中心主任，研究方向為教育技術(shù)學(xué)和人工智能教育應(yīng)用。

引言

教學(xué)重點是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)一線經(jīng)常聽到的一個詞，對于教師和學(xué)生來說，了解教學(xué)重點，有針對性地開展教學(xué)和學(xué)習(xí)才能事半功倍。然而對于一般教師來說，精準(zhǔn)地把握初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點并不容易。

對于教學(xué)研究者來說，識別初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點也是不小的挑戰(zhàn)。一方面，由于跨文化的基礎(chǔ)教育的差異性，可供參考的研究大多集中于國內(nèi)，且不同地區(qū)的初中數(shù)學(xué)使用的教材不盡相同，這為識別教材重點增加了難度，也不便研究結(jié)論的推廣。另一方面，研究者往往將教師作為研究對象，希望以教師的觀點來支撐研究結(jié)論的合理性，相關(guān)研究方法局限于對于師生的問卷調(diào)查與訪談。但是教師自身對于教學(xué)重點的把握有時也是模糊且主觀的。這造成了已有結(jié)果之間無法形成有效的對話，且對于“哪些知識點是教學(xué)重點，這些知識點有多重要”的回答較為模糊。此外，囿于研究成本的限制，已有的研究大多局限于對單個教學(xué)重點的分析，對于全局的初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中教學(xué)重點的研究寥寥無幾。

近年，學(xué)習(xí)分析的興起為識別教學(xué)重點提供了新的思路。在線學(xué)習(xí)平臺中，學(xué)習(xí)者產(chǎn)生的行為日志中蘊藏著海量信息，研究者可以使用數(shù)據(jù)挖掘的方法將其中有價值的信息挖掘出來并獲得有意義的發(fā)現(xiàn)。在這一視角下，本文對某在線數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平臺上學(xué)習(xí)者參與初中人教版數(shù)學(xué)在線練習(xí)累計的380萬條日志數(shù)據(jù)以及87萬余套試題進行分析，結(jié)合學(xué)習(xí)者的在線學(xué)習(xí)活動指數(shù)[1]，以期依靠大樣本的數(shù)據(jù)和定量的分析方法獲得對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)重點的掌握。

一、文獻(xiàn)綜述

（一）教學(xué)重點識別的相關(guān)研究

朱珍通過對教師的問卷調(diào)查，整理教師的觀點后得到確定初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點的依據(jù)：其一是考慮課程標(biāo)準(zhǔn)這一大綱性的指導(dǎo)文件;其二是教師根據(jù)具體每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計其中的教學(xué)重點。此外，其論文中還指出了教師教學(xué)重點把握不當(dāng)?shù)膯栴}[2]。徐百靈對教師和學(xué)生對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點的認(rèn)知差異進行了探究，發(fā)現(xiàn)從總體上來說教師和學(xué)生對于教學(xué)重點的認(rèn)識不存在差異，主要是“數(shù)與代數(shù)”和“空間與圖形”兩大領(lǐng)域，且教師和學(xué)生對于教學(xué)重點認(rèn)知的一致性隨著教學(xué)的開展而提高[3]。張勝利探究了數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教科書中的呈現(xiàn)規(guī)律，與此同時也調(diào)查了初中數(shù)學(xué)教師認(rèn)知中的關(guān)于初中數(shù)學(xué)的核心概念，其中排名前10的概念中，數(shù)與代數(shù)概念有6個，空間與圖形概念有4個[4]。此外，一線教師也探討了在某一知識點對應(yīng)的課堂教學(xué)中應(yīng)該把握的教學(xué)重點[5][6]。

已有的研究中也存在著這樣的一個問題：這些研究中確定教學(xué)重點的方法都是對教師進行定性的調(diào)研，教師作為一線工作者的經(jīng)驗和觀念被用作論證什么是教學(xué)重點、什么不是教學(xué)重點的依據(jù)。然而，從一線教師的一些觀點來看，教師整個群體中存在相當(dāng)部分的教師無法有效地把握教學(xué)中的重點[7]。那么教師掌握的教學(xué)經(jīng)驗究竟是否能夠反映真實的教學(xué)重點的情況呢？局限的個體經(jīng)驗?zāi)芊裢茝V到一個一般性的結(jié)論？這是已有教學(xué)重點方面的研究面臨的一大挑戰(zhàn)。

（二）教學(xué)重點的概念梳理

教師對于教學(xué)重點把握模糊的一個重要原因在于教學(xué)重點概念本身的多重意義。筆者通過梳理教學(xué)重點的不同概念，發(fā)現(xiàn)教學(xué)重點這一概念本身有著三種意義。

第一種是從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)的。對于教學(xué)目標(biāo)來說教學(xué)重點是最核心的內(nèi)容，也是課程標(biāo)準(zhǔn)的制定者希望學(xué)習(xí)者必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容，例如基本的概念、原理、定義和公式等。

第二種是從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展出發(fā)的。教學(xué)重點是課程結(jié)構(gòu)的主要線索，掌握了這部分內(nèi)容，對于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識和鞏固舊知識都有決定性的作用。這種認(rèn)識下，教學(xué)重點則是那些在教材的所有知識結(jié)構(gòu)中承上啟下的關(guān)鍵知識點。

第三種來自教師對于教學(xué)績效的認(rèn)識，教學(xué)重點就是考試的熱點。以往教師確定教學(xué)重點的依據(jù)之一就是通過教材內(nèi)容掌握高頻考點[8]。對于教師來說，他們希望學(xué)生學(xué)得好，考試考得好，在平時教學(xué)中比較關(guān)注高頻考點和熱點，而這一類考點自然也就成了教學(xué)的重點。

如果從課程標(biāo)準(zhǔn)和教材編寫以及綜合性考試的出題組卷這一完整的教學(xué)系統(tǒng)運作的邏輯來看，第一種和第三種觀念下的教學(xué)重點雖然概念不同，但是最終這兩種不同概念定義的教學(xué)重點的內(nèi)容在很大程度上是重合的，都是描述“教什么”的問題：綜合性考試的目的是對學(xué)生的知識掌握情況進行測試，而測試要具有良好的內(nèi)容效度，其中重點考查的知識就必須與課程標(biāo)準(zhǔn)所明確的教學(xué)重點相一致。綜合性考試中的熱門、高頻考點往往傳達(dá)的是教育部門要求學(xué)生重點掌握的知識。學(xué)生的學(xué)業(yè)成績是教師重要的績效指標(biāo)，教師在教學(xué)中會特別強調(diào)學(xué)業(yè)考試考查的內(nèi)容，以高效地提升自己的績效[9]。

對于教師而言，有課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)，相對于“教什么”，“怎么教”才是一個大問題。教師對于知識結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點的把握并不充分。初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是一個龐大的結(jié)構(gòu)化的知識體系，從教學(xué)全局出發(fā)，在按照教材開展線性教學(xué)的過程中，教師往往需要確認(rèn)哪一個知識點需要花費更多的時間與精力進行講授，才能使得學(xué)生在整體的知識掌握上有更好的表現(xiàn)。比如，在常用的人教版初中數(shù)學(xué)教材中，知識結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點有哪些，這是廣大教師特別關(guān)注的一個問題，也是本文的研究問題。

為了解決這個問題，本文著重就知識結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點進行探討，依據(jù)一個在線數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)中初中數(shù)學(xué)人教版的大量學(xué)習(xí)測驗記錄及其題庫，以定量數(shù)據(jù)識別人教版初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點。

（三）知識結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點——發(fā)生認(rèn)識論的視角

池次郎.諾納卡（Ikujoro Nonaka）等人認(rèn)為，個體知識的建構(gòu)，或者說個人學(xué)習(xí)的發(fā)生過程，可以用這樣的三個階段來描述：信息的獲取、信息的轉(zhuǎn)義以及知識的建構(gòu)。在信息獲取階段，學(xué)習(xí)者通過比較環(huán)境中的外部信息與自身知識結(jié)構(gòu)的差異發(fā)現(xiàn)環(huán)境中的有用信息;在信息轉(zhuǎn)義階段，學(xué)習(xí)者將感興趣的信息與自己已有的知識進行組織和整合;在知識建構(gòu)的階段，學(xué)習(xí)者調(diào)整了自身的知識結(jié)構(gòu)，從而獲得了能在不同情境中應(yīng)用的有意義的新知識[10]。深受發(fā)生認(rèn)識論影響的奧蘇伯爾也對知識的獲取有類似的觀點。他認(rèn)為知識獲取是新知識與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有觀念建立非人為的、實質(zhì)性聯(lián)系的過程，學(xué)習(xí)者能否習(xí)得新知識的關(guān)鍵在于其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否有適當(dāng)?shù)?、能起固定作用的觀念[11][12]。由此，從發(fā)生認(rèn)識論的角度出發(fā)，在知識獲取的過程中，學(xué)習(xí)者已有的知識結(jié)構(gòu)是一個重要的變量。如果其已有的知識結(jié)構(gòu)中有著能有效地對新的內(nèi)容進行同化的錨點，那么新知識的習(xí)得會變得更有效。

在這一視角下，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程其實是不斷發(fā)展建構(gòu)學(xué)習(xí)者知識結(jié)構(gòu)的過程，在教師講授每一個新知識點的時候，學(xué)習(xí)者能否有效地對這一知識點進行同化的關(guān)鍵在于其現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)能否整合這部分教學(xué)內(nèi)容中的信息。例如，學(xué)習(xí)者在理解全等三角形這一概念時，教學(xué)內(nèi)容傳達(dá)的信息將會與學(xué)習(xí)者已建立起來的三角形、角、邊等數(shù)學(xué)概念發(fā)生聯(lián)系，而學(xué)習(xí)者能否有效習(xí)得全等三角形相關(guān)概念的關(guān)鍵在于其知識結(jié)構(gòu)中是否已有完整的三角形、角、邊等概念。所以，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是搭建學(xué)習(xí)者知識結(jié)構(gòu)的過程，如果學(xué)習(xí)者知識結(jié)構(gòu)中先前的“地基”沒有打好，那么對之后新內(nèi)容的有效同化也很難發(fā)生。

綜上，在發(fā)生認(rèn)識論的視角下，知識結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點的概念就是在學(xué)習(xí)者的知識結(jié)構(gòu)中與大量其他知識點發(fā)生聯(lián)系，能作為許多知識同化過程中的固定錨點的知識點?；诖耍疚倪M行了進一步的研究設(shè)計，以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)者知識結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點。

二、研究設(shè)計

（一）研究對象

本文的研究對象為某在線教學(xué)系統(tǒng)中初中數(shù)學(xué)人教版的學(xué)習(xí)測驗記錄及題庫[13][14]。在該系統(tǒng)上，測驗以闖關(guān)的形式呈現(xiàn)，每關(guān)對應(yīng)一套測驗題，題型為選擇題或者填空題。學(xué)生必須依次做對每道題才算闖關(guān)成功。若單道題未能答對，則可以重復(fù)做題直到答對或超時為止。系統(tǒng)記錄的主要信息包括學(xué)生做該套題所用的時間、提交錯誤答案的次數(shù)、測驗得分等。該系統(tǒng)中的題庫來自一線教研人員和教師的命題，測驗中命題的內(nèi)容、形式和難度與實際綜合性考試中的試題相仿，有較好的內(nèi)容效度和效標(biāo)效度。數(shù)據(jù)集中共有試卷87萬余套。有關(guān)初中數(shù)學(xué)人教版的做題記錄有380萬條，涉及4萬余學(xué)習(xí)者。當(dāng)然，并非學(xué)習(xí)平臺上的學(xué)習(xí)者都完成了人教版初中數(shù)學(xué)所有單元的學(xué)習(xí)，本文篩選出83名完成了平臺上初中數(shù)學(xué)人教版全部章節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)，且在每章上至少進行了5次學(xué)習(xí)活動的學(xué)習(xí)者。

人教版初中數(shù)學(xué)共29章，其中的知識點可以概括為4類：幾何類、代數(shù)類、數(shù)理統(tǒng)計類、銜接類。

（二）研究方法

基于教學(xué)重點的概念，本文提出3個指標(biāo)來描述某一知識點在知識結(jié)構(gòu)中的重要性：概念網(wǎng)絡(luò)、成績網(wǎng)絡(luò)以及知識點掌握程度對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響。

1.指標(biāo)一：概念網(wǎng)絡(luò)

在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新的概念時，新的概念會與學(xué)習(xí)者已經(jīng)習(xí)得的概念發(fā)生聯(lián)系，這種聯(lián)系的強弱影響了學(xué)習(xí)者對新知識同化的程度。在知識圖譜的研究中，圖和網(wǎng)絡(luò)是一種常用的表征知識結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)工具?？梢杂脠D中的頂點表示知識內(nèi)容，而用頂點間的邊表示知識間的某種關(guān)系。類似地，本文用圖對初中數(shù)學(xué)中的知識點及知識點概念間的聯(lián)系進行演示，圖的頂點代表知識內(nèi)容，而頂點間的邊則代表兩個知識在概念上的聯(lián)系，邊的權(quán)重代表概念聯(lián)系的強弱。

在知識點的顆粒度大小的選擇上，過小的顆粒度會增加圖的復(fù)雜度，同時降低進行統(tǒng)計推斷時的樣本量，影響結(jié)論的信效度;而過大顆粒度的知識點則會降低研究的意義和價值。本文用每個單元的內(nèi)容作為圖的頂點。

圖的邊表示兩個知識點在概念上的聯(lián)系，本文假設(shè)概念網(wǎng)絡(luò)是一個無向全聯(lián)通圖，即其中的所有知識點之間都有聯(lián)系，只是在概念上聯(lián)系的強弱不同。本文使用知識點對應(yīng)的試題文本在語義上的相似度來度量兩個知識點概念間的聯(lián)系強弱，相似度越高，則說明聯(lián)系越強。對于某兩個知識點i和j，保留名詞、動詞等實詞，使用文檔-逆文檔頻率（TF-IDF），為詞向量中的不同詞賦予特征權(quán)重，相似度就是兩個詞向量的歐式距離。

當(dāng)一個知識點與許多知識點之間有很強的概念上的聯(lián)系，那么這個頂點所代表的知識點在初中數(shù)學(xué)的概念網(wǎng)絡(luò)中就更重要。本文使用Pagerank算法（網(wǎng)頁排序算法）對圖中頂點的重要性進行度量。對于知識點構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)來說，Pagerank值更大的知識節(jié)點在概念網(wǎng)絡(luò)中就占有更重要的位置，也是教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的教學(xué)重點。

2.指標(biāo)二：成績網(wǎng)絡(luò)

如果在學(xué)習(xí)者的考試題數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)這樣一種情況，如果知識點B的學(xué)習(xí)需要知識點A作為其錨點，或者是在知識點A的基礎(chǔ)上展開的，那么知識點A與B的掌握程度之間就會存在這樣一種因果關(guān)系：學(xué)習(xí)者對知識點B的掌握程度在一定程度上取決于其對知識點A的掌握程度，而在一個學(xué)習(xí)者群體的觀察數(shù)據(jù)構(gòu)成的樣本中，這種因果關(guān)系就會在一定程度上表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者在知識點A與B的成績間的相關(guān)性。本文用圖結(jié)構(gòu)來描述初中數(shù)學(xué)中的知識點及知識點間掌握程度的關(guān)系，并構(gòu)造一個初中數(shù)學(xué)知識的成績網(wǎng)絡(luò)。其中，圖的頂點代表知識內(nèi)容，而頂點間的邊則代表兩個知識點在掌握程度上的相關(guān)性，邊的權(quán)重代表掌握程度的相關(guān)性強弱。

測驗是測量學(xué)習(xí)者對某一知識的掌握程度的常用手段，本文采用賈積有等人提出的在線學(xué)習(xí)行為指數(shù)來衡量在線學(xué)習(xí)的測驗成績，包括質(zhì)量、速度和數(shù)量三個維度[15]。

成績網(wǎng)絡(luò)的頂點表征數(shù)學(xué)教材中的某一單元。成績網(wǎng)絡(luò)的邊表示兩個知識點在掌握程度上的聯(lián)系，用學(xué)習(xí)者群體在兩個單元的測驗成績之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)表征其權(quán)重;為了保證研究的效度，若該邊表示的相關(guān)系數(shù)不能通過對其相關(guān)性的假設(shè)檢驗（p>0.1），則不考慮這兩個知識點在掌握程度上的聯(lián)系性。成績網(wǎng)絡(luò)也使用頂點的Pagerank值作為重要性的度量。

3.指標(biāo)三：知識點掌握程度對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響

概念網(wǎng)絡(luò)和成績網(wǎng)絡(luò)雖然可以通過知識點內(nèi)容和學(xué)習(xí)者學(xué)業(yè)表現(xiàn)的相關(guān)性來描述知識點間的關(guān)系，但是初中數(shù)學(xué)的知識點教學(xué)是以順序結(jié)構(gòu)展開的，學(xué)習(xí)者對先前學(xué)習(xí)知識的掌握程度會影響到其對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)。本文用如下多元線性回歸模型來描述學(xué)習(xí)者在知識點i上的平均得分Avg、知識點i前所有單元平均成績Avgbefore、知識點i后所有單元的平均成績Avgafter之間的關(guān)系。

Avgafter=a*Avgbefore+b*Avg + c（a為Avgbefore系數(shù)，b為Avg系數(shù)，c為常數(shù)）

三、研究結(jié)果

（一）概念網(wǎng)絡(luò)

對系統(tǒng)87萬余套試題，計算各單元文本詞向量的TF-IDF值及其相似度，得到人教版初中數(shù)學(xué)的概念網(wǎng)絡(luò)，如圖1（見下頁）所示，其中去除了權(quán)重小于所有邊平均權(quán)重的邊。從概念網(wǎng)絡(luò)來看，幾何知識與代數(shù)知識的重要性均遠(yuǎn)大于數(shù)理統(tǒng)計知識。

（二）成績網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)83名學(xué)習(xí)者在各單元上學(xué)習(xí)的質(zhì)量和速度數(shù)值，計算各單元間知識的相關(guān)性，可以得到測驗網(wǎng)絡(luò)的邊的權(quán)值，再去除權(quán)重小于所有邊平均權(quán)重的邊，進而畫出成績網(wǎng)絡(luò)，如圖2（見下頁）所示。從成績網(wǎng)絡(luò)來看，幾何知識與代數(shù)知識的重要性遠(yuǎn)大于數(shù)理統(tǒng)計知識。與此同時，銜接類的知識在成績網(wǎng)絡(luò)中的重要性很大。

（三） 知識點掌握程度對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響

表1呈現(xiàn)了以各章知識點掌握程度（Avg）和知識點i前所有單元平均成績（Avgbefore）為自變量、知識點i后所有單元的平均成績（Avgafter）為因變量的多元回歸結(jié)果。因為第一章“有理數(shù)”和最后一章“投影與視圖”分別位于學(xué)習(xí)序列的首尾，分別缺少Avgbefore和Avgafter，所以不計算這兩章的回歸公式。

可見第二章和第三章知識點的Avgbefore項的系數(shù)偏小，說明在初中學(xué)習(xí)的開始階段學(xué)習(xí)者的可塑性很強，以往的學(xué)習(xí)成績并不能很好地預(yù)測之后的學(xué)業(yè)表現(xiàn)。代數(shù)類知識的掌握情況對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響大于幾何類知識。銜接類的知識對后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的影響。

（四） 三個指標(biāo)的三位一體可視化呈現(xiàn)

為了全面考察三種指標(biāo)之間的關(guān)系，本文采用三位一體的可視化方法，如圖3（見下頁）所示。其中橫軸為知識點在概念網(wǎng)絡(luò)中的pagerank值，表示知識點在概念網(wǎng)絡(luò)中的重要程度;縱軸為知識點在成績網(wǎng)絡(luò)中的pagerank值，表示知識點在學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)中的重要程度?？v軸為知識點在成績網(wǎng)絡(luò)中的重要程度，知識點對應(yīng)的氣泡大小表示知識點對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響程度，點越大，則對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響越大。兩條垂直于坐標(biāo)軸的虛線與坐標(biāo)軸的交點分別是各章知識點在該軸上的投影點的均值。

可以看出，七年級的知識內(nèi)容（包括第二章、第三章、第四章和第六章）都處于整個知識體系的右上方，說明這些知識點不但在測驗網(wǎng)絡(luò)中占據(jù)有影響力的位置，而且對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響也較大。二次根式與勾股定理在初中數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)中起到承上啟下的作用，一方面銜接了關(guān)于二次函數(shù)的代數(shù)知識，一方面又與角、三角形等幾何知識發(fā)生聯(lián)系。這一結(jié)果暗示著在教學(xué)中關(guān)注綜合銜接這一類知識對于學(xué)習(xí)者全局掌握初中數(shù)學(xué)知識有很大的幫助。

四、研究結(jié)論和討論

不同于與以往研究中經(jīng)常采用的對教師展開問卷調(diào)查和訪談等方法，本文梳理了教學(xué)重點的概念，并從發(fā)生認(rèn)識論的理論視角入手，重點探究初中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點，并基于更為客觀的學(xué)習(xí)者的行為日志數(shù)據(jù)和平臺題庫，將其操作化為三個可量化的指標(biāo)。大體而言，本文從知識點在概念上的重要性和在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)表現(xiàn)中的重要性入手，用不同角度刻畫了初中數(shù)學(xué)中一個知識點的重要程度。概念網(wǎng)絡(luò)有助于教師把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念上的重點，對一些基礎(chǔ)的、重要的概念在教學(xué)中加以強調(diào)，有利于學(xué)習(xí)者之后的學(xué)習(xí)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)知識中很大一部分并非單純的陳述性知識，過程與方法性的知識也是初中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分。相對而言，成績網(wǎng)絡(luò)和前后知識掌握的回歸方程彌補了概念網(wǎng)絡(luò)的缺陷，有助于教師以學(xué)習(xí)者測驗成績?yōu)榭冃繕?biāo)，把握教學(xué)重點，合理分配教學(xué)精力。

在對知識點進行三個維度的描述和三維一體的可視化呈現(xiàn)基礎(chǔ)上，本文得出了三個結(jié)論：初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中早期學(xué)習(xí)的知識往往更重要;代數(shù)與幾何的知識是初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點，但是學(xué)習(xí)者代數(shù)知識的掌握情況對于后續(xù)學(xué)習(xí)有更大的影響;代數(shù)和幾何的銜接類知識在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著獨特的重要性。這些結(jié)論對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有較大的參考價值。

與徐百靈的研究結(jié)論相符，初中數(shù)學(xué)中的代數(shù)和幾何這兩部分的內(nèi)容顯得同等重要[16]。這與代數(shù)類知識大多在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前期開始教授有關(guān)，也可以用皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論解釋：具體思維運算階段的運算離不開具體事物的支持， 還不能組成一個結(jié)構(gòu)的整體和一個完整的系統(tǒng)，而形式運算階段學(xué)習(xí)者的思維能從理論出發(fā)，不受具體事物的限制。相比于直觀的幾何知識，抽象的代數(shù)符號更難于被這一階段的學(xué)習(xí)者所理解。加之代數(shù)類知識講授較早，所以能夠很好地構(gòu)建起數(shù)與代數(shù)的體系，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的知識獲取過程中顯得更為重要。早期知識內(nèi)容的重要性也不難理解：從學(xué)習(xí)者的學(xué)業(yè)表現(xiàn)間的比較來看，小升初后先行知識的差異對其最終整個初中的學(xué)業(yè)表現(xiàn)的影響是有限的，在學(xué)習(xí)的開始取得的微小優(yōu)勢會逐漸累加。另外，從知識獲取的過程來看，這部分知識是所有初中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，之后新知識的學(xué)習(xí)過程中都需要這部分知識作為固著點。

就研究結(jié)論的信度而言，平臺本身的練習(xí)題由一線教研人員制定，其中不乏一些地區(qū)的大型考試真題，保證了題庫內(nèi)容較好的效度，也保證了概念網(wǎng)絡(luò)能較好地反映真實數(shù)學(xué)知識點間的概念聯(lián)系。此外，本文采用了犧牲外部效度保全內(nèi)部效度的設(shè)計方法，只保留了學(xué)習(xí)投入最高的83位學(xué)習(xí)者，不存在某些章節(jié)內(nèi)容上缺失數(shù)據(jù)的問題，行為日志也能更真實地反映其學(xué)習(xí)過程和能力水平。就研究的外部效度而言，研究的樣本來自全國不同地區(qū)、學(xué)校的線上學(xué)習(xí)者，在人口統(tǒng)計學(xué)上有較好的代表性，但是值得注意的是由于在線學(xué)習(xí)的特殊性，作為研究對象的83位學(xué)習(xí)者是完成了平臺上所有初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的人，相較于其余數(shù)萬學(xué)習(xí)者而言有著極高的學(xué)習(xí)投入，這一點對結(jié)論的外部效度提出了一些挑戰(zhàn)，雖然并不能明確其影響，但是最終結(jié)論有可能只適用于“好學(xué)生”群體。此外，本文采用的數(shù)據(jù)集是人教版初中數(shù)學(xué)的相關(guān)試題和學(xué)習(xí)者活動日志，未來可以對更多版本教材中的教學(xué)重點進行分析，以印證研究結(jié)論并擴充研究的外部效度。

從方法上而言，本文采用的方法具有較好的可移植性，可以分析所有課程科目的包含題庫文本和學(xué)習(xí)者測驗成績的數(shù)據(jù)集，發(fā)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容中的重點，為教師的教和學(xué)生的學(xué)服務(wù)，實現(xiàn)減負(fù)增效效果。同時，本文提出的方法避免了以往對教學(xué)重點研究中過度依賴專家與教師的個體主觀經(jīng)驗的問題，能從數(shù)據(jù)中得到客觀的知識點的重要程度度量。當(dāng)然，本方法還有許多的不足，例如，其中的成績網(wǎng)絡(luò)中知識點間的關(guān)系使用了相關(guān)性進行度量，無法剝離出各知識點間復(fù)雜的因果路徑以及存在的中介效應(yīng)。未來研究可以著眼于知識點間的影響并進行更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊蚬茢?，發(fā)現(xiàn)各知識點間影響的因果效應(yīng)，以獲得更加精確的對知識點重要程度的估計。

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（責(zé)任編輯 孫志莉）

Research on the Discovery of the Math Teaching Content Focus of Junior High School Based on Big Data Mining

LE Huixiao，JIA Jiyou

（Graduate School of Education，Peking University，Beijing，China 100871）

Abstract： To understand the teaching focus of junior high school math is of great importance to the promotion of teacher teaching. But generally，teachers’ understanding of teaching focus mainly depends on teaching experiences.The informed research mainly adopted method like questionnaire survey to make a discussion of teaching focus in teachers’ beliefs， obtaining the result of strong subjectivity.This paper has combed the concept of teaching focus，starting from the theoretical perspective of genetic epistemology，based on 3.8 million behavior log data of online learners and 0.87 million set of exam texts，has done an objective description of each chapter’s knowledge points of junior high school math textbook of people’s education edition and its relation by using three quantitative indexes，namely，concept network，performance network， and the influence on follow-up performance. This paper，after calculating three indexes respectively and doing visual presentation of three dimensions in one， obtained three conclusions：in the learning process of junior high school math，the knowledge learned in the early period is often more important;the knowledge of algebra and geometry is the teaching focus of junior high school math，but learners’ mastering of algebra knowledge will have greater impact on the follow-up study;the connection knowledge of algebra and geometry is of unique importance in the learning of junior high school math.The teaching content focus discovery technology and its results based on big data mining and put forward and realized by this paper are of great referent value to the teaching and learning of math and other disciplines.

Key words：? junior high school;teaching focus;knowledge structure;education big data